randRange(9,90) 2*SUM/9 2*a

AD ו-CE הם תיכונים במשולש ABC הנפגשים בנקודה O.

המשולש DOC הוא שווה צלעות.

סכום התיכונים AD ו-CE הוא SUM ס"מ.

חשבו את הצלע BC.

init({range:[[-1,8],[-1,8]],scale:30}),path([[0,0],[7,7],[6,0],[0,0]],{stroke:BLUE}),path([[7,7],[3,0]],{stroke:RED}),path([[6,0],[3.5,3.5]],{stroke:RED}),label([0,0],"B","below"),label([3,0],"D","below"),label([6,0],"C","below"),label([7,7],"A","above"),label([3.5,3.5],"E","above left"),label([4.5,2.25],"O","right")

BC BC אורך צלע

המשולש DOC הוא משולש שווה צלעות – נסמן את שלושת הצלעות השוות באות a

label([4.5,0],"a","below"),label([3.75,1.25],"a","left"),label([5.25,1.25],"a","right")

בנוסף, AD תיכון לBC ולכן גם הקטע BD שווה לa

label([1.5,0],"a","below")

ננסה לבטא את סכום התיכונים בעזרת האות a ונשווה אותו לנתון.

משפט מפגש התיכונים קובע כי מפגש התיכונים מחלק את התיכון ביחס של 2:1

נבטא את חלקי התיכון בעזרת היחס והאות a:

\frac{AO}{OD} = \frac{2}{1}

\frac{AO}{a} = 2

AO = 2a

label([5.25,3.75],"2a","right")

\frac{CO}{EO} = \frac{2}{1}

\frac{a}{EO} = 2

EO = \frac{a}{2}

label([4,2.75],"\\frac{a}{2}","left")

נחשב את אורכי התיכונים בעזרת החלקים שמצאנו:

EC = EO + CO = \frac{a}{2} + a = \frac{3}{2}a

AD = AO + OD = 2a + a = 3a

נשווה את אורכי התיכונים למספר הנתון ונבודד מהמשוואה את a

AD + CE = SUM

3a + \frac{3}{2}a = SUM

\frac{9}{2}a = SUM

9a = 2*SUM

a = 2*SUM/9

הצלע BC שווה לפעמיים a:

BC = 2a = 2 \cdot a = BC

randRange(3,30) AC*2/3

BD הוא תיכון לצלע AC במשולש ABC.

הקטע EF מקביל ל-AC ועובר דרך הנקודה O שהיא מפגש התיכונים במשולש ABC

נתון: AC = AC

חשבו את EF.

(רמז: העבירו קו מקביל ל AC)

init({range:[[-1,10],[-1,10]],scale:30}),path([[5,8],[4,0]],{stroke:RED}),path([[1.55,2.5],[7.05,2.5]],{stroke:RED}),path([[0,0],[5,8],[8,0],[0,0]],{stroke:BLUE}),label([0,0],"A","below left"),label([5,8],"B","above"),label([8,0],"C","below right"),label([4,0],"D","below"),label([1.55,2.5],"E","left"),label([7.05,2.5],"F","right"),label([4.25,2.25],"O","above right")

FE EF אורך צלע

נסמן את הקטע OD באות a

label([4.15,1.25],"a","right")

לפי משפט מפגש התיכונים, הנקודה O מחלקת את הקטע BD ביחס של 1:2

\frac{BO}{OD} = \frac{2}{1}

\frac{BO}{a} = 2

BO = 2a

נבצע בניית עזר – נעביר קו HK מקביל לצלע EF שחותך את BD בנקודה G כך ש BG = GO

path([[2.95,4.75],[6.25,4.75]],{stroke:GREEN}),label([2.95,4.75],"H","left"),label([6.25,4.75],"K","right"),label([4.5,4.5],"G","above right")

BO = 2a = BG + GO לכן כל אחד מהקטעים שווה לa.

label([4.45,3.75],"a","left"),label([4.75,6],"a","left")

נסתכל על משולש BOF

הקטע GK מקביל לקטע OF כיוון שOF חלק מהצלע EF

בנוסף, BG=GO אז הקטע GK הוא קטע אמצעים במשולש BOF

מכאן נובע שKF=BK

label([5.75,6],"\\sim","center"),label([6.55,3.75],"\\sim","center")

נסתכל על משולש BEF

HK מקביל לצלע EF לפי בניית העזר שבנינו.

