randRange(15,25) randRange(5,14) toFraction(AC/AB,.001) Math.sqrt(Math.pow(AB,2)-Math.pow(AC,2)) roundTo(2,bc) bc/(ACdivAB[0]+ACdivAB[1]) AB/2 roundTo(2,ae) AC*BC/(AB+AC) roundTo(2,cd) BC-CD roundTo(2,db) AB*CD/(2*AC) roundTo(2,ef)

AD הוא חוצה זווית BAC במשולש ישר זווית ABC (\angle C = 90^{\circ}).

הנקודה F נמצאת על AD והנקודה E היא אמצע AB.

נתון: FE \perp AB, AC = AC ס"מ, AB = AB ס"מ.

חשב את EF.

init({range:[[-1,10],[-1,10]],scale:30}),path([[0,8],[4,0]],{stroke:BLUE}),path([[4,4],[2.67,2.67]],{stroke:BLUE}),path([[0,0],[8,0],[0,8],[0,0]],{stroke:BLUE}),path([[.5,0],[.5,.5],[0,.5]],{stroke:BLUE}),path([[3.75,4.25],[3.5,4],[3.75,3.75]],{stroke:BLUE}),label([0,0],"C","below"),label([8,0],"B","below"),label([0,8],"A","above"),label([4,0],"D","below"),label([4,4],"E","above right"),label([2.67,2.67],"F","below left")

EF = EF

את התשובה יש לעגל לשתי ספרות אחרי הנקודה

אם נבחן את המשולשים ACD ו-AEF נראה כי יש להם שתי זוויות שוות:

\angle CAD = \angle EAFAD חוצה זווית CAB.

\angle ACD = \angle AEF – שתי הזוויות שוות ל90 מעלות.

מכאן ניתן להוכיח דמיון בין המשולשים בעזרת משפט דמיון זווית-זווית:

\triangle AEF \sim \triangle ACD

ניעזר בדמיון בין המשולשים כדי להביע את היחס בין הצלעות המתאימות:

\frac{AE}{AC} = \frac{EF}{CD} = \frac{AF}{AD}

ננסה להסיק נתונים נוספים על הצלעות כדי לחשב בעזרת היחס את EF.

הנקודה E היא אמצע הקטע AB לכן היא מחלקת אותו לשני חלקים שווים:

AE = EB = \frac{AB}{2} = \frac{AB}{2} = AE

AD הוא חוצה זווית במשולש ACB לכן נוכל להשתמש במשפט חוצה זווית במשולש כדי להביע את היחסים בין הצלעות:

\frac{AC}{AB} = \frac{CD}{DB}

\frac{AC}{AB} = \frac{AC}{AB} = \frac{ACdivAB[0]}{ACdivAB[1]} = \frac{CD}{DB}

נגדיר CD בתור ACdivAB[0]n ואת DB בתור ACdivAB[1]n כדי להביע את היחס ביניהם.

מכאן נובע שהצלע CB שווה לACdivAB[0]+ACdivAB[1] n. כעת נשתמש במשפט פיתגורס עבור המשולש ACB כדי לחשב את אורך הצלע CB וממנה את ערכו של n:

CB^2 + AC^2 = AB^2

CB^2 + AC^2 = AB^2

CB^2 = Math.pow(AB,2) - Math.pow(AC,2) = Math.pow(AB,2)-Math.pow(AC,2)

CB = BC

ACdivAB[0]+ACdivAB[1] n = BC

n = n

CD = ACdivAB[0] n = ACdivAB[0] \cdot n = CD

כעת נציב את ערכי AE, AC ו-CD ביחס הדמיון כדי לחשב את ערכו של EF:

\frac{AE}{AC} = \frac{EF}{CD}

\frac{AE}{AC} = \frac{EF}{CD}

\frac{AE \cdot CD}{AC} = EF

EF = EF

randRange(5,15) AB randRange(5,15) AB+BC toFraction(AB/BD,.001) BD*AC/((ABdivBD[0]+ABdivBD[1])*ABdivBD[1]) roundTo(3,Math.sqrt(preN)) Math.sqrt(AB*BD/(1+AB/BD)) roundTo(2,bf)

ABC הוא משולש שווה שוקיים. AB=AC=AB ס"מ. BC = BC ס"מ.

האריכו את הבסיס BC כך ש CD=AC.

BF הוא חוצה זווית B וחותך את AC בנקודה E ואת AD בנקודה F.

