randRange(1,10) randRange(1,20) pow(X,2)/B toFraction(A,.001) fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(A,.001)) 3*A Math.sqrt(tromX) A%1===0?"\\dfrac{"+A+"}{\\text{x}}":"\\dfrac{"+monaMehaneA[0]+"}{"+monaMehaneA[1]+"\\text{x}}" A%1===0?"\\dfrac{"+A+"}{"+x+"}":"\\dfrac{"+monaMehaneA[0]+"}{"+monaMehaneA[1]+"\\cdot"+x+"}" A/x fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(z,.001)) A%1===0?"\\dfrac{"+3*A+"}{\\text{x}}":"\\dfrac{"+3*monaMehaneA[0]+"}{"+monaMehaneA[1]+"\\text{x}}" A%1===0?"\\dfrac{"+3*A+"}{\\text{x}^2}":"\\dfrac{"+3*monaMehaneA[1]*monaMehaneA[0]+"}{"+pow(monaMehaneA[1],2)+"\\text{x}^2}" A%1===0?3*A:3*monaMehaneA[1]*monaMehaneA[0] A%1===0?"\\text{x}^2":pow(monaMehaneA[1],2)+"\\text{x}^2" round(x-1) round(x+1) A%1===0?"\\dfrac{"+3*A+"}{"+pow(xm1,2)+"}":"\\dfrac{"+3*monaMehaneA[1]*monaMehaneA[0]+"}{"+pow(monaMehaneA[1],2)*pow(xm1,2)+"}" A%1===0?"\\dfrac{"+3*A+"}{"+pow(xp1,2)+"}":"\\dfrac{"+3*monaMehaneA[1]*monaMehaneA[0]+"}{"+pow(monaMehaneA[1],2)*pow(xp1,2)+"}" A%1===0?3*A/pow(xm1,2):3*monaMehaneA[1]*monaMehaneA[0]/(pow(monaMehaneA[1],2)*pow(xm1,2)) A%1===0?3*A/pow(xp1,2):3*monaMehaneA[1]*monaMehaneA[0]/(pow(monaMehaneA[1],2)*pow(xp1,2)) round(xm1firstDev*100)/100 round(xp1firstDev*100)/100 A%1===0?-2:-2*pow(monaMehaneA[1],2) A%1===0?"\\dfrac{"+3*A+"}{\\text{x}^3}":"\\dfrac{"+3*monaMehaneA[1]*monaMehaneA[0]+"}{"+pow(monaMehaneA[1],4)+"\\text{x}^3}" A%1===0?"\\dfrac{"+6*A+"}{\\text{x}^3}":"\\dfrac{"+2*pow(monaMehaneA[1],2)*3*monaMehaneA[1]*monaMehaneA[0]+"}{"+pow(monaMehaneA[1],4)+"\\text{x}^3}" A%1===0?"\\dfrac{"+6*A+"}{"+x+"^3}":"\\dfrac{"+2*pow(monaMehaneA[1],2)*3*monaMehaneA[1]*monaMehaneA[0]+"}{"+pow(monaMehaneA[1],4)+"\\cdot"+x+"^3}" A%1===0?"\\dfrac{"+6*A+"}{"+pow(x,3)+"}":"\\dfrac{"+2*pow(monaMehaneA[1],2)*3*monaMehaneA[1]*monaMehaneA[0]+"}{"+pow(monaMehaneA[1],4)*pow(x,3)+"}" A%1===0?6*A/pow(x,3):2*pow(monaMehaneA[1],2)*3*monaMehaneA[1]*monaMehaneA[0]/(pow(monaMehaneA[1],4)*pow(x,3)) fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(xSecDev,.001))

(השאלה לקוחה משאלון 003 מועד חורף תשע"ג)

מבין כל זוגות המספרים החיוביים x ו-z המקיימים x*z=PRETTY_A, מצא את זוג המספרים שעבורם הסכום x+coefficientFix(B)z הוא מינימלי.

x x ערכו של

z z ערכו של

את התוצאות יש להכניס כשבר פשוט

כדי למצוא סכום מינימלי עלינו לבנות פונקציה אשר תתאר את הסכום תוך שימוש בנעלם אחד בלבד.

בשאלה יש שני נעלמים אך עלינו לבטא את אחד מהם באמצעות השני לפני בניית הפונקציה.

נבטא את z במונחי x כדי לבנות פונקציה עבור x:

x*z=PRETTY_A /: x

z=Z

הסכום שעלינו למצוא במונחי x הוא x+3 \cdot Z

נהפוך את הסכום לפונקציה ונשווה את הנגזרת שלה לאפס למציאת נקודות חשודות לקיצון:

f(x) = x + threeZ

f'(x) = 1 - threeZfirstDev

1 - threeZfirstDev = 0 / \cdot threeZfirstDevMehane

threeZfirstDevMehane - threeZfirstDevMona = 0

threeZfirstDevMehane = threeZfirstDevMona

x^2 = tromX

x = \pm x

התשובה השלילית נפסלת כיוון שx חייב להיות מספר חיובי לפי השאלה.

