randRangeExclude(2,10,[7]) randRangeExclude(2,10,[7]) 10-B A*pow(x,2)/B round(x-1) round(x+1)

(השאלה לקוחה משאלון 803 מועד קיץ תשע"ד)

בציור שלפניך מוצגת רשת שצורתה מלבן.

הרשת עשויה מ-A מוטות ארוכים שהאורך של כל אחד מהם הוא x, ומ-B מוטות קצרים שהאורך של כל אחד מהם הוא y.

נתון: x*y=C

מה צריך להיות x, כדי שסכום האורכים של כל המוטות, שהרשת עשויה מהם, יהיה מינימלי?

var w=1,L=(B-1)*w,H=(A-1)*w,maxY=A*w+w,maxX=B*w+w;init({range:[[-1,maxX],[-1,maxY]],scale:30});var i=0;for(i=0;i<A;i++)path([[0,i*w],[L,i*w]],{stroke:BLUE});var j=0;for(j=0;j<B;j++)path([[j*w,0],[j*w,H]],{stroke:RED});label([-1,H/2],"y","center"),label([L/2,H+1],"x","center")

x x ערכו של

בשלב הראשון נביע את y באמצעות x כדי שנוכל לבנות פונקציה עבור סכום האורכים של כל המוטות:

x*y=C

y = \frac{C}{x}

יש לנו A מוטות באורך x – סה"כ Ax מטר עבורם.

בנוסף, B מוטות באורך y ( \frac{C}{x}) – סה"כ B \cdot \frac{C}{x}

הפונקציה שלנו שווה לסכום כל המוטות:

f(x) = Ax + \frac{B*C}{x}

נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת לאפס כדי למצוא נקודות חשודות לקיצון:

f'(x) = A - \frac{B*C}{x^2}

A - \frac{B*C}{x^2} = 0 / \cdot x^2

Ax^2 - B*C = 0

Ax^2 = B*C

x^2 = B*C/A

x = \pm Math.sqrt(B*C/A)

התשובה השלילית נפסלת כיוון שx חייב להיות גודל חיובי (מציין אורך של מוט).

נסווג את נקודת הקיצון כדי לוודא שהיא אכן מינימלית.

[סיווג בעזרת נגזרת שנייה]

f'(x) = A - \frac{B*C}{x^2}

f''(x) = - (-2) \cdot \frac{B*C}{x^3} = \frac{2*B*C}{x^3}

f''(x) = \frac{2*B*C}{x^3} = \frac{2*B*C}{pow(x,3)} = round(2*B*C/pow(x,3)*100)/100 > 0

הנגזרת השנייה חיובית בנקודה ולכן הנקודה היא מינימלית.

[סיווג בעזרת בדיקת ערכים]

נבדוק את ערכי הנגזרת לפני ואחרי הנקודה:

f'(xm1) = A - \frac{B*C}{xm1^2} = A - round(B*C/pow(xm1,2)*100)/100 = round((A-B*C/pow(xm1,2))*100)/100 < 0

f'(xp1) = A - \frac{B*C}{xp1^2} = A - round(B*C/pow(xp1,2)*100)/100 = round((A-B*C/pow(xp1,2))*100)/100 > 0

הפונקציה יורדת לפני הנקודה (נגזרת שלילית) ועולה אחריה (נגזרת חיובית) ולכן זו נקודת מינימום.

עבור x=x נקבל את סכום אורכים מינימלי של מוטות.

randRange(1,10) randRange(1,10) randRange(1,20) pow(X,2)*B/C -4*C*A/pow(X,3) fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(secDevX,.001)) round(X-1) round(X+1) (-2*B*pow(xm1,2)+2*C*A)/pow(xm1,2) round(firstDevXM1*100)/100 (-2*B*pow(xp1,2)+2*C*A)/pow(xp1,2) round(firstDevXP1*100)/100

(השאלה לקוחה משאלון 803 מועד ג' קיץ תשע"ד)

שטח כל עמוד בחוברת פרסום למוצרי קוסמטיקה צריך להיות A סמ"ר.

רוחב השוליים בראש העמוד ובתחתיתו צריך להיות B ס"מ, ורוחב השוליים בצדדים צריך להיות C ס"מ (ראה ציור).

נסמן ב-x את רוחב העמוד.

