randRange(1,10) randRange(1,10) b b a b-AD roundTo(2,dc)

ABC משולש שווה שוקיים (AB=AC) בו אורך השוק AC ס"מ ואורך הבסיס BC ס"מ

BD חוצה את הזווית ABC

AD=?

DC=?

init({range:[[-1,10],[-1,8]],scale:30}),path([[0,0],[6.5,3]],{stroke:BLUE}),path([[0,0],[8,0],[4,8],[0,0]],{stroke:BLUE}),label([0,0],"B","below"),label([8,0],"C","below"),label([4,8],"A","above"),label([6.5,3],"D","right")

AD = AD

DC = DC

את התשובה יש לעגל לשתי ספרות אחרי הנקודה

BD חוצה זווית במשולש ABC לכן נוכל להשתמש במשפט חוצה זווית פנימית כדי לתאר את היחס בין הקטעים המתאימים:

\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC}

נסמן את הקטע AD ב-x

מכן נובע שהקטע DC שווה לAC-x

נציב את הנעלמים יחד עם הנתונים ביחס שכתבנו:

\frac{AB}{BC} = \frac{x}{AC-x}

נפשט את המשוואה על-ידי מכפלה במכנים ובידוד הנעלם:

\frac{AB}{BC} = \frac{x}{AC-x} / \cdot coefficientFix(BC)(AC-x)

AB(AC-x) = coefficientFix(BC)x

AB*AC - ABx = coefficientFix(BC)x

AB*AC = BC+ABx

x = AD

AD = x = AD

DC = AC - x = AC - AD

DC = DC

randRange(10,20) randRange(10,20) randRange(5,10) a b c b*c/(a+c) roundTo(2,dc) (b-dc)*c/b roundTo(2,ed)

המרובע EDCF הוא מקבילית החסומה במשולש ABC.

BD חוצה את הזווית B.

נתון: AB = AB ס"מ, AC = AC ס"מ, BC = BC ס"מ.

מצא שתי צלעות סמוכות של המקבילית.

init({range:[[-1,10],[-1,10]],scale:30}),path([[4,0],[3.05,4],[6.95,4],[0,0]],{stroke:BLUE}),path([[0,0],[8,0],[6,8],[0,0]],{stroke:BLUE}),label([0,0],"B","below left"),label([8,0],"C","below right"),label([6,8],"A","above"),label([3.05,4],"E","left"),label([7,4],"D","right"),label([4,0],"F","below")
DC ED
ED DC

צלעות סמוכות של המקבילית

,

את התשובה יש לעגל לשתי ספרות אחרי הנקודה

נסמן את DC בתור x ואת ED בתור y

label([8,2],"x","center",{color:"#FF0000"}),label([5,4.5],"y","center",{color:"#FF0000"})

כיוון ש AC = AC אז הקטע AD = AC - x

label([7.5,6],AC+" - x","center",{color:"#FF0000"})

BD הוא חוצה זווית במשולש ABC אז נוכל ליישם את משפט חוצה הזווית על המשולש ולכתוב את היחס המתאים בין הצלעות:

\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}

\frac{AC - x}{x} = \frac{AB}{BC}

נכפול במכנים כדי לפשט את המשוואה ונבודד את הנעלם:

\frac{AC - x}{x} = \frac{AB}{BC} / \cdot BCx

BC(AC - x) = ABx

BC*AC - BCx = ABx

BC*AC = AB+BCx

DC = x

DC = x = DC

כדי למצוא את אורך הצלע ED נשתמש במשפט תאלס.

EDCF מקבילית לכן ED מקביל ל FC והוא מקביל גם ל BC שהיא המשך הצלע.

נשתמש במשפט תאלס המורחב כדי לתאר את היחסים בין הקטעים:

\frac{AD}{AC} = \frac{ED}{BC}

\frac{AD}{AC} = \frac{y}{BC}

ACy = BC*AD

y = \frac{BC*AD}{AC} = ED

ED = y = ED

randRange(2,10) a a a pow(AB,2)+pow(BC,2) Math.sqrt(AC2/2)+"\\sqrt{2}" a*Math.sqrt(2)/(1+Math.sqrt(2)) roundTo(2,ae)

האלכסונים בריבוע ABCD נחתכים בנקודה O.

