randRange(2,5) randRange(1,10)/randRange(1,10) roundTo(1,bc) BC/ratio roundTo(2,de)

D ו-E הן נקודות על הצלעות של משולש ABC.

נתון: AB=ratioAD , AC=ratioAE.

BC=BC

חשב את אורך DE.

init({range:[[-1,10],[-1,8]],scale:30}),path([[3.1,5],[6.5,4]],{stroke:BLUE}),path([[0,0],[8,0],[5,8],[0,0]],{stroke:BLUE}),label([0,0],"C","below"),label([8,0],"B","below"),label([5,8],"A","above"),label([3.1,5],"D","left"),label([6.5,4],"E","right")

DE = DE

את התשובה יש לעגל לשתי ספרות אחרי הנקודה

בשלב הראשון נוכיח דמיון בין המשולשים ADE ו-ABC וניעזר ביחס הדמיון כדי לחשב את אורך DE

אם נסמן את הצלע AD באות a אז הצלע AB תהיה שווה לratioa

label([3.7,6.7],"a","center",{color:"#FF0000"}),label([8,4],ratio+"a","center",{color:"#FF0000"})

באופן דומה, אם נסמן את הצלע AE באות b אז הצלע AC תהיה שווה ל ratiob

label([6.2,6],"b","center",{color:"#FF0000"}),label([1.5,4],ratio+"b","center",{color:"#FF0000"})

מכאן נובע שהיחס בין הצלעות AD וAB שווה לratio:

\frac{AB}{AD} = \frac{ratioa}{a} = ratio

אותו יחס קיים גם בין הצלעות AE וAC:

\frac{AC}{AE} = \frac{ratiob}{b} = ratio

יש לנו שתי זוגות של צלעות שמקיימות את אותו היחס והזווית ביניהן, זווית A, נמצאת בשני המשולשים לכן ניתן להוכיח דמיון בעזרת משפט הדמיון צלע-זווית-צלע.

\triangle ABC \sim \triangle ADE

נשתמש ביחס בין הצלעות והנתון לגבי BC כדי לחשב את DE:

\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} = ratio

\frac{BC}{DE} = ratio

DE = \frac{BC}{ratio} = DE

DE = DE

randRange(2,5) randRange(1,10)/randRange(1,10) roundTo(1,de) DE*ratio roundTo(2,bc)

D ו-E הן נקודות על הצלעות של משולש ABC.

נתון: AB=ratioAD , AC=ratioAE.

DE=DE

חשב את אורך BC.

init({range:[[-1,10],[-1,8]],scale:30}),path([[3.1,5],[6.5,4]],{stroke:BLUE}),path([[0,0],[8,0],[5,8],[0,0]],{stroke:BLUE}),label([0,0],"C","below"),label([8,0],"B","below"),label([5,8],"A","above"),label([3.1,5],"D","left"),label([6.5,4],"E","right")

BC = BC

את התשובה יש לעגל לשתי ספרות אחרי הנקודה

בשלב הראשון נוכיח דמיון בין המשולשים ADE ו-ABC וניעזר ביחס הדמיון כדי לחשב את אורך BC

אם נסמן את הצלע AD באות a אז הצלע AB תהיה שווה לratioa

label([3.7,6.7],"a","center",{color:"#FF0000"}),label([8,4],ratio+"a","center",{color:"#FF0000"})

באופן דומה, אם נסמן את הצלע AE באות b אז הצלע AC תהיה שווה ל ratiob

label([6.2,6],"b","center",{color:"#FF0000"}),label([1.5,4],ratio+"b","center",{color:"#FF0000"})

מכאן נובע שהיחס בין הצלעות AD וAB שווה לratio:

\frac{AB}{AD} = \frac{ratioa}{a} = ratio

אותו יחס קיים גם בין הצלעות AE וAC:

\frac{AC}{AE} = \frac{ratiob}{b} = ratio

יש לנו שתי זוגות של צלעות שמקיימות את אותו היחס והזווית ביניהן, זווית A, נמצאת בשני המשולשים לכן ניתן להוכיח דמיון בעזרת משפט הדמיון צלע-זווית-צלע.