מה צריך להיות x, כדי שהשטח המיועד לדפוס יהיה מקסימלי (השטח המלא בציור).

init({range:[[-1,10],[-1,12]],scale:30}),path([[0,0],[0,10],[8,10],[8,0],[0,0]],{stroke:BLUE}),path([[2,2],[2,8],[6,8],[6,2],[2,2]],{stroke:RED,fill:RED}),path([[3,11],[0,11]],{stroke:BLUE,arrows:"<-"}),path([[5,11],[8,11]],{stroke:BLUE,arrows:"->"}),label([4,11],"x","center"),path([[1,5],[0,5]],{stroke:BLUE,arrows:"<-"}),path([[1,5],[2,5]],{stroke:BLUE,arrows:"->"}),label([1,5],C,"above"),path([[7,5],[6,5]],{stroke:BLUE,arrows:"<-"}),path([[7,5],[8,5]],{stroke:BLUE,arrows:"->"}),label([7,5],C,"below"),path([[4,1],[4,0]],{stroke:BLUE,arrows:"<-"}),path([[4,1],[4,2]],{stroke:BLUE,arrows:"->"}),label([4,1],B,"left"),path([[4,9],[4,8]],{stroke:BLUE,arrows:"<-"}),path([[4,9],[4,10]],{stroke:BLUE,arrows:"->"}),label([4,9],B,"right")

X x ערכו של

בשלב הראשון עלינו להביע בעזרת x את השטח המלא.

אם רוחב העמוד הוא x והשוליים מכל צד צריכים להיות C ס"מ אז רוחב השטח המלא הוא x-2 \cdot C=x-2*C

שטח העמוד הוא A סמ"ר. מכאן נובע כי אורך העמוד הוא \frac {A}{x} ואורך השטח המלא הוא \frac {A}{x} - 2 \cdot B = \frac {A}{x} - 2*B

השטח המלא הוא מלבן ולכן שטחו שווה למכפלת הצלעות וזוהי פונקציית המטרה שלנו:

f(x) = (x-2*C)(\frac {A}{x} - 2*B)

f(x) = \frac {(x-2*C)(A - 2*Bx)}{x}

f(x) = \frac {Ax - 2*Bx^2 -2*C*A + 2*C*2*Bx }{x}

f(x) = \frac {-2*Bx^2 + 2*C*2*B+Ax - 2*C*A}{x}

נגזור את הפונקציה לפי נגזרת של מנה ונשווה את הנגזרת לאפס כדי למצוא נקודות חשודות לקיצון.

f'(x) = \frac { (-2*Bx^2 + 2*C*2*B+Ax - 2*C*A)' \cdot x - (-2*Bx^2 + 2*C*2*B+Ax - 2*C*A) \cdot x' }{x^2}

f'(x) = \frac { (-4*Bx + 2*C*2*B+A) \cdot x - (-2*Bx^2 + 2*C*2*B+Ax - 2*C*A) }{x^2}

f'(x) = \frac { -4*Bx^2 + 2*C*2*B+Ax + 2*Bx^2 - 2*C*2*B+Ax + 2*C*A }{x^2}

f'(x) = \frac { -2*Bx^2 + 2*C*A }{x^2} = \frac { -2*B(x^2 - C*A/B) }{x^2}

\frac { -2*B(x^2 - C*A/B) }{x^2} = 0 / \cdot x^2

-2*B(x^2 - C*A/B) = 0

x^2 - C*A/B = 0

x^2 = C*A/B

x = \pm Math.sqrt(C*A/B)

התוצאה השלילית מתבטלת כיוון שX מייצג אורך והוא חייב להיות חיובי.

נסווג את נקודת הקיצון כדי לוודא שהיא אכן מקסימלית.

[סיווג בעזרת נגזרת שנייה]

f'(x) = \frac { -2*Bx^2 + 2*C*A }{x^2}

f''(x) = \frac { -4*Bx \cdot x^2 - 2x \cdot ( -2*Bx^2 + 2*C*A ) }{(x^2)^2}

f''(x) = \frac { -4*Bx^3 + 4*Bx^3 + -4*C*Ax }{x^4}

f''(x) = \frac { -4*C*A }{x^3}

f''(X) = \frac { -4*C*A }{X^3} = \frac { -4*C*A }{pow(X,3)} = PRETTY_secDevX < 0

הנגזרת השנייה שלילית בנקודה ולכן זו נקודת מקסימום.

