randRange(1,3) randRange(1,3) randRange(1,8) randRange(1,8) randRange(1,6) randRange(1,6) d1*Math.sqrt(1+pow(M1,2)) d2*Math.sqrt(1+pow(M2,2)) Ax-d1 Ay+d1*M1 Ax+d2 Ay+d2*M2 Dx-d1 Dy+d1*M1 Math.max(Ax,Bx,Cx,Dx)+4 Math.max(Ay,By,Cy,Dy)+4 Math.min(Ax,Bx,Cx,Dx)-4 Math.min(Ay,By,Cy,Dy)-4 pow(Ax-Bx,2)+pow(Ay-By,2) pow(Cx-Bx,2)+pow(Cy-By,2) round(Math.sqrt(L1)*100)/100

קדקודי מרובע הם: A(Ax,Ay),B(Bx,By),C(Cx,Cy),D(Dx,Dy).

הוכיחו כי המרובע הוא מעוין (במבחן ההוכחה תיבדק, כאן לא ניתן לבדוק זאת) וחשבו את אורך צלעותיו.

עגלו את התשובה לשתי הספרות העשרוניות הקרובות ביותר.

אורך כל צלע = SOL יחידות אורך

עגלו את התשובה לשתי הספרות העשרוניות הקרובות ביותר

ננסה לשרטט לעצמנו שרטוט עזר עם קודקודי המרובע.

graphInit({range:[[MinX,MaxX],[MinY,MaxY]],scale:20,axisArrows:"<->",gridOpacity:.1,axisOpacity:.4,yAxisOpacity:1,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),path([[Ax,Ay],[Bx,By],[Cx,Cy],[Dx,Dy],[Ax,Ay]],{stroke:BLUE}),lA=label([Ax,Ay],"A("+Ax+","+Ay+")","right"),lB=label([Bx,By],"B("+Bx+","+By+")","left"),lC=label([Cx,Cy],"C("+Cx+","+Cy+")","above right"),lD=label([Dx,Dy],"D("+Dx+","+Dy+")","right")

נזכור כי מעוין הינו מקבילית בה זוג צלעות סמוכות שוות.

לכן, ראשית עלינו להוכיח כי המרובע ABCD מקבילית.

נראה כי זוג צלעות נגדיות מקבילות זו לזו- כלומר ישרים בעלי אותו שיפוע!

נעזר בנוסחה מדף הנוסחאות: m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

שיפוע AB: m= \frac{By-Ay}{Bx-Ax} = \frac{By-Ay}{Bx-Ax} = -M1

שיפוע CD: m= \frac{Dy-Cy}{Dx-Cx} = \frac{Dy-Cy}{Dx-Cx} = -M1

שיפועים שווים! לכן הישרים AB ו- CD מקבילים!

style({stroke:BLUE},function(){parallel([[Ax,Ay],[Bx,By]]),parallel([[Dx,Dy],[Cx,Cy]])})

שיפוע AD: m= \frac{Dy-Ay}{Dx-Ax} = \frac{Dy-Ay}{Dx-Ax} = M2

שיפוע BC: m= \frac{Cy-By}{Cx-Bx} = \frac{Cy-By}{Cx-Bx} = M2

שיפועים שווים! לכן הישרים AD ו- BC מקבילים!

style({stroke:BLUE},function(){parallel([[Ax,Ay],[Dx,Dy]]),parallel([[Bx,By],[Cx,Cy]])})

הוכחנו כי מרובע ABCD מקבילית!

ננסה להוכיח כי זוג צלעות שוות.

נמצא את אורכי הצלעות AB ו- BC.

ניעזר בנוסחה למציאת מרחק המופיעה לנו בדף הנוסחאות:

d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

נציב בנוסחה את הנתונים וניעזר במחשבון:

dAB= \sqrt{ (Ax - Bx)^2 + (Ay - By)^2 } = \sqrt{L1} \approx SOL

dBC= \sqrt{ (Cx - Bx)^2 + (Cy - By)^2 } = \sqrt{L2} \approx SOL

צלעות סמוכות במקבילית שוות – כלומר כול הצלעות שוות , ולכן מרובע ABCD הוא מעוין.

randRange(3,7) 2*Ay 2 -1/Mcd Ay*Ay Bx*-1+randRange(0,5) round((Cy-Ay)/(Mab-Mcd)*1e3)/1e3 round((Mab*Dx+Ay)*1e3)/1e3

שיעורי הנקודה A הם (0, Ay) . שטח המשולש ABO הוא S.

א. מצאו את שיעורי הנקודה B.

ב. מצאו את משוואת הישר העובר דרך A ו- B.

ג. שיעורי הנקודה C הם (0, Cy), ושיפוע הישר CD המשורטט הוא Mcd. כתבו את משוואתו.

ד. מצאו את שיעורי הנקודה D.

ה. חשבו את שטח המשולש ACD.

graphInit({range:[[-3,Bx+3],[Cy-3,Ay+3]],scale:400/(Ay-Cy+6),axisArrows:"<->",gridOpacity:.1,axisOpacity:.4,yAxisOpacity:1,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),style({stroke:BLUE},function(){path([[0,Ay],[Bx,0]]),path([[0,Cy],[Dx,Dy]]),path([[0,0],[0,Ay]]),path([[0,0],[Bx,0]])}),label([0,Ay+3],"y","above"),label([Bx+3,0],"x","right"),label([0,Ay],"A","right"),label([Bx,0],"B","above"),label([0,Cy],"C","right"),label([Dx,Dy],"D","above"),label([0,0],"O","right")

B(Bx , 0) .א

AB: \, y=Mabx+ Ay

CD: \, y=Mcdx+ Cy

D(Dx , Dy) .ד

S_{ACD}= round((Ay-Cy)*Dx/2*100)/100

עגלו את התוצאות לשתי הספרות העשרוניות הקרובות ביותר

א. ראשית, נמצא את אורך הקטע AO.

