randRangeNonZero(-20,20) randRangeNonZero(-20,20) randRangeNonZero(-20,20) 0 1 0 a 2*c/(-1*b) roundTo(2,x) fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(x,.001)) roundTo(2,2*b*x+6*c) rXSecDev>0?[min,"מינימום",">"]:[max,"מקסימום","<"] (a*pow(rX,2)+b*rX+c)/pow(rX,2) roundTo(2,y) createFunc1Arr([asemX,x]) calcFunc1FirstDev(a,b,c,listOfX) calcFunc1UpDown(listOfX,listOfFirstDev) getFunc1UpDownRange(listOfX,listOfFirstDev) a b c Math.pow(B,2)-4*A*C "" DELTA<0?"":(-1*B+Math.sqrt(DELTA))/(2*A) DELTA<0?"":roundTo(2,x1y0) DELTA<0?"":(-1*B-Math.sqrt(DELTA))/(2*A) DELTA<0?"":roundTo(2,x2y0)

חקרו את הפונקציה f(x) = \frac{coefficientFix(a)x^2+ coefficientFix(b)x + c}{x^2} על פי הסעיפים הבאים:

א. תחום הגדרה
ב. אסמיפטוטות מאונכות לציר x (אם אין להשאיר את הסעיף ריק)
ג. אסמיפטוטות מאונכות לציר y (אם אין להשאיר את הסעיף ריק)
ד. נקודות קיצון
ה. תחומי עלייה
ו. תחומי ירידה
ז. נקודות חיתוך עם ציר Y
ח. נקודות חיתוך עם ציר X
ט. שרטוט גרף הפונקציה (תוכלו לצפות בגרף דרך "הצג פתרון" בתום השאלה).

"X ≠ 0"

א. תחום הגדרה

asemY asemX

Y = , X = ב. אסימפטוטות

rX rY

( , ) ג. נקודות קיצון

upDownRange[0] upDownRange[1]

ד. תחומי עלייה

ה. תחומי ירידה

-->
""

Y ו. נקודות חיתוך עם ציר
( 0 , )

DELTA>0?rX1Y0:"" DELTA>0?rX2Y0:""
DELTA>0?rX2Y0:"" DELTA>0?rX1Y0:""

X ז. נקודות חיתוך עם ציר
( , 0 )
( , 0 )

אם אין תשובה באחד מן הסעיפים להשאיר את הסעיף ריק

תחום הגדרה:

הפונקציה היא רציונאלית לכן עלינו לבדוק עבור אילו ערכים המכנה שווה לאפס:

x^2 \neq 0

x \neq 0

אסמיפטוטות מאונכות לציר x

נבדוק את ערך הפונקציה בנקודה בה היא לא מוגדרת

f(asemX) = \frac{a \cdot (asemX)^2 + b \cdot (asemX) + c}{(asemX)^2} = \frac{c}{0}

המונה אינו מתאפס בנקודה ולכן קיימת אסמיפטוטה עבור x = asemX

x = asemX

אסמיפטוטות מאונכות לציר y

למונה ולמכנה חזקות עם אותו מעריך לכן האסמיפטוטה תהיה שווה ליחס בין המקדמים שלהם:

y = \frac{a}{1} = a

y = asemY

נקודות קיצון:
את נקודות הקיצון של הפונקציה ניתן למצוא בעזרת גזירת הפונקיה והשוואת הנגזרת לאפס:

f(x) = \frac{coefficientFix(a)x^2+ coefficientFix(b)x + c}{x^2}

f'(x) = \frac{ ( 2*ax + b) \cdot (x^2) - 2x \cdot (coefficientFix(a)x^2+ coefficientFix(b)x + c)}{x^4}

f'(x) = \frac{ 2*ax^3 + bx^2 - 2*ax^3 - 2*bx^2 - 2*cx}{x^4}

f'(x) = \frac{ coefficientFix(-1*b)x^2 - 2*cx}{x^4}

f'(x) = \frac{ coefficientFix(-1*b)x - 2*c}{x^3}

\frac{ coefficientFix(-1*b)x - 2*c}{x^3} = 0

coefficientFix(-1*b)x - 2*c = 0

coefficientFix(-1*b)x = 2*c

x = rX

x = PRETTY_X = rX

נמצא את ערך Y של הנקודה:

f(rX) = \frac{a \cdot (rX)^2 + b \cdot (rX) + c}{rX^2} = rY

נקודת הקיצון היא (rX,rY)