בנוסף, BK=KF אז הקטע HK הוא קטע אמצעים במשולש BEF

נסמן את אורך הקטע FE בתור x

מכאן נובע ש HK = \frac{x}{2} (קטע אמצעים מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה)

נבחן כעת את הטרפז HGDA

הקטע EO מקביל לצלע AD כיוון שEF מקביל לצלע AC

בנוסף, GO = a = OD לכן OE הוא קטע אמצעים בטרפז HGDA

מכאן ניתן להסיק כי גם השוק השנייה נחלקת לשניים – EA=HE

label([2.35,3.75],"\\approx","center"),label([.75,1.25],"\\approx","center")

נבדוק כעת את הטרפז הגדול KHCA

EF מקביל לAC לפני הנתון וEA=HE

מכאן ניתן להסיק כי EF הוא קטע אמצעים בטרפז KHCA

קטע אמצעים בטרפז שווה לסכום הבסיסים חלקי 2

כזכור, HK= \frac{x}{2} ,AC=AC ,FE = x

FE = \frac{ HK + AC }{2}

x = \frac{ \frac{x}{2} + AC }{2}

2x = \frac{x}{2} + AC

\frac{3}{2}x = AC

x = FE

אורך הקטע FE הוא FE.

randRange(30,35) randRange(6,10) AC 2*GE GC (pow(AB,2)-pow(GB,2))/8 roundTo(2,x2) pow(GB,2)-rX2 roundTo(2,y2) Math.sqrt(y2) roundTo(3,y) roundTo(2,2*y)

משולש ABC הוא משולש שווה-שוקיים (AB=AC)

CE ו-BF תיכונים לצלעות AB וAC בהתאמה.

AD הוא גובה לצלע BC

G היא נקודת מפגש התיכונים במשולש.

נתון:

AC=AC

GE=GE

חשבו את אורך הצלע BC

init({range:[[-1,11],[-1,11]],scale:30}),path([[0,0],[5,10],[10,0],[0,0]],{stroke:BLUE}),path([[5,10],[5,0]],{stroke:RED}),path([[0,0],[7.5,5]],{stroke:RED}),path([[10,0],[2.5,5]],{stroke:RED}),label([0,0],"C","below"),label([5,10],"A","above"),label([10,0],"B","below"),label([5,0],"D","below"),label([2.5,5],"F","left"),label([7.5,5],"E","right"),label([5,3.5],"G","above right")

BC BC אורך צלע

הכנס את התשובה כשבר עשרוני מעוגל ל2 ספרות

G נקודת מפגש התיכונים ולכן מחלק את אותם ביחס של 1:2

\frac{GE}{GC} = \frac{1}{2} = \frac{GE}{GC}

GC = 2*GE

label([6.35,4.75],GE,"center"),label([2.5,2.25],GC,"center")

נבצע חפיפה בין המשולשים CFB ו-BEC:

BC=BC (צלע משותפת)

\angle C = \angle B (זוויות בסיס במשולש שווה-שוקיים)

CF=BE (תיכונים מחלקים צלעות שוות לחלקים שווים)

\angle GCB = \angle GBC – זוויות מתאימות במשולש חופפים

מכאן נובע שגם משולש GBC הוא משולש שווה-שוקיים

לכן, GC = GB = GB

label([7.5,2.25],GC,"center")

נגדיר את הקטע DG בתור x ואת הקטע BD בתור y

לפי משפט מפגש התיכונים במשולש, הקטע AG יהיה שווה ל 2x. וכל הגובה AD=3x

label([5,1.75],"x","right"),label([7.5,0],"y","below"),label([5,6.5],"2x","right")

ניישם את משפט פיתגורס על המשולש GBD:

DG^2 + BD^2 = GB^2

x^2 + y^2 = GB^2

ניישם את משפט פיתגורס על המשולש ADB:

AD^2 + BD^2 = AB^2

9x^2 + y^2 = AB^2

נחסר בין המשוואת על מנת להיפטר מה-y:

9x^2 + y^2 = pow(AB,2)

x^2 + y^2 = pow(GB,2)

8x^2 = pow(AB,2)-pow(GB,2)

x^2 = rX2

נשתמש בנתון שמצאנו על מנת לחשב את y:

x^2 + y^2 = pow(GB,2)

rX2 + y^2 = pow(GB,2)

y^2 = rY2

y = rY

הצלע BC שווה לפעמיים BD:

BC = 2 \cdot rY = BC

אורך הצלע BC הוא BC

אתם צופים בבעיה. כדי לעבוד על בעיות מסוג זה, התחילו תרגיל זה.
צריכים עזרה? בקשו רמז.