randRange(2,10) randRange(1,10) 1/(2*A) fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(tromX,.001)) Math.sqrt(1/(2*A)) toFraction(x,1e-4) fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(x,1e-4)) A/2*pow(x,3) fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(xSecDevMehane,.001)) 2/xSecDevMehane fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(xSecDev,.001)) x+1/(A*x)+B x-.25 fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(xm1,.001)) A/2*pow(xm1,2) fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(xm1FirstDevMehane,.001)) 1/xm1FirstDevMehane fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(OneDivxm1FirstDevMehane,.001)) 4-OneDivxm1FirstDevMehane fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(xm1FirstDev,.001)) round(x+1) 1/(A/2*pow(xp1,2)) fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(OneDivxp1FirstDevMehane,.001)) 4-OneDivxp1FirstDevMehane fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(xp1FirstDev,.001))

(השאלה לקוחה משאלון 803 מועד קיץ תשע"ד)

בציור שלפניך מתואר גרף הפונקציה f(x)=x+ \frac{1}{A} \cdot \frac{1}{x}+B בתחום x>0.

מנקודה K, הנמצאת על גרף הפוננקציה, מעבירים אנכים לצירים כך שנוצר מלבן AKBO
(O – ראשית הצירים).

מה צריך להיות שיעור ה-x של הנקודה K כדי שהיקף המלבן AKBO יהיה מינימלי?

var xb=.5,fb=xb+1/(2*xb)+2;graphInit({range:[[-2,10],[-2,10]],scale:20,axisArrows:"<->",gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,yAxisOpacity:1,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return e+1/(2*e)+2},[0,11]),style({stroke:"red",fill:"red"}),circle([xb,fb],.1),label([xb,fb],"K","above right"),label([xb,0],"B","below"),label([0,fb],"A","left"),label([0,0],"O","below left"),style({stroke:"black",strokeWidth:1,strokeDasharray:"-"}),path([[xb,0],[xb,fb]]),path([[0,fb],[xb,fb]])

xMonaMehane[0]/xMonaMehane[1] x ערכו של

את התוצאה יש להכניס כשבר פשוט

נגדיר את שיעור ה-x של הנקודה K בתור x ונחשב את אורכי הצלעות בהתאם לנקודה:

הנקודה A נמצאת על ציר y ולכן שיעור x שלה הוא 0.

מכאן נובע, שהקטע AK שווה להפרש שיעורי ה-x בין הנקודות K ו-A:

AK = x_K - x_A = x - 0 = x

בצורה דומה, הנקודה B נמצאת על ציר x ולכן ניתן לחשב את הקטע BK בעזרת הפרשי שיעורי ה-y בין הנקודות:

BK = y_K - y_B = x + \frac{1}{Ax} + B - 0 = x + \frac{1}{Ax} + B

במלבן הצלעות הנגדיות שוות זו לזו ולכן AK=OB וBK=AO

נסכום את ארבעת הצלעות כדי לחשב את היקף המלבן:

היקף = 2x+2(x + \frac{1}{Ax} + B) = 2x + 2x + \frac{2}{Ax} + 2*B = 4x + \frac{1}{coefficientFix(A/2)x} + 2*B

נגדיר את ההיקף בכפונקציה, נגזור אותה ונשווה לאפס כדי למצוא נקודות חשודות לקיצון:

f(x) = 4x + \frac{1}{coefficientFix(A/2)x} + 2*B

f'(x) = 4 - \frac{1}{coefficientFix(A/2)x^2}

4 - \frac{1}{coefficientFix(A/2)x^2} = 0

4 = \frac{1}{coefficientFix(A/2)x^2}

2*Ax^2 = 1

x^2 = PRETTY_tromX

x = \pm PRETTY_X

נתון בשאלה כי הפונקציה נמצאת בתחום x>0 ולכן התשובה השלילית נפסלת.

נסווג את נקודת הקיצון כדי לוודא שהיא אכן מינימלית.

[סיווג בעזרת נגזרת שנייה]

f'(x) = 4 - \frac{1}{coefficientFix(A/2)x^2}

f''(x) = - \frac{ 0 \cdot coefficientFix(A/2)x^2 - 2 \cdot coefficientFix(A/2)x \cdot 1 }{(coefficientFix(A/2)x^2)^2}

f''(x) = \frac{2*A/2x }{coefficientFix(pow(A/2,2))x^4} = \frac{2}{coefficientFix(A/2)x^3}

f''(PRETTY_X) = \frac{2}{coefficientFix(A/2) (PRETTY_X)^3} = \frac{2}{PRETTY_xSecDevMehane} = PRETTY_xSecDev > 0

הנגזרת השנייה חיובית בנקודה ולכן הנקודה היא מינימלית.