חישוב אורך AO: נקודת ראשית הצירים O (0,0) והנקודה A (0,Ay) הן בעלות אותו שיעור x, ולכן נמדוד את המרחק בניהן לפי שיעור ה -x!

A_y-O_y = Ay– 0 = Ay

ניעזר בנתון על שטח המשולש וננסה להבין ממנו מהו אורך OB.

נזכר כי דרך חישוב שטח המשולש הינו : S=\frac{\text{גובה} \cdot \text{בסיס}}{2}

במקרה שלנו: S = \frac{AO \cdot OB}{2}

כעת, נציב את הנתונים שידועים לנו:

S = \frac{Ay \cdot OB}{2}

נפתור את המשוואה ונקבל כי OB = Bx.

נתבונן בישר OB המונח על ציר ה x.

נקודה B נמצאת על ציר ה x -ולכן שיעור ה x=0.

על סמך הנתון OB=Bx -וכי שיעור הx של נקודה O הינו 0, נסיק כי שיעור הx של B הינו Bx.

קיבלנו את הנקודה B(Bx,0).

ב. נתחיל ונמצא את משוואת הישר AB. נזכור כי בשביל למצוא משוואת ישר – אנו חייבים שני דברים תמיד! נקודה אחת לפחות על הישר ושיפוע הישר.

מהי הנקודה בה נשתמש? נשתמש בנקודה A (0,Ay).

מהו השיפוע בו נשתמש? ניעזר בנוסחה למציאת שיפוע: m = \frac{x_2-x_1}{x_2-x_1}

עם הנקודות A ו- B.

נקבל כי:

m_{AB} = \frac{Ay-0}{0-Bx} =-Ay/Bx

נעזר בנוסחה: y-y_1=m(x-x_1) ונציב בה את הנתונים שגילינו: הנקודה, (0,Ay)והשיפוע Ay/Bx.

נציב בנוסחה ונקבל: y-Ay =-Ay/Bx(x-0).

נעביר אגפים ונקבל: y=-Ay/Bxx+Ay.

ג. נמצא את משוואת הישר CD.

נזכור כי בשביל למצוא משוואת ישר, אנו חייבים שני דברים תמיד! נקודה אחת לפחות על הישר ושיפוע הישר.

מהי הנקודה בה נשתמש? הנקודה הנתונה C (0,Cy).

מהו השיפוע בו נשתמש? על פי הנתון, השיפוע בו נשתמש לישר שלנו: Mcd

נעזר בנוסחה: y-y_1=m(x-x_1) ונציב בה את הנתונים שגילינו: הנקודה C (0,Cy) והשיפוע: Mcd.

נציב בנוסחה ונקבל: y-(Cy) = Mcd(x-0).

נעביר אגפים ונקבל: y=McdxCy.

ד. בכדי למצוא את נקודה D, עלינו לחתוך את משוואת הישר ABשמצאנו בסעיף ב' עם משוואת הישר CD אותה מצאנו בסעיף ג'.

על מנת למצוא נקודת חיתוך בין ישרים, נשווה בין משוואות הישרים:

y=McdxCy

y=Mabx+Ay

נפתור שתי משוואות בשני נעלמים ובעצם נשווה בין הישרים

McdxCy = Mabx+Ay

נעביר אגפים ונקבל:

Mcd-Mabx = Ay-Cy

x=(Ay-Cy)/(Mcd-Mab)

נציב את ערך ה x באחת מן המשוואות הרלוונטיות בכדי לקבל את ערך ה x :

y=McdxCy = round((Mcd*(Ay-Cy)/(Mcd-Mab)+Cy)*100)/100

שיעורי נקודת החיתוך: D (Dx,Dy) .

ה. נוציא ונחשב את שטח המשולש ACD. נעזר בשרטוט עזר:

style({stroke:ORANGE},function(){path([[0,Cy],[Dx,Dy]]),path([[0,Cy],[0,Ay]]),path([[Dx,Dy],[0,Ay]])})

נזכר כי דרך חישוב שטח המשולש הינו : S=\frac{\text{גובה} \cdot \text{בסיס}}{2}

ראשית נבין כי הבסיס במשולש זה הינו AC ולאחר מכן נבין כיצד עלינו למצוא את הגובה לבסיס במשולש זה.

style({stroke:ORANGE},function(){path([[Dx,Dy],[0,Dy]])}),label([0,Dy],"P","right")

הישר DP שציירנו הינו אנך לציר ה x מקביל לציר ה x . ננסה למצוא את שיעורי הנקודה P.

לנקודה P שהוספנו אותו שיעור x כמו לנקודה D, כלומר x_P=Dy . כמו כן, הנקודה P ממוקמת על ציר ה x, ולכן שיעור ה x=0. מסקנה: P(0, Dy).

חישוב אורך DP: הנקודה D (Dx,Dy) והנקודה P (0,Dy) הן בעלות אותו שיעור x ולכן נמדוד את המרחק ביניהן לפי שיעור ה x!

x_D-x_P=Dx-0 = Dx

במקרה שלנו: S = \frac{AC \cdot DP}{2}

חישוב אורך AC: הנקודה A (0,Ay) והנקודה C (0,Cy) הן בעלות אותו שיעור x, ולכן נמדוד את המרחק ביניהן לפי שיעור ה x!

y_A-y_C =Ay – (Cy) = Ay-Cy

AC=Ay-Cy

DP =Dx.

ולכן, שטח המשולש ACD:

S = \frac{AC \cdot DP}{2} = \frac{Ay-Cy \cdot Dx}{2} = round((Ay-Cy)*Dx/2*100)/100 יח"ר.

randRange(4,6) randRange(A+1,9)

נתון מרובע שקדקודיו הם: D(0,-B) ,C(-A,0) ,B(0,B) ,A(A,0).

