randRangeNonZero(1,2)/2 randRangeNonZero(1,9)+half randRangeNonZero(1,10) (pow(C,2)-2*A)/-2 C*Math.sqrt(x) round(x-1) round(x+1)

(השאלה לקוחה משאלון 803 מועד חורף תשע"ה)

נתונה הפונקציה f(x)=coefficientFix(C)\sqrt{x}, ונתונה הנקודה A(A,0).

נקודה M נמצאת על גרף הפונקציה f(x).

נסמן את השיעורים של הנקודה M: (x,coefficientFix(C)\sqrt{x}) (ראה ציור)

מה צריך להיות x, כדי שריבוע האורך של הקטע MA יהיה מינימלי.

var maxX=12,maxY=C*Math.sqrt(maxX)+1,cc=C==1?"":C;graphInit({range:[[-2,maxX],[-2,maxY]],scale:20,axisArrows:"<->",tickStep:1,labelStep:2,gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,yAxisOpacity:1,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return C*Math.sqrt(e)},[0,11]),style({stroke:"red",fill:"red"}),circle([x,y],.1),label([x,y],"M ( x , "+cc+"\\sqrt{x})","above left"),circle([A,0],.1),label([A,-1],"A ( "+A+" , 0 )","right"),style({stroke:"black",strokeWidth:2}),path([[x,y],[A,0]])

x x ערכו של

ניסוח השאלה של "ריבוע האורך" מרמז על חישוב בעזרת משפט פיתגורס.

ניתן לבנות משולש ישר זווית אשר MA הוא היתר שלו ולחשב את אורכו בעזרת הניצבים.

style({stroke:"red",fill:"red"}),circle([x,0],.1),label([x,-1],"B ( x , 0 )","left"),style({stroke:"black",strokeWidth:2}),path([[x,y],[x,0]]),path([[A,0],[x,0]])

הנקודה B נמצאת על אותו קו ישר כמו הנקודה M ולכן שיעורי ה-x שלהן זהים – x בנוסף, הנקודה B נמצאת על ציר x ולכן שיעורי ה-y שלה שווים לאפס. B(x,0)

נחשב את אורך הניצבים בעזרת הנקודות הנתונות:

MB = y_M - y_B = coefficientFix(C)\sqrt{x} - 0 = coefficientFix(C)\sqrt{x}

BA = x_A - x_B = A - x

MA^2 = MB^2 + BA^2

MA^2 = (coefficientFix(C)\sqrt{x})^2 + (A - x)^2 = coefficientFix(pow(C,2))x + pow(A,2) - 2*Ax + x^2

MA^2 = x^2 + pow(C,2)-2*Ax + pow(A,2)

נגדיר את ריבוע האורך MA כפונקציה ונגזור אותה כדי למצוא נקודות קיצון חשודות:

f(x) = x^2 + pow(C,2)-2*Ax + pow(A,2)

f'(x) = 2x + pow(C,2)-2*A

2x + pow(C,2)-2*A = 0 / - pow(C,2)-2*A

2x = -1*(pow(C,2)-2*A)

x = x

נסווג את נקודת הקיצון כדי לוודא שהיא אכן מינימלית.

[סיווג בעזרת נגזרת שנייה]

f'(x) = 2x + pow(C,2)-2*A

f'(x) = 2 > 0

הנגזרת השנייה חיובית לכל X ולכן הנקודה היא מינימלית.

