randRange(1,6) randRange(-10,-1) randRange(10,20) c/a roundTo(2,xB) 0 0 c/b roundTo(2,yD) -xB roundTo(2,xA) 2*yD roundTo(2,yA) a/-b roundTo(2,mAB) c/b roundTo(2,nAB) -1/mAB roundTo(2,mBC) mBC*xB roundTo(2,nBC) (rYA+rNBC)/rMBC roundTo(2,xC) yA roundTo(2,yC) xC-xA roundTo(2,AC) AC+xB roundTo(2,xF) 0 roundTo(2,yF) Math.abs(yA) roundTo(2,h) rH*rAC round(S*100)/100

(השאלה לקוחה משאלון 804 מועד ב' קיץ תשע"ה)

נתון משולש ישר זווית שבו \angle ABC = 90^{\circ}.

הצלע AB מונחת על הישר coefficientFix(a)x + coefficientFix(b)y = c.

הישר חותך את ציר ה-x בנקודה B ואת ציר ה-y בנקודה D.

הצלע AC מקבילה לציר ה-x

הנקודה D היא אמצע הקטע AB (ראה ציור).

א. מצא את משוואת הצלע AC.

ב. מצא את השיעורים של הנקודה C.

ג. נתון כי המרובע BACF הוא מקבילית ( BF \parallel AC , AB \parallel CF)

מצא את השיעורים של הנקודה F.

ד. מצא את השטח של המקבילית BACF

graphInit({range:[[-8,16],[-8,1]],scale:20,axisArrows:"<->",gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,yAxisOpacity:1,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),path([[-4,-6],[4,0],[6,-6],[-4,-6]],{stroke:BLUE}),label([-4,-6],"A","below left"),label([4,0],"B","above"),label([6,-6],"C","below right"),label([0,-3],"D","left")

y = 0\cdot x + rYA :AC א. משוואת הצלע

C ( rXC , rYC ) :C ב. השיעורים של הנקודה

F ( rXF , rYF ) :F ג. השיעורים של הנקודה

rS :BACF ד. שטח של המקבילית

את התשובה יש לעגל לשתי ספרות אחרי הנקודה

סעיף א'

הצלע AC מקבילה לציר ה-x לכן עלינו למצוא את ערך y של אחת הנקודות בלבד כדי למצוא את משוואת הישר.

הנקודה D היא אמצע הקטע AB. אם נחשב את ערכי הנקודות B ו-D נוכל לחשב גם את ערכי הנקודה A.

הנקודה B היא נקודת החיתוך בין הישר coefficientFix(a)x + coefficientFix(b)y = c וציר ה-x בו y=0:

coefficientFix(a)x + b \cdot 0 = c

coefficientFix(a)x = c

x = rXB

B (rXB,yB)

הנקודה D היא נקודת החיתוך בין הישר coefficientFix(a)x + coefficientFix(b)y = c וציר ה-y בו x=0:

a \cdot 0 + coefficientFix(b)y = c

coefficientFix(b)y = c

y = rYD

D(xD,rYD)

נחשב את ערכי נקודת A בעזרת הנקודות B ו-D:

\frac{ x_A + x_B }{2} = x_D

\frac{ x_A + rXB }{2} = 0

x_A = rXA

\frac{ y_A + y_B }{2} = y_D

\frac{ y_A + 0 }{2} = rYD

y_A = rYA

A(rXA,rYA)

הישר AC עובר דרך הנקודה A ומקביל לציר x לכן משוואת הישר שלו היא y = rYA

y = rYA

סעיף ב'

הנקודה C היא נקודת החיתוך בין הישרים AC ו-BC.

את הישר AC כבר חישבנו לכן אם נמצא את משוואת הישר BC נוכל למצוא את נקודת החיתוך.

הישר BC מאונך לישר AB כיוון שהזווית ביניהם ישרה.