א. הראו שהמרובע הוא מעוין (זה סעיף מקדים שתתבקשו לעשות במבחן, כאן לא נבדוק אתכם אבל כדאי שתעשו אותו)

ב. הנקודה M נמצאת בחיתוך האלכסונים של המעוין. מצאו את שיעורי הנקודה M.

ג. חשבו את שטח המשולש AMB.

ד. חשבו את שטח המעוין.

ה. חשבו את מכפלת אורכי האלכסונים של המעוין

init({range:[[-20,20],[-10,10]],scale:[15,15]}),path([[0,-10],[0,10]]),path([[-10,0],[10,0]]),path([[A,0],[0,B],[-A,0],[0,-B],[A,0]],{stroke:BLUE})

0 , 0 =M שעורי נקודה

שטח AMB = A*B/2 יח"ר

שטח ABCD = A*B*2 יח"ר

מכפלת האלכסונים = A*B*4 יח"ר

סעיף א'

ראשית, נתאים ונסמן את שיעורי הנקודות הנתונות על השרטוט.

lA=label([A,0],"A("+A+",0)","above right"),lB=label([0,B],"B(0,"+B+")","above right"),lC=label([-A,0],"C("+ -A+",0)","above left"),lD=label([0,-B],"D(0,"+ -B+")","below right")

ראשית, נראה כי המרובע ABCD הינו מקבילית, ולאחר מכן נראה ששתי צלעות סמוכות של מקבילית זו שוות. כך נוכיח שזהו מעוין!

בכדי להוכיח מקבילית, נראה למשל כי כל זוג צלעות נגדיות במרובע מקבילות, כלומר השיפועים של הישרים שווים.

ניעזר בנוסחה למציאת שיפוע: m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

נקבל כי:

m_{AB} = \frac{0-B}{A-0} = -\frac{B}{A}

m_{CD} = \frac{0-(-B)}{-A-0} = -\frac{B}{A}

m_{BC} = \frac{B-0}{0-(-A)} = \frac{B}{A}

m_{AD} = \frac{0-(-B)}{A-0} = \frac{B}{A}

מסקנה:

m_{AD}=m_{BC}= \frac{B}{A} ולכן צלעBC מקבילה לצלע AD.

m_{AB}=m_{DC}= \frac{-B}{A} ולכן צלע AB מקבילה לצלע DC.

הוכחנו כי מרובע ABCD מקבילית!

ננסה להוכיח כי זוג צלעות סמוכות שוות.

נמצא את אורכי הצלעות AB ו- BC.

ניעזר בנוסחה למציאת מרחק המופיעה לנו בדף הנוסחאות:

d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}

נציב בנוסחה את הנתונים וניעזר במחשבון:

d_{AB}= \sqrt{(A-0)^2 + (0-B)^2} = \sqrt{A^2+B^2}

d_{BC}= \sqrt{(B-0)^2 + (0-(A))^2} = \sqrt{A^2+B^2}

צלעות סמוכות במקבילית שוות – כלומר כל הצלעות שוות \sqrt{A^2+B^2}, ולכן מרובע ABCD הוא מעוין.

סעיף ב'

לכן, על מנת למצוא את נקודה M, ניעזר במשוואת אמצע קטע, בין הנקודות על הישר AC.

lM=label([0,0],"M(?,?)","above right"),pAC=path([[A,0],[-A,0]],{stroke:ORANGE})

שיעור ה- X של נקודה M: \frac{(X_A+X_C)}{2} = \frac{(-A) +A }{2} = 0

שיעור ה- Y של נקודה D: \frac{(Y_A+Y_C)}{2} = \frac{(0 + 0)}{2} = 0

סיכום נקודה M (0, 0).

lM.remove(),lM=label([0,0],"M(0,0)","above right"),pAC.remove()

סעיף ג'

נמצא את שטח המשולש AMB

p1=path([[A,0],[0,0],[0,B],[A,0]],{stroke:ORANGE})

נזכר כי דרך חישוב שטח המשולש הינו : גובה * בסיס חלקי 2

במקרה שלנו: S = \frac{AM \cdot MB}{2}

חישוב אורך MA: הנקודה A (A,0) והנקודה M (0,0) הן בעלות אותו שיעור Y, ולכן נמדוד את המרחק ביניהן לפי שיעור ה-X!

X_A-X_M =A-0 = A

חישוב אורך M_B: הנקודה B (0,B) והנקודה M (0,0) הן בעלות אותו שיעור X, ולכן נמדוד את המרחק ביניהן לפי שיעור ה- Y!

Y_B-Y_M = B- 0 = B

ולכן, שטח המשולש AMB:

S = \frac{AM \cdot MB}{2} = \frac{A \cdot B}{2} = A*B/2 \text{ יח"ר}

סעיף ד'

שטח המעוין שווה ל 4 פעמים שטח המשולש הקטן הנוצר על ידי האלכסונים!

p2=path([[-A,0],[0,0],[0,B],[-A,0]],{stroke:PURPLE}),p3=path([[-A,0],[0,0],[0,-B],[-A,0]],{stroke:GREEN})

לכן, ניעזר בסעיף ג', בו מצאנו כי S_{AMB}=A*B/2 ובעזרתו נחשב את שטח המעוין.

S_{ABCD}=A*B/2 \cdot A = A*B*2 \text{ יח"ר} .

סעיף ה'

p1.remove(),p2.remove(),p3.remove(),path([[A,0],[-A,0]],{stroke:ORANGE}),path([[0,B],[0,-B]],{stroke:ORANGE})

נבדוק מהי מכפלת אורכי האלכסונים של המעוין:

חישוב אורך AC: הנקודה A (A,0)והנקודה C (-A,0) הן בעלות אותו שיעור Y, ולכן נמדוד את המרחק ביניהן לפי שיעור ה-X!

X_A-X_C =A-(-A) = A*2

חישוב אורך BD: הנקודה B (0,B) והנקודה D (0,-B) הן בעלות אותו שיעור X, ולכן נמדוד את המרחק ביניהן לפי שיעור ה- Y!

