randRangeNonZero(-5,5) randRangeNonZero(-5,5) randRangeNonZero(-5,5) b/-2 fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(x,.001)) x*b fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(xb,.001)) Math.pow(x,2)+x*b toFraction(x2xb,.001) fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(x2xb,.001)) -1*Math.pow(b,2)/4*(-1*c*b/2+d) roundTo(2,a) a/(Math.pow(x,2)+b*x)

(השאלה לקוחה משאלון 004 מועד קיץ תשע"ג)

נתונה הפונקציה f(x) = \frac{a}{x^2 + coefficientFix(b)x} , a>0.

הישר y = coefficientFix(c)x + d עובר דרך נקודת הקיצון של הפונקציה f(x).

מצא את a.

(בתום השאלה תוכלו לצפות בפתרון הגרפי דרך "הצג פתרון")

a = rA

את התוצאה יש להזין עם שתי ספרות אחרי נקודה

נתון לנו בשאלה ישר אשר עובר דרך נקודת הקיצון של הפונקציה המקורית.

נמצא את נקודת הקיצון של הפונקציה ונציב את הערכים בישר הנתון כדי לחשב את a.

f(x) = \frac{a}{x^2 + bx}

f'(x) = \frac{0 \cdot (x^2 + bx) - (2x + b) \cdot a }{(x^2 + bx)^2}

f'(x) = \frac{ - 2xa - ba }{(x^2 + bx)^2}

נשווה את מונה הנגזרת לאפס:

- 2xa - ba = 0

- 2xa = ba

x = \frac{ba}{-2a} = PRETTY_X

נחשב את ערך y של הנקודה בפונקציה המקורית:

f(PRETTY_X) = \frac{a}{(PRETTY_X)^2 + PRETTY_XB} = \frac{a}{PRETTY_X2XB}

f(PRETTY_X) = \frac{a}{(PRETTY_X)^2 + PRETTY_XB} = \frac{a}{PRETTY_X2XB} = coefficientFix(fracX2XB[0]*fracX2XB[1])a

f(PRETTY_X) = \frac{a}{(PRETTY_X)^2 + PRETTY_XB} = \frac{a}{PRETTY_X2XB} = \frac{fracX2XB[1]a}{fracX2XB[0]}

נציב את ערכי הנקודה (PRETTY_X, \frac{a}{fracX2XB[0]} ) במשוואת הישר:

\frac{a}{fracX2XB[0]} = c \cdot (PRETTY_X) + d / \cdot fracX2XB[0]

a = (c*x + d) \cdot fracX2XB[0]

a = rA

נציב את ערכי הנקודה (PRETTY_X, coefficientFix(fracX2XB[0]*fracX2XB[1])a ) במשוואת הישר:

coefficientFix(fracX2XB[0]*fracX2XB[1])a = c \cdot (PRETTY_X) + d

a = \frac{ c*x + d }{coefficientFix(fracX2XB[0]*fracX2XB[1])}

a = rA

נציב את ערכי הנקודה (PRETTY_X, \frac{fracX2XB[1]a}{fracX2XB[0]} ) במשוואת הישר:

\frac{fracX2XB[1]a}{fracX2XB[0]} = c \cdot (PRETTY_X) + d / \cdot fracX2XB[0]

fracX2XB[1]a = (c*x + d) \cdot fracX2XB[0]

a = \frac{ (c*x+d)*fracX2XB[0]}{fracX2XB[1]}

a = rA

graphInit({range:[[-10,10],[-10,10]],scale:20,axisArrows:"<->",tickStep:2,labelStep:2,gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,yAxisOpacity:1,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return a/(pow(e,2)+b*e)},[-10,10]),style({stroke:"red",strokeWidth:1,arrows:null}),plot(function(e){return c*e+d},[-10,10]),style({stroke:"red",fill:"red"}),circle([x,y],.2),label([x,y],"("+PRETTY_X+","+y+")","left")
randRangeNonZero(-10,10) randRangeNonZero(-10,10) -2/b fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(x,.001)) b*c/-2 roundTo(2,a) a*x roundTo(2,X) Math.pow(c,2)/(a+b*c) roundTo(2,y)

(השאלה לקוחה משאלון 004 מועד חורף תשס"ו)

נתונה הפונקציה y = \frac{x^2}{a + coefficientFix(b)x} (a הוא פרמטר)

המשיק לפונקציה בנקודה שבה x = c מקביל לציר ה-x.