את סוג הנקודה ניתן לסווג לפי נגזרת שנייה או לפי בדיקת ערכי הנגזרת בסביבה:

[נגזרת שנייה]

נגזור את הפונקציה פעם נוספת ונציב את ערך הנקודה:

f'(x) = \frac{ coefficientFix(-1*b)x - 2*c}{x^3}

f''(x) = \frac{ coefficientFix(-1*b) \cdot x^3 - 3x^2 \cdot (-1*bx - 2*c) }{x^6}

f''(x) = \frac{ coefficientFix(-1*b)x^3 - -3*bx^3 + 6*cx^2 }{x^6}

f''(x) = \frac{ 2*bx^3 + 6*cx^2 }{x^6}

f''(x) = \frac{ 2*bx + 6*c }{x^4}

f''(rX)_{\text{מונה}} = 2*b \cdot (rX) + 6*c = rXSecDev xMinMax[2] 0

הנגזרת השנייה חיובית ולכן נקודת הקיצון היא מינימלית.

הנגזרת השנייה שלילית ולכן נקודת הקיצון היא מקסימלית .

[בדיקת ערכים]

נבדוק את ערך הנגזרת לפני ואחרי נקודת הקיצון:

X round(listOfX[0]*100)/100 round(listOfX[1]*100)/100 round(listOfX[2]*100)/100 round(listOfX[3]*100)/100 round(listOfX[4]*100)/100
f'(x) round(listOfFirstDev[0]*100)/100 round(listOfFirstDev[1]*100)/100 round(listOfFirstDev[2]*100)/100 round(listOfFirstDev[3]*100)/100 round(listOfFirstDev[4]*100)/100
סיווג listUpDown[0] listUpDown[1] listUpDown[2] listUpDown[3] listUpDown[4]

תחומי עלייה וירידה:

תחומי עלייה -

upDownRange[0]

תחומי ירידה -

upDownRange[1]

נקודות חיתוך עם הצירים:

הפונקציה אינה מוגדרת ב x = asemX לכן אינה חותכת את ציר y

חיתוך עם ציר Y אפשר לחשב בעזרת הצבת x=0 בפונקציה:

חיתוך עם ציר X אפשר לחשב על ידי השוואת הפונקציה לאפס:

f(x) = \frac{coefficientFix(a)x^2+ coefficientFix(b)x + c}{x^2} = 0

coefficientFix(a)x^2+ coefficientFix(b)x + c = 0

[פתרון בעזרת נוסחת השורשים]

x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x_{1,2} = \frac{-negParens(B)\pm\sqrt{negParens(B)^2-4 \cdot negParens(A) \cdot negParens(C)}}{2 \cdot negParens(A)}

x_{1,2} = \frac{-B\pm\sqrt{pow(B,2) - negParens(4*A*C) }}{2*A}

x_{1,2} = \frac{-B\pmround(sqrt(pow(B,2)-4*A*C)*100)/100}{2*A}

x_1 = \frac{-B + round(sqrt(pow(B,2)-4*A*C)*100)/100}{2*A} = rX1Y0

x_2 = \frac{-B - round(sqrt(pow(B,2)-4*A*C)*100)/100}{2*A} = rX2Y0

x_1 = rX1Y0

x_2 = rX2Y0

( rX1Y0 , 0 ) , ( rX2Y0 , 0 )