Y_B-Y_D = B- (-B) = B*2

לכן, מכפלת אורכי האלכסונים: AC \cdot BD = A*2 \cdot B*2 = A*B*4

נשים לב שמכפלת אורכי האלכסונים של המעוין (A*B*4 יח"ר ) גדולה פי שניים משטח המעוין (A*B*2 יח"ר, כפי שהוכחנו בסעיף ג') לכן יכולנו לחשב את שטח המעוין לפי הנוסחה [מכפלת האלכסונים חלקי 2] ולמצוא את שטחו ללא המשולשים

randRange(1,3) randRange(2,4) randRange(2,5) -1/A 0 B*(-1+C)/(1+A*B) (1+A*B*C)/(1+A*B) C*B 0 (function(){return A===1?"":A.toString()})() B*(-1+C)/getGCD(B*(C-1),1+A*B) (1+A*B)/getGCD(B*(C-1),1+A*B) fractext(Bxnum,Bxden) (1+A*B*C)/getGCD(1+A*B*C,1+A*B) (1+A*B)/getGCD(1+A*B*C,1+A*B) fractext(Bynum,Byden) fractext(-1,A) fractext(Cx*A+1,A) (1+A*B*C)*(1+A*B*C)/(2*A*(1+A*B)) (1+A*B*C)*(1+A*B*C)/getGCD((1+A*B*C)*(1+A*B*C),2*A*(1+A*B)) 2*A*(1+A*B)/getGCD((1+A*B*C)*(1+A*B*C),2*A*(1+A*B)) fractext(Areanum,Areaden) Math.max(Ax,Bx,Cx)+2 Math.max(Ay,By,Cy)+2 Math.min(Ax,Bx,Cx)-2 Math.min(Ay,By,Cy)-2 Math.max(C,B)+1 .5*(MaxX-MinX)/3

הישר שמשוואתו \purple{y=Atx+1}, והישר שמשוואתו \green{y=-\frac{1}{B}x+C}

יוצרים עם ציר ה- x את המשולש ABC.

א. מצאו את שיעורי הקדקודים A, B, ו- C.

ב. מצאו את המרחק בין שני קדקודי המשולש המונחים על ציר ה- x.

ג. חשבו את שטח המשולש ABC.

init({range:[[MinX,MaxX],[MinY,MaxY]],scale:[300/(MaxX-MinX),300/(MaxY-MinY)]}),path([[0,MinY],[0,MaxY]],{arrows:"<->"}),path([[MinX,0],[MaxX,0]],{arrows:"<->"}),path([[Ax-dd,Ay-dd*A],[Bx+dd,By+dd*A]],{stroke:BLUE}),path([[Bx-dd,By+dd/B],[Cx+dd,Cy-dd/B]],{stroke:BLUE}),lA=label([Ax,Ay],"A","above left"),lB=label([Bx,By],"B","right"),lC=label([Cx,Cy],"C","above right")

Ax , Ay =A שעורי נקודה

Bx , By =B שעורי נקודה

Cx , Cy =C שעורי נקודה

AC : (Cx*A+1)/A

שטח ABC = Area יח"ר

הזינו את התשובות בצורה של שברים מדומים

א. ראשית נסדר את המשוואות של הישרים לפי השיפוע שלהם - נזכר במשוואת הישר הכללית: y=m \cdot x +n ונזכור כי שיפוע הישר הינו המקדם של ה- x, כלומר ה- m.

משוואת ישר \purple{y=Atx+1}: השיפוע = A .

משוואת ישר \green{y=-\frac{1}{B}x+C}: השיפוע = -\frac{1}{B} .

נזכור כי שיפוע חיובי מעיד על ישר "עולה" כאשר מתבוננים עליו משמאל לימין, וכי שיפוע שלילי מעיד על ישר "יורד" כאשר מתבוננים עליו משמאל לימין.

השיפוע היחיד החיובי הינו של משוואת הישר \purple{y=Atx+1}, ולכן הוא מתאים לישר AB שבשרטוט וכמו כן השיפוע היחיד השלילי הינו של משוואת הישר \green{y=-\frac{1}{B}x+C} ולכן הוא מתאים לישר BC שבשרטוט.

p1=path([[Ax-dd,Ay-dd*A],[Bx+dd,By+dd*A]],{stroke:PURPLE}),p2=path([[Bx-dd,By+dd/B],[Cx+dd,Cy-dd/B]],{stroke:GREEN}),l1=label([(Ax+Bx)/2,(Ay+By)/2],"y="+At+"x+1","above left",{color:PURPLE}),l2=label([(Cx+Bx)/2,(Cy+By)/2],"y=-\\frac{1}{"+B+"}x+"+C,"right",{color:GREEN})

ב. בשביל לגלות שיעורי נקודה, אנו צריכים תמיד לדעת 2 עובדות עליה.

הנקודה A:

נמצאת על ציר ה- x ולכן שיעור ה- x שלה הוא y=0.

שייכת למשוואת ישר \purple{y=Atx+1}

y_A=0 ולכן y_A=Atx_A+1=0 ומכאן ש- x_A=Axt

A: (Axt,0)

lA.remove(),lA=label([Ax,Ay],"A("+Axt+",0)","above left")

הנקודה C:

נמצאת על ציר ה- x ולכן שיעור ה- x שלה הוא y=0.

שייכת למשוואת ישר \green{y=-\frac{1}{B}x+C}

y_C=0 ולכן y_C=-\frac{1}{B}x_A+C=0 ומכאן ש- x_C=Cx

C: (Cx,0)

lC.remove(),lC=label([Cx,Cy],"C("+Cx+",0)","above right")

הנקודה B:

על מנת למצוא נקודת חיתוך בין ישרים, נשווה בין משוואות הישרים: \purple{y=Atx+1}, \green{y=-\frac{1}{B}x+C}.

