randRange(1,10) randRange(1,10) randRange(1,10) c*(a+b)/(2*a+b) a b c roundTo(2,h) roundTo(2,c-h) toFraction((DE+BE)/DE,.001)

הקטעים AC ו-BD מאונכים זה לזה ונחתכים בנקודה O.

נתון: \angle BAD = \angle DCE.

AB \cdot CE = AD \cdot CD

א. הוכח: \triangle ABD \sim \triangle CDE

ב. נתון:
DE = DE ס"מ
BE = BE ס"מ
AC = AC ס"מ

חשב את AO ו-CO.

init({range:[[-1,11],[-5,5]],scale:30}),path([[5.5,0],[5.5,.5],[6,.5]],{stroke:BLUE}),path([[6,3],[6,-3]],{stroke:BLUE}),path([[10,0],[0,0],[6,3],[10,0],[6,-3],[3,0]],{stroke:BLUE}),label([0,0],"B","left"),label([6,3],"A","above"),label([10,0],"D","right"),label([6,-3],"C","below"),label([3,.3],"E","center"),label([6,.3],"O","right")

AO = AO

CO = CO

את התשובה יש לעגל לשתי ספרות אחרי הנקודה

סעיף א'

טענה נימוק
1. \angle BAD = \angle DCE נתון
2. AB \cdot CE = AD \cdot CD נתון
3. \frac{AB}{CD} \cdot CE = AD חלוקה בCD
4. \frac{AB}{CD} = \frac{AD}{CE} חלוקה בCE
5. \triangle ABD \sim \triangle CDE משפט דמיון צ.ז.צ.

סעיף ב'

ניעזר בדמיון המשולשים שהוכחנו בסעיף א' כדי לבטא את היחס בין הצלעות המתאימות:

\frac{AD}{CE} = \frac{BD}{DE} = \frac{AB}{CD}

יש לנו נתונים עבור DE ו-BD (BD=DE+BE) לכן נוכל למצוא את יחס הדמיון בין המשולשים:

\frac{BD}{DE} = \frac{DE+BE}{DE} = \frac{DBdevDE[0]}{DBdevDE[1]}

AO ו-CO הם גבהים במשולשים דומים לכן גם הם מקיימים את יחס הדמיון:

\frac{AO}{CO} = \frac{DBdevDE[0]}{DBdevDE[1]}

בנוסף, יש לנו נתון עבור AC לכן אם נסמן את AO באות h, CO יהיה שווה לAC-h

נציב את הנעלמים ביחס הדמיון ונבודד מהמשוואה את h:

\frac{h}{AC-h} = \frac{DBdevDE[0]}{DBdevDE[1]} / \cdot DBdevDE[1](AC-h)

DBdevDE[1]h = DBdevDE[0] \cdot (AC-h)

DBdevDE[1]h = DBdevDE[0]*AC - DBdevDE[0]h

DBdevDE[1]+DBdevDE[0] h = DBdevDE[0]*AC

h = \frac{DBdevDE[0]*AC}{DBdevDE[1]+DBdevDE[0]} = AO

AO = AO

CO = AC - AO = CO

randRange(11,15) randRange(5,10) randRange(20,30) Sbdc*Math.pow(AC,2)/(Math.pow(AB,2)-Math.pow(AC,2)) roundTo(2,sadc) toFraction(AC/AB,.001)

D היא נקודה על הצלע AB של משולש ABC.

נתון:
\angle ACB = \angle ADC
AB = AB ס"מ
AC = AC ס"מ
S_{BDC} = Sbdc ס"מ

חשב את S_{ADC}.

init({range:[[-1,11],[-1,9]],scale:30}),path([[10,0],[4,4]],{stroke:BLUE}),path([[0,0],[10,0],[8,8],[0,0]],{stroke:BLUE}),arc([4,4],1,325,45,{stroke:"green"}),arc([10,0],1,102,180,{stroke:"green"}),label([0,0],"B","left"),label([8,8],"A","above"),label([10,0],"C","right"),label([3.5,4],"D","center")

S_{ADC} = Sadc

את התשובה יש לעגל לשתי ספרות אחרי הנקודה

אם נבחן את המשולשים ACB ו-ADC נראה כי יש להם שתי זוויות שוות – זווית A משותפת לשני המשולשים וזווית ACB שווה לזווית ADC לפי הנתון.

מכאן ניתן להוכיח כי המשולשים דומים לפי משפט דמיון ז.ז.

\triangle ADC \sim \triangle ACB

ניעזר בדמיון המשולשים כדי לבטא את היחס בין הצלעות המתאימות:

\frac{AD}{AC} = \frac{DC}{CB} = \frac{AC}{AB}

יש לנו נתונים עבור AC ו-AB לכן נוכל לחשב בעזרתם את יחס הדמיון:

\frac{AC}{AB} = \frac{AC}{AB} = \frac{ACdevAB[0]}{ACdevAB[1]}

נסמן את שטח משולש ADC בתור x.