א. הוכיחו \triangle BDF \sim \triangle ADC

ב. חשבו את אורך הקטע BF

init({range:[[-1,11],[-1,11]],scale:30}),path([[8,9],[6,0]],{stroke:BLUE}),path([[10,0],[4,4.5]],{stroke:BLUE}),path([[0,0],[10,0],[8,9],[0,0]],{stroke:BLUE}),label([0,0],"D","below"),label([10,0],"B","below"),label([6,0],"C","below"),label([8,9],"A","above"),label([4,4.5],"F","above left"),label([7,3],"E","center")

BF = BF

את התשובה יש לעגל לשתי ספרות אחרי הנקודה

סעיף א'

טענה נימוק
1. \angle BDF = \angle ADC = \alpha
label([1,.5],"α","center",{color:"#FF0000"})
זווית שווה לעצמה
2. AC=DC נתון
3. \angle DAC = \angle ADC = \alpha
label([7.2,7.5],"α","center",{color:"#FF0000"})
במשולש שווה שוקיים, זוויות הבסיס שוות זו לזו.
4. \angle ACB = 2 \alpha
arc([6,0],1.2,0,79,{stroke:"green"}),label([6.6,.5],"2α","center",{color:"#FF0000"})
זווית חיצונית למשולש ADC
5. AB=AC נתון
6. \angle B = \angle ACB = 2 \alpha
arc([10,0],1.2,101,180,{stroke:"green"}),label([8.7,1],"2α","center",{color:"#FF0000"})
במשולש שווה שוקיים, זוויות הבסיס שוות זו לזו.
7. \angle FBD = \angle ABE = \alpha = \frac{2 \alpha}{2}
label([9.1,.3],"α","center",{color:"#FF0000"}),label([9.5,.8],"α","center",{color:"#FF0000"})
BF חוצה זווית B
8. \angle FBD = \alpha = \angle DAC כלל המעבר 3+7
9. \triangle BDF \sim \triangle ADC משפט דמיון ז.ז (סעיפים 1+8)

סעיף ב'

BF הוא חוצה זווית במשולש ABD לכן נוכל להשתמש במשפט חוצה זווית במשולש כדי להביע יחסים בין הצלעות המתאימות:

\frac{AF}{FD} = \frac{AB}{DB} = \frac{AB}{BD} = \frac{ABdivBD[0]}{ABdivBD[1]}

נסמן את הקטע AF בתור coefficientFix(ABdivBD[0])n ואת הקטע FD בתור ABdivBD[1]n כדי להביע את היחס ביניהם.

משולש BFD הוא משולש שווה-שוקיים כיוון שיש לו שתי זוויות אשר שוות ל \alpha מכאן נובע שהשוקיים שלו שוות – BF = FD = ABdivBD[1]n

בסעיף הקודם הוכחנו דמיון בין המשולשים BDF ו-ADC.

נביע את יחס הדמיון בין הצלעות המתאימות:

\frac{BD}{AD} = \frac{DF}{DC} = \frac{BF}{AC}

נציב את הנתונים והנעלמים בצלעות המתאימות ונבודד מהמשוואה את n:

\frac{BD}{AD} = \frac{BF}{AC}

\frac{BD}{coefficientFix(ABdivBD[0])n + ABdivBD[1]n} = \frac{ABdivBD[1]n}{AC}

BD*AC = ABdivBD[0]+ABdivBD[1]n \cdot ABdivBD[1]n

BD*AC = (ABdivBD[0]+ABdivBD[1])*ABdivBD[1]n^2

BD*AC/((ABdivBD[0]+ABdivBD[1])*ABdivBD[1]) = n^2

n = \sqrt{preN} = n

BF = ABdivBD[1]n = ABdivBD[1] \cdot n = BF

BF = BF

randRange(2,4)+randRange(0,1)/2 randRange(2,6) a*d d c 3*d/2 roundTo(2,ek) 3*Math.pow(d,2)/(2*c) roundTo(2,fg) 9*Math.pow(d,2)/(4*c) roundTo(2,ef) c-FG-EF roundTo(2,gh) GH roundTo(2,mh) c roundTo(2,kh) gh/c toFraction(GHdivEH,.001)

(השאלה לקוחה משאלון 806 מועד חורף תשע"ג)

נתון משולש KHE. הנקודות M ו-G נמצאות על הצלעות KH ו-EH

בהתאמה כך ש GM \parallel EK .

הנקודה F נמצאת על הצלע EH

המשכי הקטעים GM ו-FK נפגשים בנקודה L (ראה ציור)

נתון: \angle KFH = \angle KML

א. הוכח כי \triangle KHE \sim \triangle FLG

נתון גם: \frac{EF}{GE} = \frac{3}{5} , EH = EH ס"מ, GL = GL ס"מ.