נפתור מערכת משוואת ב-2 נעלמים ובעצם נשווה בין הישרים:

Atx+1=-\frac{1}{B}x+C

נעביר אגפים ונקבל:

x=Bxt

נציב את ערך ה- x באחת מן המשוואות הרלוונטיות בכדי לקבל את ערך ה- y:

y=Atx+1 = A * Bxt + 1 = Byt

שיעורי נקודת החיתוך: B(Bxt,Byt).

B: (Bxt,Byt)

lB.remove(),lB=label([Bx,By],"B("+Bxt+","+Byt+")","above right")

ב. המרחק בין שני קדקודי המשולש המונחים על ציר- x כלומר המרחק בין הנקודות A ו- C.

נחשב את מרחק AC: C(Cx,0), A(Axt,0)

נבחין כי בציר ה- y אין התקדמות, לכן נמדוד לפי ה- x:

x_c–x_A = Cx - Axt = ACt \text{יחידות}

ג. נמצא את שטח המשולש ABC:

p1.remove(),p2.remove(),path([[Ax,Ay],[Bx,By],[Cx,Cy],[Ax,Ay]],{stroke:ORANGE})

נזכר כי דרך חישוב שטח המשולש הינו : S=\frac{\text{גובה} \cdot \text{בסיס}}{2}

במקרה שלנו: S = \frac{AC \cdot BN}{2}

path([[Bx,By],[Bx,0]],{stroke:PURPLE}),label([Bx,0],"N("+Bxt+",0)","below")

חישבנו את AC בסעיף הקודם: AC=ACt.

כעת נחשב את BN: B(Bxt,Byt), הנקודה N נמצאת על ציר ה- x ולכן שיעור ה- y שלה 0.

בציר ה- y אין התקדמות, לכן נמדוד לפי ה- y:

y_B–y_N = Byt-0 = Byt

שטח המשולש: S = \frac{AC \cdot BN}{2} = \frac{ACt \cdot Byt}{2} = Areat \text{ יח"ר}

0 randRange(2,4) randRange(B+1,6) B/2 C/2

נתון מרובע שקדקודיו הם: D(A,B) ,C(C,B) ,B(C,A) ,A(A,A) .

א. הראו שהמרובע הוא מלבן (זה סעיף מקדים

שתתבקשו לעשות במבחן, אבל כאן לא ניתן לבדוק אותו).

ב. חשבו את שטח המלבן.

ג. אלכסוני המלבן נחתכים בנקודה M . מצאו את שיעורי הנקודה M.

ד. חשבו את שטח המשולש AMB.

graphInit({range:[[-3,7],[-3,7]],scale:[30,30],axisArrows:"<->",gridOpacity:.01,axisOpacity:.3,yAxisOpacity:1,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),path([[0,B],[C,B],[C,0],[0,0],[0,B]],{stroke:BLUE}),path([[0,B],[C,0]],{stroke:BLUE}),path([[C,B],[0,0]],{stroke:BLUE})

שטח ABCD = B*C יח"ש

שעורי נקודה M = D , E לדוגמא 1,3

שטח AMB = round(C*B/4*100)/100 יח"ש

עגלו את התשובות למאית הקרובה ביותר (השאירו שתי ספרות עשרוניות)

א. ראשית, נתאים ונסמן את שיעורי הנקודות הנתונות על השרטוט.

lA=label([0,-0.5],"A","left"),lB=label([C,0],"B","below"),lC=label([C,B],"C","above"),lD=label([-0.5,B],"D","above")

הישר AD מונח על ציר ה Y - והישר AB מונח על ציר הX-, ולכן הישרים הללו מאונכים זה לזה.

ניתן לראות כי שיעור הY - של נקודה D(A,B) זהה לשיעור הY- של הנקודה ,C(C,B) ולכן CD מקביל לציר הX -.

באותו אופן, שיעור הX- של הנקודה C(C,B) זהה לשיעור הX - של נקודה , B(C,A)ולכן CB מקביל לציר הY -.

לכן, כול הישרים של המרובע מקבילים לצירים- ולכן זהו מלבן! (כל צלעות המלבן יוצרות זווית של 90 מעלות).

ב. חישוב שטח מלבן:S = \text{רוחב} \cdot \text{אורך}

במקרה שלנו: S =AD \cdot AB

חישוב אורך AB: הנקודה A (A,A)והנקודה B (C, A) הן בעלות אותו שיעור ,Y ולכן נמדוד את המרחק ביניהן לפי שיעור הX-!

X_B-X_A=C-(A) = C

חישוב אורך AD: הנקודה D (A,B) והנקודה A (A,A) הן בעלות אותו שיעור ,X ולכן נמדוד את המרחק בינהן לפי שיעור הY -!

Y_D-Y_A = BA = B

ולכן, שטח המלבן S = AD \cdot AB = C \cdot B = B*C :ABCD

ג. אנו יודעים כי במלבן האלכסונים חוצים זה את זה ושווים.

לכן, על מנת למצוא את נקודה M, ניעזר במשוואת אמצע קטע, בין הנקודות על הישר AC.

lM=label([C/2,B/2],"M(?,?)","above"),lA.remove(),lC.remove(),lA=label([0,-0.5],"A(0,0)","left"),lC=label([C,B],"C("+C+","+B+")","above"),pBC=path([[C,B],[0,0]],{stroke:ORANGE})

שיעור ה X - של נקודה X_A+X_C = \frac{C +A }{2} = C/2:M

שיעור ה Y - של נקודה Y_A+Y_C = \frac{B + A}{2} = B/2:D

סיכום נקודה M (C/2 , B/2).