שטח משולש ABC שווה לסכום שטחי המשולשים ADC ו-BDC = Sbdc + x

יחס השטחים בין משולשים דומים שווה ליחס הדמיון בריבוע:

\frac{S_{ADC}}{S_{ABC}} =(\frac{ACdevAB[0]}{ACdevAB[1]})^2

\frac{x}{Sbdc + x} = \frac{Math.pow(ACdevAB[0],2)}{Math.pow(ACdevAB[1],2)} / \cdot Math.pow(ACdevAB[1],2)(Sbdc + x)

Math.pow(ACdevAB[1],2)x = Math.pow(ACdevAB[0],2) (Sbdc + x)

Math.pow(ACdevAB[1],2)x = Math.pow(ACdevAB[0],2)*Sbdc + Math.pow(ACdevAB[0],2)x

Math.pow(ACdevAB[1],2)-Math.pow(ACdevAB[0],2)x = Math.pow(ACdevAB[0],2)*Sbdc

x = Sadc

S_{ADC} = Sadc סמ"ר

randRange(1,10) randRange(1,10) randRange(1,10) BC+AC+AB Math.pow(AB/BC,2) roundTo(2,ratio) BC/AB*(BC+AC+AB) roundTo(2,pbcd) toFraction(AB/BC,.001)

בציור נתון \triangle ABC \sim \triangle BCD

נתון:
BC = BC
AC = AC
AB = AB

א. חשב את \frac{S_{ABC}}{S_{BCD}}

ב. חשב את היקף המשולש BCD

init({range:[[-1,6],[-8,4]],scale:30}),path([[0,0],[5,0]],{stroke:BLUE}),path([[0,0],[2,2],[5,0],[2.5,-6],[0,0]],{stroke:BLUE}),label([0,0],"B","left"),label([2,2],"A","above"),label([5,0],"C","right"),label([2.5,-6],"D","below")

\frac{S_{ABC}}{S_{BCD}} = Math.pow(AB/BC,2)

BCD היקף המשולש = Pbcd

את התשובה יש לעגל לשתי ספרות אחרי הנקודה

את היחס יש להכניס כשבר פשוט

סעיף א'

ניעזר בדמיון המשולשים כדי לבטא את היחס בין הצלעות המתאימות:

\frac{AB}{BC} = \frac{BC}{CD} = \frac{AC}{BD}

יש לנו נתונים עבור AB ו-BC לכן נוכל לחשב את יחס הדמיון:

\frac{AB}{BC} = \frac{AB}{BC} = \frac{ABdevBC[0]}{ABdevBC[1]}

\frac{AB}{BC} = \frac{AB}{BC} = ABdevBC[0]

יחס השטחים בין משולשים דומים שווה ליחס הדמיון בריבוע:

\frac{S_{ABC}}{S_{BCD}} =(\frac{ABdevBC[0]}{ABdevBC[1]})^2 = \frac{Math.pow(ABdevBC[0],2)}{Math.pow(ABdevBC[1],2)}

\frac{S_{ABC}}{S_{BCD}} =(ABdevBC[0])^2 = Math.pow(ABdevBC[0],2)

סעיף ב'

את היקף המשולש ABC ניתן לחשב בעזרת הנתונים:

P_{ABC} = AB + BC + AC = AB + BC + AC = Pabc

יחס ההיקפים בין משולשים דומים שווה ליחס הדמיון בין הצלעות.

ניעזר ביחס הדמיון שמצאנו ובהיקף של ABC כדי לחשב את היקף המשולש BCD:

\frac{P_{ABC}}{P_{BCD}} = \frac{ABdevBC[0]}{ABdevBC[1]}

\frac{Pabc}{P_{BCD}} = \frac{ABdevBC[0]}{ABdevBC[1]}

Pabc \cdot ABdevBC[1] = P_{BCD} \cdot ABdevBC[0]

P_{BCD} = \frac{Pabc*ABdevBC[1]}{ABdevBC[0]} = Pbcd

\frac{P_{ABC}}{P_{BCD}} = \frac{ABdevBC[0]}{ABdevBC[1]}

\frac{Pabc}{P_{BCD}} = \frac{ABdevBC[0]}{ABdevBC[1]}

Pabc \cdot ABdevBC[1] = P_{BCD}

P_{BCD} = Pbcd

\frac{P_{ABC}}{P_{BCD}} = ABdevBC[0]

\frac{Pabc}{P_{BCD}} = ABdevBC[0]

Pabc = P_{BCD} \cdot ABdevBC[0]

P_{BCD} = \frac{Pabc}{ABdevBC[0]} = Pbcd

היקף המשולש BCD שווה לPbcd

אתם צופים בבעיה. כדי לעבוד על בעיות מסוג זה, התחילו תרגיל זה.
צריכים עזרה? בקשו רמז.