כוון ששורש של משוואה ריבועית הוא שלילי אין חיתוך עם ציר ה x

graphInit({range:[[-30,30],[-30,30]],scale:8,axisArrows:"<->",tickStep:2,labelStep:2,gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,yAxisOpacity:1,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return(a*pow(e,2)+b*e+c)/pow(e,2)},[-40,40]),style({stroke:"ORANGE",strokeWidth:1,strokeDasharray:"-"}),path([[-40,asemY],[40,asemY]]),style({stroke:"red",fill:"red"}),circle([x,y],.2),label([x,y],"("+rX+","+rY+")",xMinMax[0]===min?"below":"above"),rX1Y0!==""&&(circle([x1y0,0],.2),label([x1y0,0],"("+rX1Y0+",0)",x1y0>x2y0?"above right":"above left"),circle([x2y0,0],.2),label([x2y0,0],"("+rX2Y0+",0)",x2y0>x1y0?"above right":"above left"))
randRangeNonZero(-5,5) randRangeNonZero(-10,10) randRangeNonZero(-5,5) 0 1 -c "" a 2*a*c -1*b Math.pow(B,2)-4*A*C (-1*B+Math.sqrt(DELTA))/(2*A) roundTo(2,x1) fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(x1,.001)) roundTo(2,2*A*x1+B) rX1SecDev>0?[min,"מינימום",">"]:[max,"מקסימום","<"] (a*pow(rX1,2)+b)/(rX1+c) roundTo(2,y1) (-1*B-Math.sqrt(DELTA))/(2*A) roundTo(2,x2) fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(x2,.001)) roundTo(2,2*A*x2+B) rX2SecDev>0?[min,"מינימום",">"]:[max,"מקסימום","<"] (a*pow(rX2,2)+b)/(rX2+c) roundTo(2,y2) createFunc2Arr([x1,x2,asemX]) calcFunc2FirstDev(a,b,c,listOfX) calcFunc2UpDown(listOfX,listOfFirstDev) getFunc2UpDownRange(listOfX,listOfFirstDev) -1*b/a xy0<0?0:Math.sqrt(xy0) xy0<0?0:roundTo(2,x1y0) xy0<0?0:-1*Math.sqrt(xy0) xy0<0?0:roundTo(2,x2y0) b/c roundTo(2,yx0)

חקרו את הפונקציה f(x)= \frac{coefficientFix(a)x^2+b}{x+c} על פי הסעיפים הבאים:

א. תחום הגדרה
ב. אסמיפטוטות מאונכות לציר x (אם אין להשאיר את הסעיף ריק)
ג. אסמיפטוטות מאונכות לציר y (אם אין להשאיר את הסעיף ריק)
ד. נקודות קיצון
ה. תחומי עלייה
ו. תחומי ירידה
ז. נקודות חיתוך עם ציר Y
ח. נקודות חיתוך עם ציר X
ט. שרטוט גרף הפונקציה (תוכלו לצפות בגרף דרך "הצג פתרון" בתום השאלה).

"X ≠ "+asemX

א. תחום הגדרה

asemY asemX

Y = , X = ב. אסימפטוטות

rX1 rY1 rX2 rY2
rX2 rY2 rX1 rY1

ג. נקודות קיצון
( , )
( , )

upDownRange[0] upDownRange[1]

ד. תחומי עלייה

ה. תחומי ירידה

rYX0

Y ו. נקודות חיתוך עם ציר
( 0 , )

xy0<0?"":rX1Y0 xy0<0?"":rX2Y0
xy0<0?"":rX2Y0 xy0<0?"":rX1Y0

X ז. נקודות חיתוך עם ציר
( , 0 )
( , 0 )

אם אין תשובה באחד מן הסעיפים להשאיר את הסעיף ריק

תחום הגדרה:

הפונקציה היא רציונאלית לכן עלינו לבדוק עבור אילו ערכים המכנה שווה לאפס:

x + c \neq 0

x \neq -c

אסמיפטוטות מאונכות לציר x

נבדוק את ערך הפונקציה בנקודה בה היא לא מוגדרת

f(asemX)= \frac{a \cdot (asemX)^2 + b}{ asemX + c } = \frac{a*pow(asemX,2)+b}{asemX+c}

המונה אינו מתאפס בנקודה ולכן קיימת אסמיפטוטה עבור x = asemX

x = asemX

אסמיפטוטות מאונכות לציר y

למונה חזקה עם מעריך גבוה יותר מאשר המכנה לכן הפונקציה שואפת לאינסוף ולא קיימת עבורה אסימפטוטה אנכית.