ד. נוציא ונחשב את שטח המשולש AMB. נעזר בשרטוט עזר הכתום.

pBC.remove(),path([[C,0],[C/2,B/2],[0,0],[C,0]],{stroke:ORANGE}),lM.remove(),label([C/2,B/2],"M("+C/2+","+B/2+")","above"),lA.remove(),label([0,-0.5],"A(0,0)","left"),lB.remove(),label([C,0],"B("+C+",0)","below")

נזכר כי דרך חישוב שטח המשולש הינו : S = \frac{\text{בסיס} \cdot \text{גובה}}{2}

חסר לנו גובה! נוסיף את הגובה MP.

path([[C/2,0],[C/2,B/2]],{stroke:PURPLE}),label([C/2,0],"P","below")

נקודה P – נמצאת על ציר הX- ולכן שיעור ה0=Y -.

נקודה P- אותו שיעור X כמו נקודה :M X=C/2.

לסיכום P(C/2,A).

במקרה שלנו: S = \frac{AB \cdot MP}{2}

חישוב אורך AB: נעשה כבר: AB = C

חישוב אורך MP: הנקודה M (C/2 , B/2) והנקודה P (C/2,A) הן בעלות אותו שיעור X, ולכן נמדוד את המרחק ביניהן לפי שיעור הY - !

Y_M-Y_P = B/2 - A = B/2

ולכן, שטח המשולש AMB:

S_{AMB}= \frac{AB \cdot MP}{2} = \frac{C \cdot B/2}{2} = C*B/4 יח"ר

randRange(1,3)*.5 (function(){return A==1?"":A.toString()})() randRange(2,5)*.5 B/A Math.max(C,B)+1 .5*L/3

לפניכם סרטוט של שלושה ישרים \purple{I}, \purple{II}, \purple{III} .

נתונות שלוש משוואות:

y=-Atx+B, y=Atx+B, y=-Atx+-B

א. התאימו כל אחת מן המשוואות לישר אחד מבין הישרים \purple{I}, \purple{II}, \purple{III} .

ב. מצאו את שיעורי הנקודות A, B, C, D המסומנות בסרטוט.

ג. מצאו את משוואת הישר BC.

ד. מצאו את שטח המשולש AOB.

init({range:[[-L,L],[-L,L]],scale:[200/L,200/L]}),path([[0,-L],[0,L]],{arrows:"<->"}),path([[-L,0],[L,0]],{arrows:"<->"}),path([[C+dd,0-dd*A],[0-dd,B+dd*A]],{stroke:BLUE}),path([[0+dd,B+dd*A],[-C-dd,0-dd*A]],{stroke:BLUE}),path([[-C-dd,0+dd*A],[0+dd,-B-dd*A]],{stroke:BLUE}),label([C/2,B/2],"I","above",{color:PURPLE}),label([-C/2,B/2],"II","above",{color:PURPLE}),label([-C/2,-B/2],"III","below",{color:PURPLE}),lA=label([0,B],"A","right"),lB=label([C,0],"B","above right"),lC=label([0,-B],"C","above right"),lD=label([-C,0],"D","above left"),lO=label([0,0],"O","above right")

\purple{I} : "y = -"+At+"x + "+B.toString()

\purple{II} : "y = "+At+"x + "+B.toString()

\purple{III} : "y = -"+At+"x - "+B.toString()

0 , B =A שעורי נקודה

C , 0 =B שעורי נקודה

0 , -B =C שעורי נקודה

-C , 0 =D שעורי נקודה

BC: y = A \cdot x + -B

שטח AOB = C*B/2 יח"ר

א. את הישרים יש לסדר לפי השיפוע החיובי/שלילי ונקודת החיתוך עם ציר x

l1=label([C/2,B/2],"y=-"+At+"x+"+B,"right",{color:ORANGE}),l2=label([-C/2,B/2],"y="+At+"x+"+B,"left",{color:ORANGE}),l3=label([-C/2,-B/2],"y=-"+At+"x-"+B,"left",{color:ORANGE})

ב. בשביל לגלות שיעורי נקודה, אנו צריכים תמיד לדעת 2 עובדות עליה.

הנקודה A:

נמצאת על ציר ה- y ולכן שיעור ה- x שלה הוא x=0.

שייכת למשוואת ישר \purple{I}: y=Atx+B וגם למשוואה \purple{II}: y=-Atx+B

x_A=0

ולכן

y_A = Atx_A+B = At \cdot 0 + B = B

A: (0,B)

lA.remove(),lA=label([0,B],"A(0,"+B+")","right")

הנקודה B:

נמצאת על ציר ה -x ולכן שיעור ה- y=0.

שייכת למשוואת ישר \purple{I}: y=-Atx+B

y_B=0

ולכן

y_B = -Atx_B + B = 0

-Atx_B = - B

x_B=C

B: (C,0)

lB.remove(),lB=label([C,0],"B("+C+",0)","above right")

הנקודה C:

נמצאת על ציר ה- y ולכן שיעור ה- x שלה הוא x=0.

שייכת למשוואת ישר \purple{III}: y=-Atx-B

x_C=0

ולכן

y_C = -Atx_C - B = -At \cdot 0 - B = - B

C: (0,-B)

lC.remove(),lC=label([0,-B],"C(0,-"+B+")","above right")

הנקודה D:

נמצאת על ציר ה -x ולכן שיעור ה- y=0.

שייכת למשוואת ישר \purple{III}: y=-Atx-B

y_D=0

ולכן

y_D = -Atx_D - B = 0

-Atx_D = B

x_D = -C

D: (-C,0)

lD.remove(),lD=label([-C,0],"D(-"+C+",0)","above left")

ג. נתחיל ונמצא את משוואת הישר. נזכור כי בשביל למצוא משוואת ישר – אנו חייבים תמיד 2 דברים! נקודה אחת לפחות על הישר ושיפוע הישר.

p1=path([[C+dd,0+dd*A],[0-dd,-B-dd*A]],{stroke:ORANGE}),l4=label([C/2,-B/2],"y="+A+"x-"+B,"right",{color:ORANGE})

מהי הנקודה בה נשתמש? ניתן לבחור בין B או C. נבחר בנקודה B(C,0).