ב. מצא את האורך של EK

ג. מצא את היחס \frac{MH}{KH}

init({range:[[-2,10],[-1,8]],scale:30}),path([[6,6],[1,2],[7.3,2]],{stroke:BLUE}),path([[0,6],[6,6],[8,0],[0,6]],{stroke:BLUE}),label([0,6],"E","above"),label([6,6],"K","above"),label([8,0],"H","below"),label([1,2],"L","left"),label([7.3,2],"M","right"),label([5,2],"G","below"),label([2.7,3.7],"F","left")

EK = EK

\frac{MH}{KH} = PRETTY_GHdivEH[0]/PRETTY_GHdivEH[1]

את התשובה יש לעגל לשתי ספרות אחרי הנקודה

את היחס יש להכניס כשבר פשוט

סעיף א'

טענה נימוק
1. \angle KML = \angle KFH = \alpha
label([6.9,2.3],"α","center",{color:"#FF0000"}),label([3.6,3.7],"α","center",{color:"#FF0000"})
נתון
2. \angle EKH = 180 - \alpha
arc([6,6],1.2,180,290,{stroke:"green"}),label([5.5,4.5],"180 - α","center",{color:"green"})
זוויות חד-צדדיות בין מקבילים משלימות ל180^{\circ}
3. \angle LFG = 180 - \alpha
arc([3,3.7],.7,225,325,{stroke:"green"}),label([3,2.5],"180 - α","center",{color:"green"})
זווית צמודה ל \angle KFH
4. \angle LFG = \angle EKH כלל המעבר 2+3
5. \angle KEH = \angle FGL זוויות מתחלפות בין מקבילים הן שוות
6. \triangle KHE \sim \triangle FLG משפט דמיון ז.ז.

סעיף ב'

מהנתון \frac{EF}{GE} = \frac{3}{5} ניתן להסיק גם על היחס בין EF לFG:

\frac{EF}{GE} = \frac{3}{5} / \cdot GE

EF = \frac{3}{5}GE

אם EF שווה ל\frac{3}{5} GE אז החלק השני של אותה הצלע, FG שווה ל\frac{2}{5} GE ומכאן ניתן להסיק לגבי היחס בין EF לFG:

\frac{EF}{FG} = \frac{\frac{3}{5} GE}{\frac{2}{5} GE} = \frac{3}{2}

הצלעות EK וLG מקבילות זו לזו (LG המשך הצלע GM שמקבילה לEK) לכן ניתן ליישם את משפט תאלס המורחב על המשולשים EFK ו-GFL:

\frac{EK}{GL} = \frac{EF}{FG} = \frac{3}{2}

יש לנו נתון לגבי GL אז נציב אותו במשוואה למציאת EK:

\frac{EK}{GL} = \frac{3}{2}

EK = \frac{3}{2} \cdot GL = EK

EK = EK ס"מ

סעיף ג'

נשתמש בדמיון המשולשים שהוכחנו בסעיף א' לבטא את היחס בין הצלעות:

\frac{KH}{FL} = \frac{HE}{GL} = \frac{EK}{FG}

נציב את הנתון שמצאנו יחד עם הנתונים מהשאלה כדי לחשב את אורך FG:

\frac{HE}{GL} = \frac{EK}{FG}

\frac{EH}{GL} = \frac{EK}{FG}

FG = FG ס"מ

\frac{EF}{FG} = \frac{3}{2} לכן EF שווה לEF

GH = EH - EF - FG

GH = EH - EF - FG = GH

הצלעות GM וEK מקבילות לכן ניתן ליישם את משפט תאלס על המשולשים EKH וGMH

\frac{MH}{KH} = \frac{GH}{EH} = \frac{GH}{EH} = \frac{PRETTY_GHdivEH[0]}{PRETTY_GHdivEH[1]}

\frac{MH}{KH} = \frac{GH}{EH} = \frac{PRETTY_GHdivEH[0]}{PRETTY_GHdivEH[1]}

\frac{MH}{KH} = \frac{PRETTY_GHdivEH[0]}{PRETTY_GHdivEH[1]}

randFromArray([2,4,6]) randRange(4,10) randRange(1,10) randRange(1,10) b*c/a c*(d+e)/e a*(b+d)/b a b c d roundTo(2,e) roundTo(2,f) fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(f,.001)) roundTo(2,g) fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(g,.001)) d f/g toFraction(AFdivGC,.001) fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(AFdivGC,.001))

(השאלה לקוחה משאלון 806 מועד קיץ תשע"ב)

נתונה מקבילית ABCD.

E ו-H הן נקודות על המשכי הצלעות CD ו-AB בהתאמה.

