randRange(2,15) randRange(2,15) Math.min(n1,n2) Math.max(n1,n2) DC/AB roundTo(2,DCdivAB) DC/(rDCdivAB+1) roundTo(2,x) roundTo(2,2*rX)

בטרפז ABCD שבו AB \parallel CD האלכסונים נחתכים בנקודה O.

הנקודות E ו-F נמצאות על השוקיים כך השקטע EF עובר דרך O והוא מקביל לבסיסי הטרפז.

א. הוכח: EO=FO

ב. נתון: AB=AB , DC=DC

חשב את EF

init({range:[[-1,10],[-1,8]],scale:30}),path([[0,0],[3,6],[8,6],[10,0],[0,0]],{stroke:BLUE}),path([[0,0],[8,6]],{stroke:BLUE}),path([[3,6],[10,0]],{stroke:BLUE}),path([[2,4],[8.7,4]],{stroke:BLUE}),label([0,0],"D","below left"),label([3,6],"A","above left"),label([8,6],"B","above right"),label([10,0],"C","below right"),label([2,4],"E","left"),label([5.35,4],"O","below"),label([8.7,4],"F","right")

EF = EF

את התשובה יש לעגל לשתי ספרות אחרי הנקודה

סעיף א'

טענה נימוק
1. AB \parallel DC נתון
2. \frac{BO}{DO} = \frac{AO}{OC} משפט תאלס המורחב
3. \frac{BO}{DO} + 1 = \frac{AO}{OC} + 1

4. \frac{BO + DO}{DO} = \frac{AO + OC}{OC}

5. \frac{BD}{DO} = \frac{AC}{OC}
הוספת 1 לשני האגפים ופישוט אלגברי
6. \frac{DO}{BD} = \frac{OC}{AC} הופכי של היחס הקודם
7. EO \parallel AB EO חלק מ EF שמקביל ל AB
8. \frac{EO}{AB} = \frac{DO}{DB} משפט תאלס המורחב
9. AB \parallel OF OF חלק מ EF שמקביל ל AB
10. \frac{OF}{AB} = \frac{OC}{AC} משפט תאלס המורחב
11. \frac{OC}{AB} = \frac{EO}{AC} כלל המעבר 6+8
12. \frac{EO}{AB} = \frac{OF}{AB} כלל המעבר 10+11
13. EO=OF כפל ב AB

סעיף ב'

בסעיף הקודם מצאנו ש EO=OF.

נסמן כל אחד מהם באות x כך שEF=2x

label([3.5,3.8],"x","above",{color:"#FF0000"}),label([7.3,3.8],"x","above",{color:"#FF0000"})

נתבונן במשולש ADC:

EO מקביל לDC אז ניישם את משפט תאלס:

\frac{EO}{DC} = \frac{AO}{AC}

\frac{x}{DC} = \frac{AO}{AC}

נביע את יחסי הצלעות בין המשולשים AOB וDOC בעזרת משפט תאלס המורחב:

\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{DC} = \frac{AB}{DC}

\frac{AO}{OC} = \frac{AB}{DC}

קיבלנו שני ביטויים דומים ועלינו לבצע מספר פעולות אלגבריות כדי להפוך אותם לזהים.

נהפוך את הביטוי \frac{AO}{AC} כדי לקבל את השבר ההופכי שלו:

\frac{AC}{AO} = \frac{DC}{x}

נהפוך את הביטוי \frac{AO}{OC} ל \frac{AC}{AO} ע"י הוספת אחד לשבר ההופכי שלו:

\frac{AO}{OC} = \frac{AB}{DC}

\frac{OC}{AO} = \frac{DC}{AB} = rDCdivAB

\frac{OC}{AO} + 1 = rDCdivAB + 1

\frac{OC + AO}{AO} = roundTo(2,rDCdivAB+1)

\frac{AC}{AO} = roundTo(2,rDCdivAB+1)

נשווה בין שני הביטויים שמצאנו עבור \frac{AC}{AO} :

\frac{DC}{x} = roundTo(2,rDCdivAB+1)

DC = roundTo(2,rDCdivAB+1)x

rX = x

EF = 2x = EF

randRange(2,15) randRange(2,15) randRange(2,15) randRange(2,20) Math.max(n1,n2,n3,n4) Math.min(n1,n2,n3,n4) randFromArrayExclude([n1,n2,n3,n4],[DE,DB]) AE*DB/AD roundTo(1,ec) DE*DB/AD roundTo(1,fc) AD*FC/DB roundTo(2,nDE)

הנקודות D, E ו-F נמצאות בהתאמה על הצלעות AB, AC ו-BC של המשולש ABC

נתון: DE=BF

א. הוכח על-פי הנתונים שבציור שהמרובע DEFB הוא מקבילית.