מהו השיפוע בו נשתמש? נזכר בנוסחאת מציאת השיפוע דרך 2 נקודות הרשומה לנו בדף הנוסחאות:

m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

נציב על סמך הנקודות B ו- C:

m = \frac {0 - B}{C-0} = \frac{B}{C} = A

השיפוע בו נשתמש לישר שלנו: A

נעזר בנוסחה: y-y_1=m \cdot (x-x_1) ונציב בה את הנתונים שגילינו: הנקודה (C,0) והשיפוע: A

נציב בנוסחה ונקבל: y-0=A(x-C).

נעביר אגפים ונקבל: y= Ax-B .

ד. נמצא את שטח המשולש AOB:

p1=path([[0,B],[C,0],[0,0],[0,B]],{stroke:ORANGE})

נזכר כי דרך חישוב שטח המשולש הינו : S=\frac{\text{גובה} \cdot \text{בסיס}}{2}

במקרה שלנו: S = \frac{AO \cdot OB}{2}

נחשב את AO: A(0,B), O (0,0): בציר ה-x אין התקדמות, לכן נמדוד לפי ה- y:

y_A – y_O = B-0 = B

נחשב את BO : B(C,0), O (0,0): בציר ה-y אין התקדמות, לכן נמדוד לפי ה- x:

x_B – x_O = C-0 = C

שטח המשולש: S = \frac{AO \cdot OB}{2} = \frac{B \cdot C}{2} = \frac{C*B}{2} = C*B/2 \text{ יח"ר}

randRange(3,5) randRange(2,A-1) -A -A 0 A 0 -B 0 -A Math.max(Ax,Bx,Cx,Dx)+2 Math.max(Ay,By,Cy,Dy)+2 Math.min(Ax,Bx,Cx,Dx)-2 Math.min(Ay,By,Cy,Dy)-2

נתונות ארבע נקודות במישור: D(0,-A) ,C(0,-B) ,B(0,A) ,A(-A,-A) .

א. חשבו את שטח המשולש ACD.

ב. חשבו את שטח המשולש ABD.

ג. חשבו את שטח המשולש ABC.

init({range:[[MinX,MaxX],[MinY,MaxY]],scale:[300/(MaxX-MinX),300/(MaxY-MinY)]}),path([[0,MinY],[0,MaxY]],{arrows:"<->"}),path([[MinX,0],[MaxX,0]],{arrows:"<->"}),path([[Ax,Ay],[Bx,By],[Dx,Dy],[Ax,Ay]],{stroke:BLUE}),path([[Ax,Ay],[Cx,Cy]],{stroke:BLUE}),lA=label([Ax,Ay],"A","left"),lB=label([Bx,By],"B","right"),lC=label([Cx,Cy],"C","right"),lD=label([Dx,Dy],"D","right")

א. שטח המשולש ACD הוא A*(-B+A)/2 יח"ר

ב. שטח המשולש ABD הוא A*A יח"ר

ג. שטח המשולש ABC הוא A*A-A*(-B+A)/2 יח"ר

א. ראשית, נתאים נסמן את שיעורי הנקודות הנתונות על השרטוט.

lA.remove(),lB.remove(),lC.remove(),lD.remove(),lA=label([Ax,Ay],"A("+Ax+","+Ay+")","left"),lB=label([Bx,By],"B("+Bx+","+By+")","right"),lC=label([Cx,Cy],"C("+Cx+","+Cy+")","right"),lD=label([Dx,Dy],"D("+Dx+","+Dy+")","right")

כעת, בכל פעם שנידרש לחישוב שטח משולש, "נוציא" את המשולש החוצה בצורה נקייה, ונביט רק במשולש הרלוונטי על כול שלושת קדקודיו.

t1=path([[Ax,Ay],[Cx,Cy],[Dx,Dy],[Ax,Ay]],{stroke:ORANGE,strokeWidth:4})

נזכר כי דרך חישוב שטח המשולש הינו : S=\frac{\text{גובה} \cdot \text{בסיס}}{2}

במקרה שלנו: S = \frac{AD \cdot DC}{2}

חישוב אורך AD: הנקודה A (A,-A) והנקודה D (0,-A) הן בעלות אותו שיעור y, ולכן נמדוד את המרחק ביניהן לפי שיעור ה- x!

x_D-x_A=0-(-A)=A

חישוב אורך DC: הנקודה C (0,-B) והנקודה D (0,-A) הן בעלות אותו שיעור x, ולכן נמדוד את המרחק ביניהן לפי שיעור ה-y!

y_C-y_D = -B – (-A) = -B+A

ולכן, שטח המשולש ACD: S = \frac{AD \cdot DC}{2} = \frac{A \cdot -B+A}{2} = A*(-B+A)/2 \text{ יח"ר }

ב. נוציא ונחשב את שטח המשולש ABD.

t1.remove(),t1=path([[Ax,Ay],[Bx,By],[Dx,Dy],[Ax,Ay]],{stroke:ORANGE,strokeWidth:4})

נזכר כי דרך חישוב שטח המשולש הינו : S=\frac{\text{גובה} \cdot \text{בסיס}}{2}

במקרה שלנו: S = \frac{AD \cdot DB}{2}

חישוב אורך AD: הנקודה A (A,-A) והנקודה D (0,-A) הן בעלות אותו שיעור y, ולכן נמדוד את המרחק ביניהן לפי שיעור ה- x!

x_D-x_A=0-(-A)=A

חישוב אורך DB: הנקודה B (0,A) והנקודה D (0,-A) הן בעלות אותו שיעור x, ולכן נמדוד את המרחק בינהן לפי שיעור ה- y!

y_B-y_D = A – (-A) = 2*A

ולכן, שטח המשולש ABD: S = \frac{AD \cdot DB}{2} = \frac{A \cdot 2*A}{2} = A*A

ג. כעת, במקום לחשב ישירות את שאח משולש ABC, ניעזר בסעיפים א' ו-ב' שפתרנו.