[סיווג בעזרת בדיקת ערכים]

נבדוק את ערכי הנגזרת לפני ואחרי הנקודה:

f'(xm1) = 2 \cdot xm1 + pow(C,2)-2*A = 2*xm1+pow(C,2)-2*A < 0

f'(xp1) = 2 \cdot xp1 + pow(C,2)-2*A = 2*xp1+pow(C,2)-2*A > 0

הפונקציה יורדת לפני הנקודה (נגזרת שלילית) ועולה אחריה (נגזרת חיובית) ולכן זו נקודת מינימום.

x צריך להיות שווה לx כדי שריבוע האורך MA יהיה מינימלי.

randRangeNonZero(1,5) randRangeNonZero(-10,-1) randRangeNonZero(-10,10) (B+1)/(-2*A) A*pow(x,2)+B*x+C round(x-1) round(x+1) pow(B,2)-4*A*C (-1*B+Math.sqrt(delta))/(2*A) (-1*B-Math.sqrt(delta))/(2*A)

(השאלה לקוחה משאלון 803 מועד חורף תשע"ב)

בציור שלפניך נתונה הפונקציה y= coefficientFix(A)x^2 + coefficientFix(B)x + C.

C היא נקודה על גרף הפונקציה.

מצא את שיעור ה-x של הנקודה C שעבורו סכום השיעורים של C הוא מינימלי.

var minY=y<0?y-5:-3,maxY=y>0?y+5:3,minX=x2-5,maxX=x1+5;graphInit({range:[[minX,maxX],[minY,maxY]],scale:20,axisArrows:"<->",tickStep:1,labelStep:2,gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,yAxisOpacity:1,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return A*Math.pow(e,2)+B*e+C},[-10,10]),style({stroke:"red",fill:"red"}),circle([x,y],.15),label([x,y],"C","below left")

x x ערכו של

נסמן את שיעור x של הנקודה C בתור x ואז שיעור y של הנקודה הוא coefficientFix(A)x^2 + coefficientFix(B)x + C

סכום השיעורים של הנקודה הוא הסכום של x ו-y.

נבנה מהסכום פונקציה ונגזור אותה כדי למצוא נקודות חשודות לקיצון:

f(x) = x + coefficientFix(A)x^2 + coefficientFix(B)x + C = coefficientFix(A)x^2 + B+1x + C

f'(x) = 2 \cdot coefficientFix(A)x + B+1

2*Ax + B+1 = 0 / - B+1

2*Ax = -1*(B+1)

x = x

נסווג את נקודת הקיצון כדי לוודא שהיא אכן מינימלית.

[סיווג בעזרת נגזרת שנייה]

f'(x) = 2*Ax + B+1

f''(x) = 2*A > 0

הנגזרת השנייה חיובית לכל X ולכן הנקודה היא מינימלית.

[סיווג בעזרת בדיקת ערכים]

נבדוק את ערכי הנגזרת לפני ואחרי הנקודה:

f'(xm1) = 2*A \cdot (xm1) + B+1 = 2*A*xm1+B+1 < 0

f'(xp1) = 2*A \cdot (xp1) + B+1 = 2*A*xp1+B+1 > 0

הפונקציה יורדת לפני הנקודה (נגזרת שלילית) ועולה אחריה (נגזרת חיובית) ולכן זו נקודת מינימום.

X צריך להיות שווה לx כדי שסכום השיעורים של C יהיה מינימלי.

randRangeNonZero(-5,-1) randRangeNonZero(1,5) -3*A*pow(C,2) A/2 fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(a2,.001)) 3*A/2 fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(a1p5,.001)) 3*A fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(a3,.001)) B/2 fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(b2,.001)) B/(-3*A) Math.sqrt(tromX) A*pow(x,2)+B round(x-1) round(x+1)

(השאלה לקוחה משאלון 803 מועד קיץ תשע"א)

נתון גרף הפונקציה y= coefficientFix(A)x^2 + B ברביע הראשון.

ישר המקביל לציר ה-x חותך את גרף הפונקציה בנקודה A שנמצאת

ברביע הראשון, ואת ציר ה-y בנקודה B.