\triangle ABC \sim \triangle ADE

נשתמש ביחס בין הצלעות והנתון לגבי DE כדי לחשב את BC:

\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} = ratio

\frac{BC}{DE} = ratio

BC = DE \cdot ratio = BC

BC = BC

randRange(1,10) randRange(1,10) a b a+b Math.sqrt(Math.pow(a,2)+a*b) roundTo(2,ab) AB Math.sqrt(Math.pow(d,2)+Math.pow(a,2)) roundTo(2,ac) AC

משולש ABC משולש ישר זווית(\angle ABC = 90^{\circ})

נתון:

BC = BC , CD = CD

חשב את שאר אורכי הצלעות בסרטוט.

init({range:[[-2,10],[-1,10]],scale:30}),arc([0,8],1.2,270,303,{stroke:"green"}),arc([10,0],1.2,140,180,{stroke:"green"}),path([[0,.5],[.5,.5],[.5,0]],{stroke:BLUE}),path([[0,8],[5,0]],{stroke:BLUE}),path([[0,0],[10,0],[0,8],[0,0]],{stroke:BLUE}),label([0,0],"B","below left"),label([10,0],"D","below right"),label([0,8],"A","above left"),label([5,0],"C","below")

AB = AB

AC = AC

AD = AD

את התשובה יש לעגל לשתי ספרות אחרי הנקודה

אם נבדוק את המשולשים ABC ו-ABD נראה כי יש להם שתי זוויות שוות (זווית ABD משותפת וזווית BAC = זווית ADB) ולכן ניתן להוכיח דמיון ביניהם בעזרת משפט דמיון זווית-זווית:

\triangle ABC \sim \triangle DBA

נכתוב את היחס בין הצלעות לפי דמיון המשולשים:

\frac{AC}{AD} = \frac{BC}{AB} = \frac{AB}{BD}

נשבץ את הנתונים הקיימים ונחשב את אורך הצלע AB:

\frac{BC}{AB} = \frac{AB}{BD}

BC*BD = AB^2

AB = \sqrt{BC*BD} = AB

את הצלע AC ניתן לחשב בעזרת משפט פיתגורס במשולש ABC:

AC^2 = AB^2 + BC^2

AC^2 = (\sqrt{BC*BD})^2 + BC^2

AC^2 = BC*BD + Math.pow(BC,2) = BC*BD+Math.pow(BC,2)

AC = \sqrt{BC*BD+Math.pow(BC,2)} = AC

את הצלע AD ניתן לחשב בעזרת יחס הצלעות או בעזרת משפט פיתגורס:

[פתרון בעזרת יחס הצלעות]

\frac{AC}{AD} = \frac{BC}{AB}

\frac{\sqrt{BC*BD+Math.pow(BC,2)}}{AD} = \frac{BC}{\sqrt{BC*BD}}

BC \cdot AD = \sqrt{BC*BD+Math.pow(BC,2)} \cdot \sqrt{BC*BD}

AD = \frac{\sqrt{(BC*BD+Math.pow(BC,2))*BC*BD}}{BC} = \sqrt{(BC*BD+Math.pow(BC,2))*BC*BD/Math.pow(BC,2)} = AD

[פתרון בעזרת משפט פיתגורס]

AD^2 = AB^2 + BD^2

AD^2 = (\sqrt{BC*BD})^2 + BD^2

AD^2 = BC*BD + Math.pow(BD,2) = BC*BD+Math.pow(BD,2)

AD = \sqrt{BC*BD+Math.pow(BD,2)} = AD

randRange(1,4) randRange(6,8) a c Math.sqrt(Math.pow(c,2)-Math.pow(a,2)) roundTo(2,ab) AB Math.pow(ab,2)/a roundTo(2,bd) BD-a roundTo(2,cd)