[סיווג בעזרת בדיקת ערכים]

נבדוק את ערכי הנגזרת לפני ואחרי הנקודה:

f'(PRETTY_xm1) = 4 - \frac{1}{coefficientFix(A/2)(PRETTY_xm1)^2} = 4 - \frac{1}{PRETTY_xm1FirstDevMehane} = 4 - PRETTY_OneDivxm1FirstDevMehane = PRETTY_xm1FirstDev < 0

f'(xp1) = 4 - \frac{1}{coefficientFix(A/2)(xp1)^2} = 4 - PRETTY_OneDivxp1FirstDevMehane = PRETTY_xp1FirstDev > 0

הפונקציה יורדת לפני הנקודה (נגזרת שלילית) ועולה אחריה (נגזרת חיובית) ולכן זו נקודת מינימום.

X צריך להיות שווה לPRETTY_X כדי שהיקף המלבן AKBO יהיה מינימלי.

randRangeNonZero(-10,5) randRange(2,10) randRange(2,10) Math.sqrt(B*C) [B,C] randRange(0,1) Math.abs(1-xIndex) SOL[xIndex] SOL[notXIndex] 2*C/pow(x,3) fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(xSecDev,.001)) round(x-1) (pow(xm1,2)-B*C)/(B*pow(xm1,2)) round(xm1FirstDev*100)/100 fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(xm1FirstDev,.001)) round(x+1) (pow(xp1,2)-B*C)/(B*pow(xp1,2)) round(xp1FirstDev*100)/100 fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(xp1FirstDev,.001))

(השאלה לקוחה משאלון 003 מועד קיץ תשע"א)

בציור נתונים הגרפים של הפונקציות f(x)=\frac{x-A}{B} ,g(x)=-\frac{C}{x} בתחום x>0.

A היא נקודה על גרף f(x) ו-B היא נקודה על גרף g(x) כך שהקטע AB מקביל לציר ה-y

מצא את שיעור ה-x של הנקודות A ו-B, שעבורו אורך הקטע AB הוא מינימלי.

var xx=5,gx=-4/xx,fx=(xx-2)/4;graphInit({range:[[-2,10],[-10,4]],scale:20,axisArrows:"<->",gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,yAxisOpacity:1,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return(e-2)/4},[0,10]),style({stroke:"black",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return-4/e},[0,10]),style({stroke:"black",strokeWidth:1,strokeDasharray:"-"}),path([[xx,fx],[xx,gx]]),style({stroke:"red",fill:"red"}),circle([xx,gx],.15),label([xx,gx],"B","below"),circle([xx,fx],.15),label([xx,fx],"A","above")

x x ערכו של

הקטע AB מקביל לציר ה-y ולכן אורכו שווה להפרש בין ערכי y של הנקודות A ו-B.

נמצא את ערכי y של הנקודות ונגדיר את ההפרש ביניהם כפונקציה כדי למצוא את ערכה המינימלי.

הנקודה A נמצאת על הפונקציה f(x) לכן ערך y שלה שווה ל-\frac{(x-A)}{B}

הנקודה B נמצאת על הפונקציה g(x) לכן ערך y שלה שווה ל--\frac{C}{x}

AB = y_A - y_B = \frac{(x-A)}{B} - ( -\frac{C}{x} )

\frac{(x-A)}{B} + \frac{C}{x} = \frac{x(x-A) + B \cdot C}{Bx} = \frac{x^2 - Ax + B*C}{Bx}

נגדיר את אורך הקטע כפונקציה, נגזור אותה ונשווה את הנגזרת לאפס למצוא נקודות חשודות כקיצון:

f(x) = \frac{x^2 - Ax + B*C}{Bx}

f'(x) = \frac{ (2x - A) \cdot Bx - B \cdot (x^2 - Ax + B*C)}{pow(B,2)x^2}

f'(x) = \frac{ 2*Bx^2 - A*Bx - Bx^2 + A*Bx - B*B*C)}{pow(B,2)x^2}

f'(x) = \frac{ Bx^2 - B*B*C}{pow(B,2)x^2} = \frac{ B(x^2 - B*C)}{pow(B,2)x^2} = \frac{x^2 - B*C}{Bx^2}

\frac{x^2 - B*C}{Bx^2} = 0 / \cdot Bx^2

x^2 - B*C = 0

(x - x)( x + notX) = 0

x = x

x = - notX

התוצאה השלילית מתבטלת כיוון שנתון שהפונקציה בתחום x>0

נסווג את נקודת הקיצון כדי לוודא שהיא אכן מינימלית.

[סיווג בעזרת נגזרת שנייה]

f'(x) = \frac{x^2 - B*C}{Bx^2}

f''(x) = \frac{ 2x \cdot Bx^2 - 2*Bx \cdot (x^2 - B*C)}{pow(B,2)x^4}

f''(x) = \frac{ 2*Bx^3 - 2*Bx^3 + 2*B*B*Cx}{pow(B,2)x^4} = \frac{2*B*B*Cx}{pow(B,2)x^4} = \frac{2*Cx}{x^4} = \frac{2*C}{x^3}

f''(x) = \frac{2*C}{x^3} = \frac{2*C}{pow(x,3)} = PRETTY_xSecDev > 0

הנגזרת השנייה חיובית בנקודה ולכן הנקודה היא מינימלית.