נעביר את משוואת הישר AB לצורה המפורשת:

coefficientFix(a)x + coefficientFix(b)y = c

coefficientFix(a)x + -c = coefficientFix(-b)y

\frac{coefficientFix(a)x + -c}{-b} = y

rMABx + rNAB = y

מכפלת שיפועי ישר מאונכים שווה ל-1

m_{AB} \cdot m_{BC} = -1

rMAB \cdot m_{BC} = -1

m_{BC} = rMBC

ניעזר בשיפוע שחישבנו והנקודה B (rXB,yB) כדי למצוא את משוואת הישר BC:

y - y_B = m(x - x_B)

y - 0 = rMBC(x - rXB)

y = rMBCx - rNBC

כעת נמצא את הנקודה C בעזרת חיתוך בין הישר שמצאנו ל AC (y = rYA )

rYA = rMBCx - rNBC

-rMBCx = -rYA - rNBC

-rMBCx = roundTo(2,-rYA-rNBC)

x = rXC

ערך y של C זהה לערך y של הנקודה A כיוון שהישר AC מקביל לציר ה-x

C (rXC,rYC)

סעיף ג'

נוסיף את הנקודה F לסרטוט כך שיווצרו קווים מקבילים בהתאם לנתון בשאלה

path([[6,-6],[12,0],[4,0]],{stroke:BLUE}),label([12,0],"F","above")

BF מקביל לAC שמקביל לציר x והנקודה B נמצאת על ציר x לכן גם הנקודה F נמצאת על ציר x ולכן שיעור ה-y שלה הוא 0.

BF שווה באורכו לקטע AC לכן אם נחשב את הקטע AC נוכל להשתמש בידע הזה כדי למצוא את אורך הקטע BF ואת שיעור ה -x של הנקודה F

הקטע AC מקביל לציר x לכן אורכו שווה להפרש בין שיעורי ה-x של הנקודות:

AC = x_C - x_A = rXC - (rXA) = rAC

AC = rAC = BF

BF = x_F - x_B = x_F - rXB = rAC

x_F = rXF

F (rXF, yF)

סעיף ד'

נוריד גובה מהנקודה B לצלע AC כדי לחשב את שטח המקבילית.

path([[4,0],[4,-6]],{stroke:BLUE}),label([4,-6],"E","below")

הנקודה E נמצאת על הישר y = rYA לכן אורך הקטע BE (הגובה) הוא rH.

נכפול בין הגובה לאורך הקטע AC (rAC) כדי למצוא את השטח:

S = rH \cdot rAC = rS

שטח המקבילית BACF הוא rS .

randRange(13,20) randFromArray([8,10,12]) randFromArray([2,4,6]) b-d b 0 c 0 d roundTo(2,xA) a-xA roundTo(2,yA) (yD-yA)/(xD-xA) roundTo(2,mAD) fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(mAD,.001)) -1*(rmAD*xD+yD) roundTo(2,nAD) mAD roundTo(2,mBC) -1*mBC*xC+yC roundTo(2,nBC) (a-rnBC)/(rmBC+1) roundTo(2,xB) -1*rXB+a roundTo(2,yB) 0 roundTo(2,xE) nBC roundTo(2,yE) xB roundTo(2,xF) yE roundTo(2,yF) rYB-rYE roundTo(2,h) rXA-rXE roundTo(2,base) rH*rBASE/2 roundTo(2,s)

(השאלה לקוחה משאלון 804 מועד קיץ תשע"ד)

ABCD הוא מרובע שבו AD \parallel BC .

הצלע AB מונחת על הישר x+y=a

והצלע CD מונחת על ציר ה-x

נתון: D(b,0) , C(c,0).

שיעור ה-x של הנקודה A הוא xA.

א. מצא את שיעורי הנקודה A.

ב. מצא את משוואת הישר AD.

ג. מצא את שיעורי הנקודה B.

ד. הישר BC חותך את ציר ה-y בנקודה E.

הראה כי הישר AE מקביל לציר ה-x

מצא את שטח המשולש AEB

graphInit({range:[[-10,10],[-1,11]],scale:20,axisArrows:"<->",gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,yAxisOpacity:1,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),path([[-5,10],[2,0]],{stroke:BLUE}),path([[-5,10],[4,3],[6,0]],{stroke:BLUE}),label([-5,10],"B","left"),label([0,3],"E","left"),label([2,0],"C","below"),label([4,3],"A","right"),label([6,0],"D","below")

A ( rXA , rYA ) :A א. השיעורים של הנקודה

y = rmAD\cdot x + rnAD :AD ב. משוואת הישר

B ( rXB , rYB ) :B ג. השיעורים של הנקודה

rS :AEB ד. שטח המשולש

את התשובה יש לעגל לשתי ספרות אחרי הנקודה

סעיף א'

הנקודה A מקיימת את משוואת הישר הנתון.