[סיווג בעזרת בדיקת ערכים]

נבדוק את ערכי הנגזרת לפני ואחרי הנקודה:

f'(xm1) = \frac { -2*B \cdot (xm1)^2 + 2*C*A }{xm1^2} = \frac { -2*B*pow(xm1,2) + 2*C*A }{pow(xm1,2)} = rFirstDevXM1 > 0

f'(xp1) = \frac { -2*B \cdot (xp1)^2 + 2*C*A }{xp1^2} = \frac { -2*B*pow(xp1,2) + 2*C*A }{pow(xp1,2)} = rFirstDevXP1 < 0

הפונקציה עולה לפני הנקודה (נגזרת חיובית) ויורדת אחריה (נגזרת שלילית) ולכן זו נקודת מקסימום.

x צריך להיות X ס"מ כדי שהשטח המלא יהיה מקסימלי.

randRangeNonZero(3,30) 4*pow(x,2)/3 6*XY/pow(x,3) fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(secDevX,.001)) round(x-1) round(x+1) 4-3*XY/pow(xm1,2) round(firstDevXM1*100)/100 4-3*XY/pow(xp1,2) round(firstDevXP1*100)/100

(השאלה לקוחה משאלון 803 מועד קיץ תשס"ט)

בציורים שלפניך מוצגים ריבוע שצלעו x ומשולש שווה-צלעות שצלעו y.

מכפלת צלע הריבוע בצלע המשולש היא XY.

מצא עבור איזה ערך של x הסכום של היקף הריבוע והיקף המשולש הוא מינימלי.

init({range:[[-1,15],[-1,6]],scale:20}),path([[0,0],[0,5],[5,5],[5,0],[0,0]],{stroke:BLUE}),path([[7,0],[9.5,5],[12,0],[7,0]],{stroke:RED}),label([0,2.5],"x","left"),label([2.5,5],"x","above"),label([8,2.5],"y","left"),label([11,2.5],"y","right"),label([9.5,0],"y","below")

x x אורך הקטע

אנו נדרשים למצוא את ערכו של x לכן בשלב הראשון נרצה להביע את y באמצעות x. נעשה זאת בעזרת הנתון על מכפלת הצלעות:

x \cdot y = XY

y = \frac{XY}{x}

היקף הריבוע שווה לסכום ארבעת הצלעות – 4x

היקף המשולש שווה לסכום שלושת הצלעות - 3 \cdot \frac{XY}{x}

הפונקציה שלנו תהיה שווה לסכום שני ההיקפים.

f(x) = 4x + \frac{3*XY}{x}

נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת לאפס כדי למצוא נקודות חשודות לקיצון:

f'(x) = 4 - \frac{3*XY}{x^2}

4 - \frac{3*XY}{x^2} = 0 / \cdot x^2

4x^2 - 3*XY = 0

4x^2 = 3*XY

x^2 = 3*XY/4

x = \pm x

התוצאה השלילית מתבטלת כיוון שx מבטא אורך צלע ולכן לא יכול להיות שלילי.

נסווג את נקודת הקיצון כדי לוודא שהיא אכן מינימלית.

[סיווג בעזרת נגזרת שנייה]

f'(x) = 4 - \frac{3*XY}{x^2}

f''(x) = - (-2) \cdot \frac{3*XY}{x^3} = \frac{6*XY}{x^3}

f''(x) = \frac{6*XY}{pow(x,3)} = PRETTY_secDevX > 0

הנגזרת השנייה חיובית בנקודה ולכן זו נקודת מינימום.

[סיווג בעזרת בדיקת ערכים]

f'(xm1) = 4 - \frac{3*XY}{xm1^2} = 4 - round((4-rFirstDevXM1)*100)/100 = rFirstDevXM1 < 0

f'(xp1) = 4 - \frac{3*XY}{xp1^2} = 4 - round((4-rFirstDevXP1)*100)/100 = rFirstDevXP1 > 0

הפונקציה יורדת לפני הנקודה (נגזרת שלילית) ועולה אחריה (נגזרת חיובית) ולכן זו נקודת מינימום.

x צריך להיות שווה ל x ס"מ כדי שסכום היקפי הריבוע והמשולש יהיה מינימלי.

אתם צופים בבעיה. כדי לעבוד על בעיות מסוג זה, התחילו תרגיל זה.
צריכים עזרה? בקשו רמז.