משולש ABC משולש ישר זווית(\angle ABC = 90^{\circ})

נתון:

BC = BC , AC = AC

חשב את שאר אורכי הצלעות בסרטוט.

init({range:[[-2,10],[-1,10]],scale:30}),arc([0,8],1.2,270,303,{stroke:"green"}),arc([10,0],1.2,140,180,{stroke:"green"}),path([[0,.5],[.5,.5],[.5,0]],{stroke:BLUE}),path([[0,8],[5,0]],{stroke:BLUE}),path([[0,0],[10,0],[0,8],[0,0]],{stroke:BLUE}),label([0,0],"B","below left"),label([10,0],"D","below right"),label([0,8],"A","above left"),label([5,0],"C","below")

AB = AB

AD = AD

BD = BD

CD = CD

את התשובה יש לעגל לשתי ספרות אחרי הנקודה

משולש ABC הוא משולש ישר זווית בו נתונות שתי צלעות. את הצלע השלישית AB ניתן לחשב לפי משפט פיתגורס:

AC^2 = AB^2 + BC^2

AC^2 = AB^2 + BC^2

AB^2 = Math.pow(AC,2) - Math.pow(BC,2) = Math.pow(AC,2)-Math.pow(BC,2)

AB = \sqrt{Math.pow(AC,2)-Math.pow(BC,2)} = AB

אם נבדוק את המשולשים ABC ו-ABD נראה כי יש להם שתי זוויות שוות (זווית ABD משותפת וזווית BAC = זווית ADB) ולכן ניתן להוכיח דמיון ביניהם בעזרת משפט דמיון זווית-זווית:

\triangle ABC \sim \triangle DBA

נכתוב את היחס בין הצלעות לפי דמיון המשולשים:

\frac{AC}{AD} = \frac{BC}{AB} = \frac{AB}{BD}

נציב את הצלעות שמצאנו ונחשב בעזרת היחס פעם אחת את הצלע AD ופעם אחת את הצלע BD ובעזרתה את הצלע CD:

\frac{AC}{AD} = \frac{BC}{AB}

\frac{AC}{AD} = \frac{BC}{\sqrt{Math.pow(AC,2)-Math.pow(BC,2)}}

BC \cdot AD = AC \cdot \sqrt{Math.pow(AC,2)-Math.pow(BC,2)}

AD = \frac {AC \cdot \sqrt{Math.pow(AC,2)-Math.pow(BC,2)}}{BC} = AD

\frac{BC}{AB} = \frac{AB}{BD}

\frac{BC}{\sqrt{Math.pow(AC,2)-Math.pow(BC,2)}} = \frac{\sqrt{Math.pow(AC,2)-Math.pow(BC,2)}}{BD}

BC \cdot BD = Math.pow(AC,2)-Math.pow(BC,2)

BD = \frac{Math.pow(AC,2)-Math.pow(BC,2)}{BC} = BD

CD = BD - BC = BD - BC = CD

randRange(5,15) randRange(5,15) randRange(5,15) Math.sqrt(Math.pow(AB,2)+Math.pow(BC,2)) roundTo(2,ac) AB*DC/AC roundTo(2,de) BC*DC/AC roundTo(2,ce)

הקטעים AE ו-BD נחתכים בנקודה C.

נתון: AB \perp BD ,DE \perp AE

AB = AB ס"מ, BC = BC ס"מ, DC = DC ס"מ.

חשב את DE ו-CE

init({range:[[-1,10],[-1,10]],scale:30}),path([[2,0],[6,0],[6,8],[8,6],[2,0]],{stroke:BLUE}),path([[5.5,0],[5.5,.5],[6,.5]],{stroke:BLUE}),path([[7.75,5.75],[7.5,6],[7.75,6.25]],{stroke:BLUE}),label([2,0],"A","below left"),label([6,0],"B","below right"),label([6,8],"D","above"),label([8,6],"E","right"),label([6,4],"C","left")

CE = CE

DE = DE

את התשובה יש לעגל לשתי ספרות אחרי הנקודה

לשני המשולשים ABC ו-DEC זווית ישרה.