אין אסיפמטוטה

נקודות קיצון:
את נקודות הקיצון של הפונקציה ניתן למצוא בעזרת גזירת הפונקיה והשוואת הנגזרת לאפס:

f(x)= \frac{coefficientFix(a)x^2+b}{x+c}

f'(x)= \frac{ 2*ax \cdot (x+c) - 1 \cdot (coefficientFix(a)x^2+b)}{x+c}

f'(x)= \frac{ 2*ax^2 + 2*a*cx - coefficientFix(a)x^2 - b }{(x+c)^2}

f'(x)= \frac{ coefficientFix(a)x^2 + 2*a*cx - b }{(x+c)^2}

\frac{ coefficientFix(a)x^2 + 2*a*cx - b }{(x+c)^2} = 0

coefficientFix(a)x^2 + 2*a*cx - b = 0

[פתרון בעזרת נוסחת השורשים]

x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x_{1,2} = \frac{-negParens(B)\pm\sqrt{negParens(B)^2-4 \cdot negParens(A) \cdot negParens(C)}}{2 \cdot negParens(A)}

x_{1,2} = \frac{-B\pm\sqrt{pow(B,2) - negParens(4*A*C) }}{2*A}

x_{1,2} = \frac{-B\pmround(sqrt(pow(B,2)-4*A*C)*100)/100}{2*A}

x_1 = \frac{-B + round(sqrt(pow(B,2)-4*A*C)*100)/100}{2*A} = rX1

x_2 = \frac{-B - round(sqrt(pow(B,2)-4*A*C)*100)/100}{2*A} = rX2

x_1 = rX1

x_2 = rX2

נמצא את ערך Y של הנקודה:

f(rX1)= \frac{a \cdot (rX1)^2 + b}{rX1+c} = rY1

( rX1, rY1 )

f(rX2)= \frac{a \cdot (rX2)^2 + b}{rX2+c} = rY2

( rX2, rY2 )

את סוג הנקודה ניתן לסווג לפי נגזרת שנייה או לפי בדיקת ערכי הנגזרת בסביבה:

[נגזרת שנייה]

נגזור את הפונקציה פעם נוספת ונציב את ערך הנקודה:

f'(x)= \frac{ coefficientFix(A)x^2 + Bx + C }{(x+c)^2}

f''(x)_{מונה}= 2*Ax + B

f''(rX1)_{מונה}= 2*A \cdot (rX1) + B = rX1SecDev x1MinMax[2] 0

הנגזרת השנייה חיובית ולכן נקודת הקיצון היא מינימלית.

הנגזרת השנייה שלילית ולכן נקודת הקיצון היא מקסימלית .

f''(rX2)_{מונה}= 2*A \cdot (rX2) + B = rX2SecDev x2MinMax[2] 0

הנגזרת השנייה חיובית ולכן נקודת הקיצון היא מינימלית.

הנגזרת השנייה שלילית ולכן נקודת הקיצון היא מקסימלית .

[בדיקת ערכים]

נבדוק את ערך הנגזרת לפני ואחרי נקודת הקיצון:

X roundTo(2,listOfX[0]) roundTo(2,listOfX[1]) roundTo(2,listOfX[2]) roundTo(2,listOfX[3]) roundTo(2,listOfX[4]) roundTo(2,listOfX[5]) roundTo(2,listOfX[6])
f'(x) roundTo(2,listOfFirstDev[0]) roundTo(2,listOfFirstDev[1]) roundTo(2,listOfFirstDev[2]) roundTo(2,listOfFirstDev[3]) roundTo(2,listOfFirstDev[4]) roundTo(2,listOfFirstDev[5]) roundTo(2,listOfFirstDev[6])
סיווג listUpDown[0] listUpDown[1] listUpDown[2] listUpDown[3] listUpDown[4] listUpDown[5] listUpDown[6]