נבחין כי שטח המשולש \orange{ABD}, מכיל בתוכו גם את שטח משולש \green{ACB} וגם את משולש \blue{ADC}.

t1.remove();var dd=1;path([[Ax,Ay],[Bx,By],[Cx,Cy],[Ax,Ay]],{fill:GREEN,fillOpacity:.4}),path([[Ax,Ay],[Dx,Dy],[Cx,Cy],[Ax,Ay]],{fill:BLUE,fillOpacity:.4}),path([[Ax,Ay],[Bx,By],[Dx,Dy],[Ax,Ay]],{stroke:ORANGE,strokeWidth:4})

לכן: יח"ר S_{ABC}=S_{ABD} – S_{ACD} = A*A-A*(-B+A)/2 = A*A-A*(-B+A)/2

randRange(-3,3) randRange(1,2) randRange(-1,1) 3*Scale+ShiftX 1*Scale+ShiftY -2*Scale+ShiftX 1*Scale+ShiftY -2*Scale+ShiftX -3*Scale+ShiftY Bx By-2*Scale

הנקודות C(Cx,Cy) ,B(Bx,By) ,A(Ax,Ay) הן שלושה קדקודים של משולש.

א. חשבו את שטח המשולש ABC.

ב. הנקודה D היא אמצע הצלע BC. מצאו את שיעורי הנקודה D.

ג. חשבו את שטח המשולש ABD.

ד. חשבו את שטח המשולש ACD.

init({range:[[-10,10],[-8,8]],scale:[20,20]}),style({},function(){path([[0,-10],[0,10]]),path([[-10,0],[10,0]])}),style({stroke:BLUE},function(){path([[Ax,Ay],[Bx,By],[Cx,Cy],[Ax,Ay]])}),l1=label([Ax,Ay],"A","right"),l2=label([Bx,By],"B","above"),l3=label([Cx,Cy],"C","below"),l4=label([Dx,Dy],"D","left")

שטח ABC = (By-Cy)*(Ax-Bx)/2 יח"ר

(Bx+Cx)/2 , (By+Cy)/2 =D שעורי נקודה

שטח ABD = (Ax-Bx)*(By-Dy)/2 יח"ר

שטח ACD = (Ax-Bx)*(By-Cy)/2-(Ax-Bx)*(By-Dy)/2 יח"ר

סעיף א'

ראשית, נתאים ונסמן את שיעורי הנקודות הנתונות על השרטוט.

l1.remove(),l2.remove(),l3.remove(),l1=label([Ax,Ay],"A("+Ax+","+Ay+")","right"),l2=label([Bx,By],"B("+Bx+","+By+")","above"),l3=label([Cx,Cy],"C("+Cx+","+Cy+")","below")

נזכר כי דרך חישוב שטח המשולש הינו : S=\frac{\text{גובה} \cdot \text{בסיס}}{2}

במקרה שלנו: S = \frac{AB \cdot BC}{2}

חישוב אורך AB: הנקודה A (Ax,Ay) והנקודה B (Bx,By) הן בעלות אותו שיעור Y ולכן נמדוד את המרחק ביניהן לפי שיעור הX!

X_A-X_B=Ax-(Bx)=Ax-Bx

חישוב אורך BC: הנקודה B (Bx,By) והנקודה C (Cx,Cy) הן בעלות אותו שיעור X ולכן נמדוד את המרחק ביניהן לפי שיעור הY!

Y_B-Y_C = By – (Cy) = By-Cy

ולכן, שטח המשולש ABC: יח"ר S = \frac{AB \cdot BC}{2} = \frac{Ax-Bx \cdot By-Cy}{2} = (Ax-Bx)*(By-Cy)/2

סעיף ב'

ניעזר במשוואת אמצע קטע:

שיעור הX של נקודה D:

\frac{X_B+X_C}{2}= \frac{Bx + Cx}{2} = (Bx+Cx)/2

שיעור הY של נקודה D:

\frac{Y_B+Y_C}{2}= \frac{By + Cy}{2} = (By+Cy)/2

סיכום נקודה D ((Bx+Cx)/2,(By+Cy)/2).

סעיף ג'

נוציא ונחשב את שטח המשולש ABD. נעזר בשרטוט עזר:

path([[Ax,Ay],[Bx,By],[Dx,Dy],[Ax,Ay]],{stroke:ORANGE}),l4.remove(),l4=label([Dx,Dy],"D("+Dx+","+Dy+")","left")

נזכר כי דרך חישוב שטח המשולש הינו : S=\frac{\text{גובה} \cdot \text{בסיס}}{2}

במקרה שלנו: S = \frac{AB \cdot BD}{2}

חישוב אורך AB: נעשה כבר: AB = Ax-Bx

חישוב אורך BD: הנקודה B (Bx,By) והנקודה D (Dx,Dy) הן בעלות אותו שיעור X, ולכן נמדוד את המרחק ביניהן לפי שיעור ה Y!

Y_B - Y_D = By-Dy = By-Dy

ולכן, שטח המשולש ABD: יח"ר S = \frac{AB \cdot BD}{2} = \frac{Ax-Bx \cdot By-Dy}{2} = (Ax-Bx)*(By-Dy)/2

סעיף ד'

כעת, במקום לחשב ישירות את שטח משולש ACD, ניעזר בסעיפים א' ו-ג' שפתרנו.

נבחין כי שטח המשולש ABC, מכיל בתוכו גם את שטח משולש ABD וגם את משולש ADC.

לכן: יח"ר SADC=SABC – SABD = (Ax-Bx)*(By-Cy)/2-(Ax-Bx)*(By-Dy)/2 = (Ax-Bx)*(By-Cy)/2-(Ax-Bx)*(By-Dy)/2

אתם צופים בבעיה. כדי לעבוד על בעיות מסוג זה, התחילו תרגיל זה.
צריכים עזרה? בקשו רמז.