נסווג את נקודת הקיצון כדי לוודא שהיא אכן מינימלית.

[סיווג בעזרת נגזרת שנייה]

f'(x) = 1 - threeZfirstDev

f''(x) = -(threeZsecDevMehane2Mona) \cdot threeZsecDevBefore = threeZsecDev

f''(x) = threeZsecDevWithX = threeZsecDevWithXCalc = PRETTY_xSecDev > 0

הנגזרת השנייה חיובית בנקודה ולכן הנקודה היא מינימלית.

[סיווג בעזרת בדיקת ערכים]

נבדוק את ערכי הנגזרת לפני ואחרי הנקודה:

f'(xm1) = 1 - threeZfirstDevWithXm1 = 1 - rxm1firstDev = round((1-xm1firstDev)*100)/100 < 0

f'(xp1) = 1 - threeZfirstDevWithXp1 = 1 - rxp1firstDev = round((1-xp1firstDev)*100)/100 > 0

הפונקציה יורדת לפני הנקודה (נגזרת שלילית) ועולה אחריה (נגזרת חיובית) ולכן זו נקודת מינימום.

עבור x=x נקבל את את הסכום x+coefficientFix(B)z המינימלי

כעט נמצא את z

z=Z = ZwithX = PRETTY_Z

randRange(1,4) randRange(3,10) pow(b,2) b-A b 2*B/pow(x+A,3) fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(xSecDev,.001)) round(x-1) round(x+1) 1-B/pow(xm1+A,2) fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(xm1FirstDev,.001)) 1-B/pow(xp1+A,2) fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(xp1FirstDev,.001))

(השאלה לקוחה משאלון 003 מועד חורף תשע"א)

מבין כל המספרים החיוביים x ו-y המקיימים y(x+A)=B, מצא את שני המספרים שעבורם הסכום x+y הוא מינימלי.

x x ערכו של

y y ערכו של

כדי למצוא סכום מינימלי עלינו לבנות פונקציה אשר תתאר את הסכום תוך שימוש בנעלם אחד בלבד.

בשאלה יש שני נעלמים אך עלינו לבטא את אחד מהם באמצעות השני לפני בניית הפונקציה.

נבטא את y במונחי x כדי לבנות פונקציה עבור x:

y(x+A)=B / : (x+A)

y = \frac{B}{x+A}

הסכום שעלינו למצוא במונחי x הוא x+\frac{B}{x+A}

נהפוך את הסכום לפונקציה ונשווה את הנגזרת שלה לאפס למציאת נקודות חשודות לקיצון:

f(x) = x+\frac{B}{x+A}

f'(x) = 1 - \frac{B}{(x+A)^2}

1 - \frac{B}{(x+A)^2} = 0 / \cdot (x+A)^2

(x+A)^2 - B = 0

(x+A)^2 = B

x+A = \pm b

x_1 = b-A

x_2 = -b-A

התשובה השלילית נפסלת כיוון שx חייב להיות מספר חיובי לפי השאלה.

נסווג את נקודת הקיצון כדי לוודא שהיא אכן מינימלית.

[סיווג בעזרת נגזרת שנייה]

f'(x) = 1 - \frac{B}{(x+A)^2}

f''(x) = -(-2) \cdot \frac{B}{(x+A)^3} = \frac{2*B}{(x+A)^3}

f''(x) = \frac{2*B}{x+A^3} = \frac{2*B}{pow(x+A,3)} = PRETTY_xSecDev > 0

הנגזרת השנייה חיובית בנקודה ולכן הנקודה היא מינימלית.

[סיווג בעזרת בדיקת ערכים]

נבדוק את ערכי הנגזרת לפני ואחרי הנקודה:

f'(xm1) = 1 - \frac{B}{(xm1+A)^2} = 1 - \frac{B}{pow(xm1+A,2)} = PRETTY_xm1FirstDev < 0

f'(xp1) = 1 - \frac{B}{(xp1+A)^2} = 1 - \frac{B}{pow(xp1+A,2)} = PRETTY_xp1FirstDev > 0

הפונקציה יורדת לפני הנקודה (נגזרת שלילית) ועולה אחריה (נגזרת חיובית) ולכן זו נקודת מינימום.

עבור x=x נקבל את את הסכום x+y המינימלי

כעט נמצא את y

y = \frac{B}{x+A} = \frac{B}{x+A} = y

randRange(2,5) randRange(1,5) (B+pow(B,2))*pow(X,3)/2 B*X A/(B*pow(X,2)) A/B 6*A/(B*pow(X,5)) round(XsecDev*100)/100 round(X-1) round(X+1) B+1-2*A/(B*pow(xm1,3)) fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(xm1FirstDev,.001)) B+1-2*A/(B*pow(xp1,3)) fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(xp1FirstDev,.001))

המכפלה של שלושה מספרים חיוביים היא A. המספר השני גדול פי B מהמספר הראשון. מצא את שלושת המספרים שעבורם סכום שלושתם הוא מינימלי.