תחומי עלייה וירידה:

תחומי עלייה -

upDownRange[0]

תחומי ירידה -

upDownRange[1]

נקודות חיתוך עם הצירים:

הפונקציה אינה מוגדרת ב x = asemX לכן אינה חותכת את ציר y

חיתוך עם ציר Y אפשר לחשב בעזרת הצבת x=0 בפונקציה:

f(0)= \frac{a \cdot (0)^2+b}{0+c} = \frac{b}{c} = rYX0

(0,rYX0)

חיתוך עם ציר X אפשר לחשב על ידי השוואת הפונקציה לאפס:

f(x)= \frac{coefficientFix(a)x^2+b}{x+c} = 0

coefficientFix(a)x^2+b = 0

x^2 = roundTo(2,-1*b/a)

x = \pm \sqrt{roundTo(2,-1*b/a)}

x_1 = rX1Y0

x_2 = rX2Y0

( rX1Y0 , 0 ) , ( rX2Y0 , 0 )

כוון ששורש של משוואה הוא שלילי אין חיתוך עם ציר ה x

graphInit({range:[[-30,30],[-30,30]],scale:8,axisArrows:"<->",tickStep:2,labelStep:2,gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,yAxisOpacity:1,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return(a*pow(e,2)+b)/(e+c)},[-40,40]),style({stroke:"red",fill:"red"}),circle([x1,y1],.2),label([x1,y1],"("+rX1+","+rY1+")",x1MinMax[0]===min?"below":"above"),circle([x2,y2],.2),label([x2,y2],"("+rX2+","+rY2+")",x2MinMax[0]===min?"below":"above"),circle([0,yx0],.2),label([0,yx0],"( 0, "+rYX0+")",x2<0?"right":"left"),rX1Y0!==""&&(circle([x1y0,0],.2),label([x1y0,0],"("+rX1Y0+",0)",x1y0>x2y0?"above right":"above left"),circle([x2y0,0],.2),label([x2y0,0],"("+rX2Y0+",0)",x2y0>x1y0?"above right":"above left"))
randRangeNonZero(-5,5) randRangeNonZero(-10,10) randRange(-20,-1) 0 1 Math.sqrt(-1*c) -1*Math.sqrt(-1*c) 0 -1*a -2*b a*c Math.pow(B,2)-4*A*C (-1*B+Math.sqrt(DELTA))/(2*A) roundTo(2,x1) fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(x1,.001)) roundTo(2,-2*a*rX1-2*b) rX1SecDev>0?[min,"מינימום",">"]:[max,"מקסימום","<"] (a*rX1+b)/(pow(rX1,2)+c) roundTo(2,y1) (-1*B-Math.sqrt(DELTA))/(2*A) roundTo(2,x2) fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(x2,.001)) roundTo(2,-2*a*rX2-2*b) rX2SecDev>0?[min,"מינימום",">"]:[max,"מקסימום","<"] (a*rX2+b)/(pow(rX2,2)+c) roundTo(2,y2) createFunc3Arr([x1,x2,asemX1,asemX2]) calcFunc3FirstDev(a,b,c,listOfX) calcFunc3UpDown(listOfX,listOfFirstDev) getFunc3UpDownRange(listOfX,listOfFirstDev) b/c roundTo(2,yx0) -1*b/a roundTo(2,xy0)

חקרו את הפונקציה f(x) = \frac{coefficientFix(a)x+b}{x^2+c} על פי הסעיפים הבאים:

א. תחום הגדרה
ב. אסמיפטוטות מאונכות לציר x (אם אין להשאיר את הסעיף ריק)
ג. אסמיפטוטות מאונכות לציר y (אם אין להשאיר את הסעיף ריק)
ד. נקודות קיצון
ה. תחומי עלייה
ו. תחומי ירידה
ז. נקודות חיתוך עם ציר Y
ח. נקודות חיתוך עם ציר X
ט. שרטוט גרף הפונקציה (תוכלו לצפות בגרף דרך "הצג פתרון" בתום השאלה).