מצא את a.

(בתום השאלה תוכלו לצפות בפתרון הגרפי דרך "הצג פתרון")

a = rA

את התוצאה יש להזין עם שתי ספרות אחרי נקודה

קו משיק אשר מקביל לציר x הוא קו בעל שיפוע 0.

למשיק ולפונקציה באותו נקודה יש אותו שיפוע לכן בנקודה זו יש לפונקציה נקודות קיצון.

נגזור את הפונקציה ונשווה אותה לאפס כדי למצוא את הנקודה החשודה:

y = \frac{ x^2 }{a + coefficientFix(b)x}

y' = \frac{ 2x \cdot (a + coefficientFix(b)x) - b \cdot x^2 }{(a + coefficientFix(b)x)^2}

y' = \frac{ 2xa + 2*bx^2 - coefficientFix(b)x^2 }{(a + coefficientFix(b)x)^2}

y' = \frac{ 2xa + bx^2 }{(a + coefficientFix(b)x)^2}

נשווה את המונה לאפס:

2xa + bx^2 = 0

x( 2a + bx) = 0

x_1 = 0

2a + bx = 0

2a = -1*bx

x_2 = PRETTY_Xa

הנקודה הראשונה לא מתאימה לנתון לכן נשווה את הנקודה השנייה ל x = c

c = PRETTY_Xa

a = a

graphInit({range:[[-15,15],[-15,15]],scale:15,axisArrows:"<->",tickStep:2,labelStep:2,gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,yAxisOpacity:1,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return pow(e,2)/(a+b*e)},[-15,15]),style({stroke:"ORANGE",strokeWidth:1}),path([[-15,y],[15,y]]),style({stroke:"red",fill:"red"}),circle([c,y],.2),label([c,y],"("+c+","+rY+")","below")
randRangeNonZero(-5,5) randRangeNonZero(-5,5) randRangeNonZero(-5,5) randRangeNonZero(-5,5) b*Math.pow(d,2)+2*b*c*d-1*e*Math.pow(c+d,2) roundTo(2,a) d b*Math.pow(x,2)+a (b*Math.pow(x,2)+a)/(x+c) roundTo(2,y)

שיפוע המשיק לפונקציה f(x) = \frac{coefficientFix(b)x^2 + a}{ x + c } בנקודה שבה x = d הוא e.

מצא את a.

(בתום השאלה תוכלו לצפות בפתרון הגרפי דרך "הצג פתרון")

a = rA

את התוצאה יש להזין עם שתי ספרות אחרי נקודה

נתון לנו משיק בנקודה והשיפוע של אותו משיק.

המשמעות היא שבנקודה זו גם לנגזרת יש את אותו השיפוע.

נגזור את הפונקציה ונציב בנגזרת x = d ונשווה אותה לe כדי לבודד את a

f(x) = \frac{coefficientFix(b)x^2 + a}{ x + c }

f'(x) = \frac{2*bx \cdot (x + c) - 1 \cdot (coefficientFix(b)x^2 + a) }{ (x + c)^2 }

f'(x) = \frac{2*bx^2 + 2*b*cx - coefficientFix(b)x^2 - a }{ (x + c)^2 }

f'(x) = \frac{coefficientFix(b)x^2 + 2*b*cx - a }{ (x + c)^2 }

f'(d) = e

\frac{coefficientFix(b) \cdot (d)^2 + 2*b*c \cdot (d) - a }{ (d + c)^2 } = e

\frac{ b*Math.pow(d,2) + 2*b*c*d - a }{ Math.pow(d+c,2) } = e

b*Math.pow(d,2)+2*b*c*d - a = e*Math.pow(d+c,2)

a = a

var min=-20,max=20;graphInit({range:[[-20,20],[min,max]],scale:10,axisArrows:"<->",tickStep:2,labelStep:2,gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,yAxisOpacity:1,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return(b*pow(e,2)+a)/(e+c)},[-20,20]),style({stroke:"orange",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(t){return e*t-e*d+y},[-20,20]),style({stroke:"red",fill:"red"}),circle([x,y],.2),label([x,y],"("+x+","+rY+")","above left")
אתם צופים בבעיה. כדי לעבוד על בעיות מסוג זה, התחילו תרגיל זה.
צריכים עזרה? בקשו רמז.