CE חוצה את זווית ACB וחותך את האלכסון BD בנקודה F

נתון: AD = AD

AE = ?

init({range:[[-2,10],[-1,10]],scale:30}),path([[0,0],[8,8]],{stroke:BLUE}),path([[0,8],[8,0]],{stroke:BLUE}),path([[8,8],[5,0]],{stroke:BLUE}),path([[0,0],[8,0],[8,8],[0,8],[0,0]],{stroke:BLUE}),label([0,0],"A","below left"),label([8,0],"B","below right"),label([8,8],"C","above right"),label([0,8],"D","above left"),label([4,4],"O","above"),label([6,2.25],"F","right"),label([5,0],"E","below")

AE = AE

את התשובה יש לעגל לשתי ספרות אחרי הנקודה

נסמן את הצלע AE בתור x

מכאן נובע שהצלע EB שווה לAD-x

CE חוצה זווית במשולש ABC לכן נוכל להשתמש במשפט חוצה זווית כדי להביע את היחס בין הקטעים:

\frac{AE}{EB} = \frac{AC}{BC}

את האלכסון AC נחשב בעזרת משפט פיתגורס:

AC^2 = AB^2 + BC^2

AC^2 = AB^2 + BC^2 = pow(AB,2)+pow(BC,2)

AC = \sqrt{pow(AB,2)+pow(BC,2)} = AC

נציב את AC יחד עם שאר הצלעות ביחס שמצאנו:

\frac{x}{AD-x} = \frac{AC}{BC}

\frac{x}{AD-x} = \frac{AC}{BC} / \cdot (AD-x)

x = \sqrt{2}(AD-x)

x = AD\sqrt{2} - \sqrt{2}x

x + \sqrt{2}x = AD\sqrt{2}

x(1 + \sqrt{2}) = AD\sqrt{2}

x = \frac{AD\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} = AE

AE = AE ס"מ

randRange(4,20) a a a pow(AB,2)+pow(BC,2) Math.sqrt(AC2/2)+"\\sqrt{2}" a/2*Math.sqrt(2)/(1+Math.sqrt(2)) roundTo(2,of)

האלכסונים בריבוע ABCD נחתכים בנקודה O.

CE חוצה את זווית ACB וחותך את האלכסון BD בנקודה F

נתון: AD = AD

OF = ?

init({range:[[-2,10],[-1,10]],scale:30}),path([[0,0],[8,8]],{stroke:BLUE}),path([[0,8],[8,0]],{stroke:BLUE}),path([[8,8],[5,0]],{stroke:BLUE}),path([[0,0],[8,0],[8,8],[0,8],[0,0]],{stroke:BLUE}),label([0,0],"A","below left"),label([8,0],"B","below right"),label([8,8],"C","above right"),label([0,8],"D","above left"),label([4,4],"O","above"),label([6,2.25],"F","right"),label([5,0],"E","below")

OF = OF

את התשובה יש לעגל לשתי ספרות אחרי הנקודה

נסמן את הצלע OF בתור y

CF חוצה זווית במשולש OCB לכן נוכל להשתמש במשפט חוצה זווית כדי להביע את היחס בין הקטעים:

\frac{OF}{FB} = \frac{OC}{BC}

נחשב את אורך האלכסון AC בעזרת משפט פיתגורס ולאחר מכן נחלק אותו בשתיים למציאת אורך OC ו-OB:

AC^2 = AB^2 + BC^2

AC^2 = AB^2 + BC^2 = pow(AB,2)+pow(BC,2)

AC = \sqrt{pow(AB,2)+pow(BC,2)} = AC

OB = OC = \frac{AC}{2} = a/2 \sqrt{2}

FB = OB - OF = a/2 \sqrt{2} - y

נציב את כל הקטעים שמצאנו לתוך היחס:

\frac{OF}{FB} = \frac{OC}{CB}

\frac{y}{a/2 \sqrt{2} - y} = \frac{a/2 \sqrt{2}}{BC}

( \frac{a/2 \sqrt{2}}{BC} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} )

\frac{y}{a/2 \sqrt{2} - y} = \frac{1}{\sqrt{2}} / \cdot (a/2 \sqrt{2} - y)\sqrt{2}

\sqrt{2}y = a/2 \sqrt{2} - y

\sqrt{2}y + y = a/2 \sqrt{2}

(\sqrt{2} + 1)y = a/2 \sqrt{2}

y = \frac{a/2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} = OF

OF = OF ס"מ

randRange(1,10) 3*n 5*n 6*n 10*n BE+CE

הקטע AE חוצה את הזווית BAC במשולש ישר זווית ABC (\angle ABC = 90^{\circ}).

נתון: BE = BE ס"מ , EC = CE ס"מ.

חשבו את אורכי הצלעות AB ו- AC

init({range:[[-1,10],[-1,10]],scale:30}),path([[0,0],[8,0],[0,8],[0,0]],{stroke:BLUE}),path([[8,0],[0,3]],{stroke:BLUE}),label([0,0],"B","below left"),label([8,0],"A","below right"),label([0,8],"C","left"),label([0,3],"E","left")

AB = AB

AC = AC

AE חוצה זווית במשולש ABC לכן נוכל להביע את היחס בין הצלעות בעזרת משפט חוצה זווית במשולש:

\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC}

נציב את הנתונים מהשאלה ביחס שמצאנו:

\frac{BE}{CE} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{5}

משולש ABC הוא משולש ישר-זווית לכן נוכל להשתמש במשפט פיתגורס.

נסמן את הצלעות AB ו-AC בתור 3n ו-5n בהתאמה להבעת היחס ונכתוב את משפט פיתגורס בהתאם:

AC^2 = AB^2 + BC^2

(5n)^2 = (3n)^2 + BC^2

25n^2 = 9n^2 + pow(BC,2)

16n^2 = pow(BC,2)

n^2 = pow(BC,2)/16

n = 2*n

AB = 3n = 3 \cdot 2*n = AB

AC = 5n = 5 \cdot 2*n = AC

randRange(1,10) 3*n 5*n 6*n 10*n BE+CE

הקטע AE חוצה את הזווית BAC במשולש ישר זווית ABC (\angle ABC = 90^{\circ}).

נתון: AB = AB ס"מ , AC = AC ס"מ.

חשבו את אורכי הצלעות BE ו- EC

init({range:[[-1,10],[-1,10]],scale:30}),path([[0,0],[8,0],[0,8],[0,0]],{stroke:BLUE}),path([[8,0],[0,3]],{stroke:BLUE}),label([0,0],"B","below left"),label([8,0],"A","below right"),label([0,8],"C","left"),label([0,3],"E","left")

EC = CE

BE = BE

AE חוצה זווית במשולש ABC לכן נוכל להביע את היחס בין הצלעות בעזרת משפט חוצה זווית במשולש:

\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC}

נציב את הנתונים מהשאלה ביחס שמצאנו:

\frac{BE}{CE} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{5}

משולש ABC הוא משולש ישר-זווית לכן נוכל להשתמש במשפט פיתגורס.

נסמן את הצלעות BE ו-EC בתור 3n ו-5n בהתאמה להבעת היחס ונכתוב את משפט פיתגורס בהתאם:

AC^2 = AB^2 + BC^2

AC^2 = AB^2 + (5n + 3n)^2

pow(AC,2) = pow(AB,2) + 64n^2

pow(AC,2)-pow(AB,2) = 64n^2

(pow(AC,2)-pow(AB,2))/64 = n^2

n = n

BE = 3n = 3 \cdot n = BE

CE = 5n = 5 \cdot n = CE

אתם צופים בבעיה. כדי לעבוד על בעיות מסוג זה, התחילו תרגיל זה.
צריכים עזרה? בקשו רמז.