נציב במשוואת את שיעור ה-x של הנקודה כדי למצוא את שיעור ה-y שלה:

xA + y = a

y = yA

A (rXA,rYA)

סעיף ב'

נחשב את שיפוע הישר AD בעזרת שתי הנקודות:

m = \frac{y_D-y_A}{x_D-x_A} = \frac{yD-yA}{xD-xA} = \frac{yD-yA}{xD-xA} = PRETTY_mAD

m = \frac{y_D-y_A}{x_D-x_A} = \frac{yD-yA}{xD-xA} = PRETTY_mAD = rmAD

נבנה משוואת קו ישר בעזרת השיפוע שמצאנו והנקודה D:

y - y_D = m(x - x_D)

y - yD = rmAD(x - xD)

y= rmADx + rnAD

סעיף ג'

הנקודה B נמצאת בחיתוך בין הישרים AB ו-BC לכן עלינו למצוא את משוואת הישר BC כדי למצוא אותה

הישר BC מקביל לישר AD – יש להם שיפוע זהה – rmAD

נבנה משוואת קו ישר בעזרת השיפוע והנקודה C:

y - y_C = m(x - x_C)

y - yC = rmBC(x - xC)

y= rmBCx + rnBC

נעביר את משוואת AB לצורה המפורשת:

x + y = a

y = -x + a

נשווה בין הישרים BC וAB למצוא את שיעור ה-x של הנקודה B:

rmBCx + rnBC = -x + a

coefficientFix(roundTo(2,rmBC+1))x = roundTo(2,a-rnBC)

x = rXB

נחשב את שיעור ה-y של הנקודה B על-ידי הצבת x = rXB באחת המשוואות:

y = - negParens(rXB) + a

y = rYB

B (rXB,rYB)

סעיף ד'

הנקודה E נמצאת בנקודת החיתוך של הישר BC עם ציר y (x=0). נמצא את שיעור ה-y שלה:

y = rmBCx + rnBC

y = rmBC \cdot rXE + rnBC = rYE

E ( rXE, rYE)

לנקודות A ו-E שיעורי y זהים לכן הקו שעובר ביניהם מקביל לציר x.

נוריד גובה חיצוני מהנקודה B לצלע AE

style({stroke:"green",strokeWidth:1,strokeDasharray:"-"}),path([[-5,10],[-5,2]]),style({stroke:"red",strokeWidth:1,strokeDasharray:"-"}),path([[4,3],[-6,3]]),label([-5,3],"F","below left")

לנקודה F שיעור x זהה לנקודה B ושיעור y זהה לנקודה E

F( rXF, rYF)

נחשב את גובה המשולש בעזרת הפרש שיעורי ה-y של הנקודות B ו-F
rYB-rYE=rH

אורך הקטע AE שווה להפרש שיעורי ה-x של הנקודות A ו-E
rXA-rXE=rBASE

S = \frac{ rH \cdot rBASE}{2} = rS

שטח המשולש AEB הוא rS.

randFromArray([.5,1/3,.25,.2]) randRange(-10,-1) randRange(-10,-1) randRange(1,10) randRange(1,10) fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(a,.001)) d roundTo(2,xC) e roundTo(2,yC) c roundTo(2,xA) a*c+b roundTo(2,yA) (e-b)/a roundTo(2,xB) e roundTo(2,yB) a roundTo(2,mCD) -1*rmCD*rXC+rYC roundTo(2,nCD) c roundTo(2,xD) rmCD*rXD+rnCD roundTo(2,yD) c roundTo(2,xE) e roundTo(2,yE) rYE-rYA roundTo(2,h) rXB-rXC roundTo(2,base) rH*rBASE/2 roundTo(2,s)

(השאלה לקוחה משאלון 804 מועד קיץ תשע"ב)

נתון טרפז ABCD (AB \parallel DC)

משוואת הצלע AB היא y = PRETTY_ax + b

משוואת הצלע AD היא x = c

שיפוע הצלע CB הוא 0.