"X ≠ "+asemX1+" , x ≠ "+asemX2

א. תחום הגדרה

asemY asemX1 asemX2
asemY asemX2 asemX1

ב. אסימפטוטות
Y = , X1 = , X2 =

rX1 rY1 rX2 rY2
rX2 rY2 rX1 rY1

ג. נקודות קיצון
( , )
( , )

upDownRange[0] upDownRange[1]

ד. תחומי עלייה

ה. תחומי ירידה

rYX0

Y ו. נקודות חיתוך עם ציר
( 0 , )

rXY0

X ז. נקודות חיתוך עם ציר
( , 0 )

תחום הגדרה:

הפונקציה היא רציונאלית לכן עלינו לבדוק עבור אילו ערכים המכנה שווה לאפס:

x^2+c \neq 0

x^2 \neq -c

x \neq \pm asemX1

אסמיפטוטות מאונכות לציר x

נבדוק את ערך הפונקציה בנקודה בה היא לא מוגדרת

f(asemX1) = \frac{coefficientFix(a) \cdot (asemX1) + b}{(asemX1)^2+c} = \frac{a*asemX1 + b}{(pow(asemX1,2))+c} = \frac{a*asemX1+b}{pow(asemX1,2)+c}

המונה אינו מתאפס בנקודה ולכן קיימת אסמיפטוטה עבור x = asemX1

f(asemX2) = \frac{coefficientFix(a) \cdot (asemX2) + b}{(asemX2)^2+c} = \frac{a*asemX2 + b}{(pow(asemX2,2))+c} = \frac{a*asemX2+b}{pow(asemX2,2)+c}

המונה אינו מתאפס בנקודה ולכן קיימת אסמיפטוטה עבור x = asemX2

x = asemX1

x = asemX2

אסמיפטוטות מאונכות לציר y

למכנה חזקה עם מעריך גבוה יותר מאשר למונה לכן קיימת אסימפטוטה בישר y=0

y = 0

נקודות קיצון:
את נקודות הקיצון של הפונקציה ניתן למצוא בעזרת גזירת הפונקיה והשוואת הנגזרת לאפס:

f(x) = \frac{coefficientFix(a)x+b}{x^2+c}

f'(x) = \frac{ a \cdot (x^2+c) - 2x \cdot (coefficientFix(a)x+b)}{(x^2+c)^2}

f'(x) = \frac{ coefficientFix(a)x^2 + a*c - 2*ax^2 - 2*bx }{(x^2+c)^2}

f'(x) = \frac{ coefficientFix(-1*a)x^2 - 2*bx + a*c }{(x^2+c)^2}

\frac{ -1*ax^2 - 2*bx + a*c }{(x^2+c)^2} = 0

-1*ax^2 - 2*bx + a*c = 0

[פתרון בעזרת נוסחת השורשים]

x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x_{1,2} = \frac{-negParens(B)\pm\sqrt{negParens(B)^2-4 \cdot negParens(A) \cdot negParens(C)}}{2 \cdot negParens(A)}

x_{1,2} = \frac{-B\pm\sqrt{pow(B,2) - negParens(4*A*C) }}{2*A}

x_{1,2} = \frac{-B\pmround(sqrt(pow(B,2)-4*A*C)*100)/100}{2*A}

x_1 = \frac{-B + round(sqrt(pow(B,2)-4*A*C)*100)/100}{2*A} = rX1

x_2 = \frac{-B - round(sqrt(pow(B,2)-4*A*C)*100)/100}{2*A} = rX2

x_1 = rX1

x_2 = rX2

נמצא את ערך Y של הנקודה:

f(rX1) = \frac{a \cdot (rX1) + b}{(rX1)^2+c} = rY1

( rX1, rY1 )

f(rX2) = \frac{a \cdot (rX2) + b}{(rX2)^2+c} = rY2

( rX2, rY2 )

את סוג הנקודה ניתן לסווג לפי נגזרת שנייה או לפי בדיקת ערכי הנגזרת בסביבה:

[נגזרת שנייה]

נגזור את הפונקציה פעם נוספת ונציב את ערך הנקודה:

f'(x) = \frac{ coefficientFix(-1*a)x^2 - 2*bx + a*c }{(x^2+c)^2}

f''(x)_{מונה} = -2*ax - 2*b

f''(rX1)_{מונה} = -2*a \cdot (rX1) - 2*b = rX1SecDev x1MinMax[2] 0

הנגזרת השנייה חיובית ולכן נקודת הקיצון היא מינימלית.