בנוסף, זווית ACB שווה לזווית DCE כיוון שהן זוויות קודקודיות.

לפי משפט דמיון זווית-זווית המשולשים ABC ו-DEC דומים:

\triangle ABC \sim \triangle DEC

ניעזר בדמיון בין המשולשים כדי להביע את היחס בין הצלעות המתאימות:

\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{CE} = \frac{AC}{DC}

נחשב תחילה את הצלע AC בעזרת משפט פיתגורס במשולש ABC:

AC^2 = AB^2 + BC^2

AC^2 = AB^2 + BC^2

AC^2 = Math.pow(AB,2) + Math.pow(BC,2) = Math.pow(AB,2)+Math.pow(BC,2)

AC = AC

נציב את הנתונים ביחס המתאים כדי לחשב את הצלע CE:

\frac{BC}{CE} = \frac{AC}{DC}

\frac{BC}{CE} = \frac{AC}{DC}

AC \cdot CE = BC*DC

CE = CE

נבצע את אותו התהליך עבור הצלע DE:

\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DC}

\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DC}

AC \cdot DE = AB*DC

DE = DE

randRange(11,15) randRange(5,10) Math.sqrt(Math.pow(AB,2)-Math.pow(BC,2)) roundTo(2,ac) Math.pow(AB,2)/(2*AC) roundTo(2,ae)

המשולש ABC הוא ישר זווית (\angle C = 90^{\circ}).

DE אנך אמצעי ליתר AB

נתון: AB = AB ס"מ, BC = BC ס"מ.

חשב את AE.

init({range:[[-1,10],[-1,10]],scale:30}),path([[0,0],[8,0],[8,8],[0,0]],{stroke:BLUE}),path([[4.5,4.5],[8,1]],{stroke:BLUE}),path([[7.5,0],[7.5,.5],[8,.5]],{stroke:BLUE}),path([[4.25,4.25],[4.5,4],[4.75,4.25]],{stroke:BLUE}),label([0,0],"B","below left"),label([8,0],"C","below right"),label([8,8],"A","above"),label([8,1],"E","right"),label([4.5,4.5],"D","above left")

AE = AE

את התשובה יש לעגל לשתי ספרות אחרי הנקודה

אם נבחן המשולשים ABC ו-ADE נראה כי להם שתי זוויות שוות – זווית A משותפת לשני המשולשים וזווית ACB = זווית ADE כיוון ששתיהן זוויות ישרות.

לכן, ניתן להוכיח דמיון בין המשולשים בעזרת משפט דמיון זווית-זווית:

\triangle ACB \sim \triangle ADE

ניעזר בדמיון בין המשולשים כדי להביע את היחס בין הצלעות המתאימות:

\frac{AC}{AD} = \frac{CB}{DE} = \frac{AB}{AE}

במשולש ABC נתונות לנו שתי צלעות לכן ניתן לחשב את הצלע השלישית בעזרת משפט פיתגורס:

AB^2 = AC^2 + BC^2

AB^2 = AC^2 + BC^2

AC^2 = Math.pow(AB,2) - Math.pow(BC,2)

AC = AC

בנוסף, DE הוא אנך אמצעי לכן הוא מחלק את היתר AB לשני חלקים שווים:

BD = AD = \frac{AB}{2} = AB/2

נציב את הנתונים על הצלעות ביחס הדמיון ונבודד ממנו את AE:

\frac{AC}{AD} = \frac{AB}{AE}

\frac{AC}{AB/2} = \frac{AB}{AE}

AC \cdot AE = Math.pow(AB,2)/2

AE = \frac{Math.pow(AB,2)/2}{AC} = AE

אתם צופים בבעיה. כדי לעבוד על בעיות מסוג זה, התחילו תרגיל זה.
צריכים עזרה? בקשו רמז.