מחברים את הנקודה A עם ראשית הצירים O (ראה ציור)

מה צריך להיות אורך הקטע AB כדי ששטח המשולש AOB יהיה מקסימלי?

graphInit({range:[[-1,5],[-1,11]],scale:30,axisArrows:"<->",gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,yAxisOpacity:1,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return-1*Math.pow(e,2)+9},[0,3]),style({stroke:"red",fill:"red"}),circle([0,0],.15),label([0,0],"O","below left"),circle([0,7],.15),label([0,7],"B","left"),circle([1.44,7],.15),label([1.44,7],"A","right"),style({stroke:"black",strokeWidth:2}),path([[1.44,7],[0,7]]),path([[0,0],[1.44,7]])

x AB אורך הקטע

המשולש AOB הוא משולש ישר זווית – שטחו שווה למכפלת הניצבים חלקי 2.

נמצא את ערכי שלושת הנקודות בשאלה:

נגדיר את שיעור ה-x של הנקודה A בתור x. מכן נובע ששיעור y

שלה הוא - coefficientFix(A)x^2 + B כיוון שהנקודה נמצאת על הפונקציה.

A (x,coefficientFix(A)x^2 + B)

B נמצאת על ציר y ולכן שיעור x שלהם הוא 0. שיעור y שלה זהה לשיעור y של הנקודה A

B (0,coefficientFix(A)x^2 + B)

הנקודה O היא ראשית הצירים

O (0,0)

הניצב AB מקביל לציר x לכן אורכו שווה להפרש שיעורי x בין הנקודות A ו-B:

AB = x_A - x_B = x - 0 = x

הניצב OB מקביל לציר y לכן אורכו שווה להפרש שיעורי y בין הנקודות O ו-B:

OB = y_B - y_O = coefficientFix(A)x^2 + B - 0 = coefficientFix(A)x^2 + B

שטח המשולש שווה למכפלת הניצבים חלקי 2:

S_{AOB} = \frac{ x \cdot (coefficientFix(A)x^2 + B) }{2}

נגדיר את השטח כפונקציה ונגזור אותה כדי למצוא נקודות חשודות לקיצון.

f(x) = \frac{x \cdot (coefficientFix(A)x^2 + B)}{2} = \frac{coefficientFix(A)x^3 + Bx}{2} = PRETTY_A2x^3 + PRETTY_B2x

f'(x) = 3 \cdot (PRETTY_A2)x^2 + PRETTY_B2 = PRETTY_A1P5x^2 + PRETTY_B2

PRETTY_A1P5x^2 + PRETTY_B2 = 0 / - PRETTY_A1P5x^2

PRETTY_B2 = - PRETTY_A1P5x^2

tromX = x^2

\pmx = x

הערך השלילי מתבטל כיוון שנתון שהנקודה נמצאת ברביע הראשון (x חיובי)

נסווג את נקודת הקיצון כדי לוודא שהיא אכן מינימלית.

[סיווג בעזרת נגזרת שנייה]

f'(x) = PRETTY_A1P5x^2 + PRETTY_B2

f''(x) = 2 \cdot (PRETTY_A1P5)x = PRETTY_A3x

f''(x) = PRETTY_A3 \cdot (x) = a3*x < 0

הנגזרת השנייה שלילית בנקודה ולכן הנקודה היא מקסימלית.

[סיווג בעזרת בדיקת ערכים]

נבדוק את ערכי הנגזרת לפני ואחרי הנקודה:

f'(xm1) = PRETTY_A1P5 \cdot (xm1)^2 + PRETTY_B2 = a1p5*pow(xm1,2) + PRETTY_B2 = a1p5*pow(xm1,2)+b2 > 0

f'(xp1) = PRETTY_A1P5 \cdot (xp1)^2 + PRETTY_B2 = a1p5*pow(xp1,2) + PRETTY_B2 = a1p5*pow(xp1,2)+b2 < 0

הפונקציה עולה לפני הנקודה (נגזרת חיובית) ויורדת אחריה (נגזרת שלילית) ולכן זו נקודת מקסימום.

x = AB

AB צריך להיות שווה לx כדי ששטח המשולש AOB יהיה מקסימלי.

אתם צופים בבעיה. כדי לעבוד על בעיות מסוג זה, התחילו תרגיל זה.
צריכים עזרה? בקשו רמז.