הנגזרת השנייה שלילית ולכן נקודת הקיצון היא מקסימלית .

f''(rX2)_{מונה} = -2*a \cdot (rX2) - 2*b = rX2SecDev x2MinMax[2] 0

הנגזרת השנייה חיובית ולכן נקודת הקיצון היא מינימלית.

הנגזרת השנייה שלילית ולכן נקודת הקיצון היא מקסימלית .

[בדיקת ערכים]

נבדוק את ערך הנגזרת לפני ואחרי נקודת הקיצון:

X roundTo(2,listOfX[0]) roundTo(2,listOfX[1]) roundTo(2,listOfX[2]) roundTo(2,listOfX[3]) roundTo(2,listOfX[4]) roundTo(2,listOfX[5]) roundTo(2,listOfX[6]) roundTo(2,listOfX[7]) roundTo(2,listOfX[8])
f'(x) roundTo(2,listOfFirstDev[0]) roundTo(2,listOfFirstDev[1]) roundTo(2,listOfFirstDev[2]) roundTo(2,listOfFirstDev[3]) roundTo(2,listOfFirstDev[4]) roundTo(2,listOfFirstDev[5]) roundTo(2,listOfFirstDev[6]) roundTo(2,listOfFirstDev[7]) roundTo(2,listOfFirstDev[8])
סיווג listUpDown[0] listUpDown[1] listUpDown[2] listUpDown[3] listUpDown[4] listUpDown[5] listUpDown[6] listUpDown[7] listUpDown[8]

תחומי עלייה וירידה:

תחומי עלייה -

upDownRange[0]

תחומי ירידה -

upDownRange[1]

נקודות חיתוך עם הצירים:

הפונקציה אינה מוגדרת ב x = asemX לכן אינה חותכת את ציר y

חיתוך עם ציר Y אפשר לחשב בעזרת הצבת x=0 בפונקציה:

f(0) = \frac{coefficientFix(a) \cdot (0) +b}{(0)^2+c} = \frac{b}{c} = rYX0

(0,rYX0)

חיתוך עם ציר X אפשר לחשב על ידי השוואת הפונקציה לאפס:

f(x) = \frac{coefficientFix(a)x+b}{x^2+c} = 0

coefficientFix(a)x+b = 0

coefficientFix(a)x = -1*b

x = rXY0

(rXY0, 0)

graphInit({range:[[-30,30],[-30,30]],scale:8,axisArrows:"<->",gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,yAxisOpacity:1,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return(a*e+b)/(pow(e,2)+c)},[-40,40]),style({stroke:"ORANGE",strokeWidth:1,strokeDasharray:"-"}),path([[-40,asemY],[40,asemY]]),path([[asemX1,-40],[asemX1,40]]),path([[asemX2,-40],[asemX2,40]]),style({stroke:"red",fill:"red"}),circle([x1,y1],.25),label([x1,y1],"("+rX1+","+rY1+")",x1>0?"above":"below"),circle([x2,y2],.25),label([x2,y2],"("+rX2+","+rY2+")",x2MinMax[0]===min?"below":"above"),circle([0,yx0],.25),label([0,yx0],"( 0, "+rYX0+")","left"),circle([xy0,0],.25),label([xy0,0],"("+rXY0+",0)",x1>0?"below":"above")
אתם צופים בבעיה. כדי לעבוד על בעיות מסוג זה, התחילו תרגיל זה.
צריכים עזרה? בקשו רמז.