EH חותך את AD ואת BC בנקודות F ו-G בהתאמה (ראה ציור).

נתון: EF = ED , GF = DC

א. הוכח כי \triangle EFD \sim \triangle HBG

נתון: FD = FD ס"מ , EF = EF ס"מ, BG = BG ס"מ, AB = AB ס"מ

ב. מצא את האורך של BH

ג. מצא את היחס \frac{AF}{GC}

init({range:[[-2,11],[-1,11]],scale:30}),path([[0,0],[10,10]],{stroke:BLUE}),path([[0,0],[5,0],[3,10]],{stroke:BLUE}),path([[2,0],[0,10],[10,10]],{stroke:BLUE}),label([0,0],"E","below"),label([2,0],"D","below"),label([5,0],"C","below"),label([0,10],"A","above"),label([3,10],"B","above"),label([10,10],"H","above"),label([3.8,4.25],"G","center"),label([1.2,1.75],"F","center")

BH = BH

\frac{AF}{GC} = PRETTY_AFdivGC[0]/PRETTY_AFdivGC[1]

את התשובה יש לעגל לשתי ספרות אחרי הנקודה

את היחס יש להכניס כשבר פשוט

סעיף א'

טענה נימוק
1. EF=ED נתון
2. DEF משולש שווה-שוקיים משולש עם 2 שוקיים שוות הוא משולש שווה-שוקיים
3. \angle EDF = \angle EFD = \alpha
label([1.5,1.25],"α","center",{color:"#FF0000"}),label([1.75,.25],"α","center",{color:"#FF0000"})
זוויות בסיס שוות במשולש שווה-שוקיים
4. \angle EFD = \angle AFG = \alpha
label([1.8,2.2],"α","center",{color:"#FF0000"})
זוויות קודקודיות שוות
5. ABCD מקבילית נתון
6. AD \parallel BC צלעות נגדיות מקבילות במקבילית
7. \angle AFG = \angle EGC = \alpha
label([4,3.7],"α","center",{color:"#FF0000"})
זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים
8. \angle EGC = \angle BGH = \alpha
label([4.3,4.7],"α","center",{color:"#FF0000"})
זוויות קודקודיות שוות
9. \angle ADE = \angle BCE = \alpha
label([4.7,.25],"α","center",{color:"#FF0000"})
זוויות מתאימות שוות בין ישרים מקבילים
10. AB \parallel CD צלעות נגדיות מקבילות במקבילית
11. \angle BCE = \angle CBH = \alpha
label([3.3,9.75],"α","center",{color:"#FF0000"})
זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים
12. \angle CBH = \angle BGH = \alpha
שתי הזוויות שוות ל \alpha
13. \triangle EFD \sim \triangle HBG משפט דמיון ז.ז.

סעיף ב'

בסעיף הקודם הוכחנו דמיון בין המשולשים EFD ו-HBG

ניעזר בדמיון בין המשולשים כדי להביע את היחס בין הצלעות המתאימות:

\frac{EF}{BH} = \frac{FD}{BG} = \frac{ED}{HG}

נציב את הנתונים מהשאלה ביחס הנתון ונבודד ממנו את BH:

\frac{EF}{BH} = \frac{FD}{BG}

\frac{EF}{BH} = \frac{FD}{BG}

FD \cdot BH = BG*EF

BH = BH ס"מ

סעיף ג'

BG מקביל לצלע AF כיוון שהם חלקים מהצלעות AD ו-BC שמקבילות זו לזו.

ניעזר במשפט תאלס המורחב עבור המשולש AHF כדי להביע את היחס בין הצלעות:

\frac{BG}{AF} = \frac{BH}{AH}

נציב את הנתונים מהשאלה יחד עם הנתון לגבי BH ונבודד מהמשוואה את הצלע AF

\frac{BG}{AF} = \frac{BH}{BH + AB}

BH \cdot AF = BG*(BH+AB)

AF = PRETTY_AF

נבצע תהליך דומה על המשולש GEC ונבודד מהיחס את הצלע GC

\frac{FD}{GC} = \frac{EF}{EG}

(AB=DC=GF=AB)

\frac{FD}{GC} = \frac{EF}{EF + GF}

EF \cdot GC = FD*(EF+GF)

GC = PRETTY_GC

\frac{AF}{GC} = \frac{PRETTY_AF}{PRETTY_GC} = PRETTY_AFGC

היחס \frac{AF}{GC} שווה ל-PRETTY_AFGC

אתם צופים בבעיה. כדי לעבוד על בעיות מסוג זה, התחילו תרגיל זה.
צריכים עזרה? בקשו רמז.