ב. מצא את צלעות המקבילית.

init({range:[[-1,11],[-1,8]],scale:30}),path([[0,0],[4,6],[10,0],[0,0]],{stroke:BLUE}),path([[1.35,2],[8,2]],{stroke:BLUE}),path([[6.77,0],[8,2]],{stroke:BLUE}),label([0,0],"B","below left"),label([4,6],"A","above"),label([10,0],"C","below right"),label([1.35,2],"D","left"),label([8,2],"E","right"),label([6.77,0],"F","below"),label([.75,1.15],DB,"left",{color:"#FF0000"}),label([2.8,4.25],AD,"left",{color:"#FF0000"}),label([5.9,4.25],AE,"right",{color:"#FF0000"}),label([9,1.15],EC,"right",{color:"#FF0000"}),label([8.5,0],FC,"below",{color:"#FF0000"})

DE = rnDE

DB = DB

את התשובה יש לעגל לשתי ספרות אחרי הנקודה

סעיף א'

טענה נימוק
1. \frac{DB}{AD} = \frac{DB}{AD} נתון
2. \frac{EC}{AE} = \frac{EC}{AE} = \frac{DB}{AD} נתון
3. \frac{DB}{AD} = \frac{EC}{AE} כלל המעבר 1+2
4. DE \parallel BC משפט תאלס ההפוך
5. DE \parallel BF BF חלק מ BC שמקביל ל DE
6. DE = BF נתון
7. DEFB מקבילית מרובע שבו זוג צלעות מקבילות ושוות הוא מקבילית.

סעיף ב'

BD = EF = DB כיוון שאלו צלעות נגדיות במקבילית.

נסמן את שתי הצלעות השוות BF וDE בתור x

label([4.5,1.85],"x","above",{color:"#FF00FF"}),label([3.5,.25],"x","below",{color:"#FF00FF"})

DE מקביל לBC אז נוכל ליישם את משפט תאלס המורחב על משולש ABC:

\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}

נשבץ את הנתונים והנעלמים:

\frac{AD}{AD+DB} = \frac{x}{x+FC}

AD \cdot (x+FC) = AD+DBx

ADx + roundTo(1,AD*FC) = AD+DBx

roundTo(1,AD*FC) = DBx

rnDE = x

אורך צלעות המקבילית הן DB ו-rnDE

randRange(2,15) randRange(2,15) randRange(2,15) Math.min(n1,n2,n3) Math.max(n1,n2,n3) randFromArrayExclude([n1,n2,n3],[FG,AB]) AB FG+GE Math.sqrt(FG*(FG+GE)) AB*FE/AF

ABCD מקבילית. הקטע AE חותך את האלכסון BD בנקודה F, את הצלע BC בנקודה G ואת המשך הצלע DC הנקודה E.

א. הוכיחו \frac{AF}{FG} = \frac{FE}{AF}

ב. נתון: FG=FG , GE=GE , AB=AB

חשבו את DE

init({range:[[-2,11],[-1,8]],scale:30}),path([[0,0],[1,6],[7,6],[6,0],[0,0]],{stroke:BLUE}),path([[0,0],[7,6]],{stroke:BLUE}),path([[1,6],[10,0],[0,0]],{stroke:BLUE}),label([0,0],"D","below left"),label([1,6],"A","above left"),label([7,6],"B","above right"),label([6,0],"C","below"),label([10,0],"E","below right"),label([4.4,4.4],"F","center"),label([7,2.6],"G","center")

DE = DE

את התשובה יש לעגל לשתי ספרות אחרי הנקודה

סעיף א'

טענה נימוק
1. BC \parallel AD במקבילית כל שתי צלעות נגדיות מקבילות
2. BG \parallel AD BG חלק מהצלע BC שמקבילה ל AD
משפט תאלס עבור AFD ו-GFB:
3. \frac{AF}{FG} = \frac{FD}{BF}
משפט תאלס המורחב.
4. AB \parallel DC במקבילית כל שתי צלעות נגדיות מקבילות
5. AB \parallel DE DE המשך הצלע DC שמקבילה ל AB
משפט תאלס עבור ABF ו-FDE
6. \frac{FD}{BF} = \frac{FE}{AF}
משפט תאלס המורחב.
7. \frac{AF}{FG} = \frac{FE}{AF} כלל המעבר 3+6

סעיף ב'

AB = DC = AB כיוון שאלו צלעות נגדיות במקבילית.

label([6,3.5],FG,"left",{color:"#FF0000"}),label([9,1.6],GE,"left",{color:"#FF0000"}),label([4,6],AB,"above",{color:"#FF0000"}),label([3,0],DC,"below",{color:"#FF0000"})

נסמן את AF בתור x ונשבץ אותו ביחס שמצאנו בסעיף א' יחד עם הנתונים:

\frac{AF}{FG} = \frac{FE}{AF}

\frac{x}{FG} = \frac{FG + GE}{x}

x^2 = FG*(FG+GE)

x = \pm AF

הפתרון השלילי מתבטל כיוון ש AF הוא גודל גאומטרי וחייב להיות חיובי

נשתמש בנתון שמצאנו וניישם את משפט תאלס המורחב על המשולשים ABF וDFE:

\frac{AB}{DE} = \frac{AF}{FE}

\frac{AB}{DE} = \frac{AF}{FE}

AB*FE = AF \cdot DE

DE = DE

אתם צופים בבעיה. כדי לעבוד על בעיות מסוג זה, התחילו תרגיל זה.
צריכים עזרה? בקשו רמז.