שיעורי הקודקוד C הם (rXC,rYC).

א. מצא את השיעורים של הקודקודים A, B, ו-D.

ב. מצא את אורך הגובה לצלע BC במשולש ACB.

ג. מצא את שטח המשולש ACB.

init({range:[[-10,18],[-14,8]],scale:15}),path([[-8,-12],[16,6],[4,6],[-8,-3],[-8,-12]],{stroke:BLUE}),label([-8,-12],"A","left"),label([16,6],"B","above"),label([4,6],"C","above"),label([-8,-3],"D","left")

א. שיעורים של הקודקודים

A ( rXA , rYA )

B ( rXB , rYB )

D ( rXD , rYD )

rH :BC ב. אורך הגובה לצלע

rS :ACB ג. שטח המשולש

את התשובה יש לעגל לשתי ספרות אחרי הנקודה

סעיף א'

הנקודה A נמצאת על הישר x=c לכן שיעור ה-x שלה הוא c.

בנוסף, היא נמצאת על הישר AB – נציב במשוואת הישר x=c למציאת שיעור ה-y:

y = PRETTY_a \cdot negParens(c) + b = rYA

A (rXA, rYA)

לנקודה B שיעור y זהה לנקודה C כיוון ששתיהן נמצאות על הישר CB ששיפועו 0.

נציב במשוואת הישר AB y=rYC למציאת שיעור ה-x של הנקודה B:

rYC = PRETTY_ax + b

rYC-b = PRETTY_ax

rXB = x

B (rXB, rYB)

הנקודה D נמצאת על הישר x=c לכן שיעור ה-x שלה הוא c.

כדי למצוא את שיעור ה-y שלה, עלינו לבנות את משוואת הצלע CD ולהציב בה x=c

למשוואת הצלע CD שיפוע זהה למשוואת הצלע AB כיוון שהן מקבילות.

נשתמש בנתון זה יחד עם שיעורי הנקודה C לבניית משוואת ישר:

y - rYC = PRETTY_a( x - rXC)

y - rYC = PRETTY_a x - roundTo(2,rmCD*rXC)

y = PRETTY_a x + rnCD

כעת נציב במשוואת הישר CD את שיעורי ה-x של הנקודה D:

y = PRETTY_a \cdot negParens(rXD) + rnCD = rYD

D (rXD, rYD)

סעיף ב'

הגובה לצלע BC במשולש ACB הוא גובה חיצוני

style({stroke:"green",strokeWidth:1,strokeDasharray:"-"}),path([[16,6],[-9,6]]),style({stroke:"red",strokeWidth:1,strokeDasharray:"-"}),path([[-8,-12],[-8,7]]),label([-8,6],"E","above left")

הנקודה E בעלת שיעור x זהה לנקודה A כיוון שAE הוא המשך הצלע AD

בנוסף, לנקודה E שיעור y זהה לנקודה C כיוון שCE הוא המשך הצלע BC

E (rXE, rYE)

אורך הגובה EA הוא הפרש שיעורי ה-y בין הנקודות A ו-E

h = EA = y_E - y_A = rYE - negParens(rYA) = rH

אורך הגובה לצלע BC הוא rH.

סעיף ג'

שטח המשולש ACB שווה למכפלת הגובה בצלע אותה הוא פוגש חלקי 2.

כיוון שכבר חישבנו את הגובה לצלע BC, נחשב את אורכה למציאת השטח.

הנקודות B ו-C בעלות אותו שיעור y לכן אורך הקטע BC שווה להפרש בין שיעורי ה-x שלהן:

BC = x_B - x_C = rXB - rXC = rBASE

S = \frac{BC \cdot h}{2} = \frac{ rBASE \cdot rH }{2} = rS

שטח המשולש ACB הוא rS

אתם צופים בבעיה. כדי לעבוד על בעיות מסוג זה, התחילו תרגיל זה.
צריכים עזרה? בקשו רמז.