X X2 X3
X3 X X2
X2 X3 X
X2 X X3
X3 X2 X
X X3 X2

מספר ראשון

מספר שני

מספר שלישי

בשלב הראשון נגדיר את המספר הראשון בתור x ואת שני המספרים האחרים בהתאם לו:

המספר השני גדול פי B מהמספר הראשון – Bx

נגדיר זמנית את המספר השלישי בתור y ונבנה את המכפלה הנתונה בשאלה ומתוכה נבטא את y באמצעות x:

x \cdot Bx \cdot y = A

Bx^2 \cdot y = A / :Bx^2

y = \frac{A}{Bx^2} = \frac{A/B}{x^2}

y = \frac{A}{Bx^2}

נבנה מסכום שלושת המספרים פונקציה ונגזור אותה למצוא ערך מינימלי:

f(x) = x + Bx + \frac{A/B}{x^2} = B+1x + \frac{A/B}{x^2}

f'(x) = B+1 - 2 \cdot \frac{A/B}{x^3} = B+1 - \frac{2*(A/B)}{x^3}

B+1 - \frac{2*(A/B)}{x^3} = 0 / \cdot x^3

B+1x^3 - 2*(A/B) = 0

B+1x^3 = 2*(A/B)

x^3 = 2*A/(B*(B+1))

x = X

f(x) = x + Bx + \frac{A}{Bx^2} = B+1x + \frac{A}{Bx^2}

f'(x) = B+1 - 2*B \cdot \frac{A}{pow(B,2)x^3} = B+1 - \frac{2*A}{Bx^3}

B+1 - \frac{2*A}{Bx^3} = 0 / \cdot Bx^3

(B+1)*Bx^3 - 2*A = 0

(B+1)*Bx^3 = 2*A

x^3 = 2*A/(B*(B+1))

x = X

נסווג את נקודת הקיצון כדי לוודא שהיא אכן מינימלית.

[סיווג בעזרת נגזרת שנייה]

f'(x) = B+1 - \frac{2*A/B}{x^3}

f''(x) = -(-3) \cdot \frac{2*A/B}{x^5} = \frac{6*A/B}{x^5}

f''(X) = \frac{6*A/B}{X^5} = \frac{6*A/B}{pow(X,5)} = rXsecDev > 0

הנגזרת השנייה חיובית בנקודה ולכן הנקודה היא מינימלית.

f'(x) = B+1 - \frac{2*A}{Bx^3}

f''(x) = -(-3*B) \cdot \frac{2*A}{pow(B,2)x^5} = \frac{6*A}{Bx^5}

f''(X) = \frac{6*A}{B \cdot X^5} = \frac{6*A}{B*pow(X,5)} = rXsecDev > 0

הנגזרת השנייה חיובית בנקודה ולכן הנקודה היא מינימלית.

[סיווג בעזרת בדיקת ערכים]

נבדוק את ערכי הנגזרת לפני ואחרי הנקודה:

f'(xm1) = B+1 - \frac{2*A/B}{xm1^3} = B+1 - \frac{2*A/B}{pow(xm1,3)} = PRETTY_xm1FirstDev < 0

f'(xp1) = B+1 - \frac{2*A/B}{xp1^3} = B+1 - \frac{2*A/B}{pow(xp1,3)} = PRETTY_xp1FirstDev > 0

הפונקציה יורדת לפני הנקודה (נגזרת שלילית) ועולה אחריה (נגזרת חיובית) ולכן זו נקודת מינימום.

f'(xm1) = B+1 - \frac{2*A}{B \cdot xm1^3} = B+1 - \frac{2*A}{B*pow(xm1,3)} = PRETTY_xm1FirstDev < 0

f'(xp1) = B+1 - \frac{2*A}{B \cdot xp1^3} = B+1 - \frac{2*A}{B*pow(xp1,3)} = PRETTY_xp1FirstDev > 0

הפונקציה יורדת לפני הנקודה (נגזרת שלילית) ועולה אחריה (נגזרת חיובית) ולכן זו נקודת מינימום.

עבור x=X נקבל את את סכום שלושת המספרים המינימלי.

כעט נחשב את שלושת המספרים

מספר ראשון – x = X

מספר שני – B \cdot x = B \cdot X = X2

מספר שלישי - \frac{A/B}{x^2} = \frac{A/B}{X^2} = X3

מספר שלישי - \frac{A}{Bx^2} = \frac{A}{B \cdot X^2} = X3

אתם צופים בבעיה. כדי לעבוד על בעיות מסוג זה, התחילו תרגיל זה.
צריכים עזרה? בקשו רמז.