[סיווג בעזרת בדיקת ערכים]

נבדוק את ערכי הנגזרת לפני ואחרי הנקודה:

f'(xm1) = \frac{xm1^2 - B*C}{B \cdot xm1^2}= \frac{pow(xm1,2) - B*C}{B*pow(xm1,2)} = \frac{pow(xm1,2)-B*C}{B*pow(xm1,2)} = rxm1FirstDev < 0

f'(xp1) = \frac{xp1^2 - B*C}{B \cdot xp1^2}= \frac{pow(xp1,2) - B*C}{B*pow(xp1,2)} = \frac{pow(xp1,2)-B*C}{B*pow(xp1,2)} = rxp1FirstDev > 0

הפונקציה יורדת לפני הנקודה (נגזרת שלילית) ועולה אחריה (נגזרת חיובית) ולכן זו נקודת מינימום.

x צריך להיות שווה x כדי שאורך הקטע AB יהיה מינימלי.

randFromArray([4,9,16,25]) B/2 randRange(10,30) -1*Math.sqrt(B) Math.sqrt(B) 2*B/pow(x,3) fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(xSecDev,.001)) round(x-1) round(x+1) 1-B/pow(xm1,2) fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(xm1FirstDev,.001)) 1-B/pow(xp1,2) fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(xp1FirstDev,.001)) x x+A x -1*B/x

(השאלה לקוחה משאלון 003 מועד חורף תשע"א)

הפונקציות f(x)=x+A ו-g(x)=-\frac{B}{x} נחתכות בנקודות A ו-B.

דרך נקודה D, הנמצאת של הקטע AB, העבירו ישר המקביל לציר ה-y. הישר חותך את גרף הפונקציה g(x) בנקודה C (ראה ציור).

מצא את שיעורי הנקודות C ו-D שעבורן המרחק CD הוא מקסימלי.

graphInit({range:[[-11,2],[-2,11]],scale:20,axisArrows:"<->",gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,yAxisOpacity:1,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return-9/e},[-11,0]),style({stroke:"red",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return e+10},[-11,1]),style({stroke:"black",fill:"black"}),circle([-1,9],.1),label([-1,9],"A","below right"),circle([-9,1],.1),label([-9,1],"B","above left"),circle([-6,4],.1),label([-6,4],"D","above left"),circle([-6,1.5],.1),label([-6,1.5],"C","below right"),style({stroke:"black",strokeWidth:1,strokeDasharray:"-"}),path([[-6,10],[-6,-2]])

C ( Cx , Cy )

D ( Dx , Dy )

נגדיר את שיעור ה-x של הנקודה D בתור x.

הנקודה D נמצאת על הגרף f(x) לכן שיעור ה- y שלה הוא x+A

D(x,x+A)

הישר CD מקביל לציר y לכן שיעור x של הנקודה C זהה לזה של נקודה D

בנוסף, הנקודה C נמצאת על הגרף g(x) ולכן שיעור ה-y שלה הוא -\frac{B}{x}

C(x,-\frac{B}{x})

אורך הקטע CD שווה להפרש בין שיעורי ה-y של הנקודות C ו-D:

CD = y_D - y_C = x+A - (-\frac{B}{x}) = x+A + \frac{B}{x}

נגדיר את המרחק כפונקציה ונגזור אותה למצוא נקודות חשודות כקיצון:

f(x) = x+A + \frac{B}{x}

f'(x) = 1 - \frac{B}{x^2}

1 - \frac{B}{x^2} = 0 / \cdot x^2

x^2 - B = 0

(x - x)(x - notX) = 0

x = x

x = notX

הפונקציות נתונות בתחום השלילי של x ולכן התשובה החיובית מתבטלת.

נסווג את נקודת הקיצון כדי לוודא שהיא אכן מקסימלית.

[סיווג בעזרת נגזרת שנייה]

f'(x) = 1 - \frac{B}{x^2}

f''(x) = - (-2) \cdot \frac{B}{x^3} = \frac{2*B}{x^3}

f''(x) = \frac{2*B}{(x)^3} = \frac{2*B}{pow(x,3)} = PRETTY_xSecDev < 0

הנגזרת השנייה שלילית בנקודה ולכן הנקודה היא מקסימלית.

[סיווג בעזרת בדיקת ערכים]

f'(xm1) = 1 - \frac{B}{(xm1)^2} = 1 - \frac{B}{pow(xm1,2)} = PRETTY_xm1FirstDev > 0

f'(xp1) = 1 - \frac{B}{(xp1)^2} = 1 - \frac{B}{pow(xp1,2)} = PRETTY_xp1FirstDev < 0

הפונקציה עולה לפני הנקודה (נגזרת חיובית) ויורדת אחריה (נגזרת שלילית) ולכן זו נקודת מקסימום.

x צריך להיות שווה x כדי שאורך הקטע CD יהיה מינימלי.

g(x) = -\frac{B}{x} = Cy

C( Cx , Cy )

f(x) = x+A = Dy

D( Dx , Dy )

אתם צופים בבעיה. כדי לעבוד על בעיות מסוג זה, התחילו תרגיל זה.
צריכים עזרה? בקשו רמז.