GetNumbers(1)

חברת אוטובוסים מציעה לבתי ספר את המחירון הבא:
בעבור d תלמידים המחיר הוא e שקלים לתלמיד. כל תלמיד נוסף מוזיל את המחיר לתלמיד ב- f שקלים.

כמה תלמידים השתתפו בטיול אם עלותו הייתה h שקלים?

מספר התלמידים בטיול

d+g

לפני שנבנה משוואה מתאימה, ננסה להבין את השאלה טוב יותר בעזרת מספר דוגמאות:

עבור d תלמידים המחיר הוא e שקל לתלמיד – d\cdote=d*e

עבור d+1 תלמידים המחיר הוא e-f שקל לתלמיד – d+1\cdote-f=(d+1)*(e-f)

עבור d+2 תלמידים המחיר הוא e-2*f שקל לתלמיד – d+2\cdote-2*f=(d+2)*(e-2*f)

נגדיר את x בתור מספר התלמידים מעבר ל- d ולכן מספר התלמידים הסופי הוא x+d.

מצד שני המחיר פוחת ב- f שקלים עבור כל תלמיד שהצטרף אז המחיר הסופי הוא e פחות מספר התלמידים שהצטרפו כפול f שקלים: e-fx.

ננסה לבנות משוואה שכופלת בין שני הגורמים (מספר התלמידים והמחיר לכל תלמיד) ונשווה אותה לנתון – h.

(d + x)(e - fx)=h

d*e + ex - f*dx - fx^2=h

/ + -ha*div==1?"":a*div==-1?"-":a*divx^2 + b*div==1?"":b*div==-1?"-":b*divx + d*e=h

/ : diva*div==1?"":a*div==-1?"-":a*divx^2 + b*div==1?"":b*div==-1?"-":b*divx + c*div=0

a==1?"":a==-1?"-":ax^2 + b==1?"":b==-1?"-":bx + c=0

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים [הראה לי איך]

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

X_{1,2}=\frac{-b<0?"("+b+")":b \pm \sqrt{b<0?"("+b+")":b^2-4 \cdot a<0?"("+a+")":a \cdot c<0?"("+c+")":c}}{2 \cdot a<0?"("+a+")":a}

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b*b-a*c<0?"("+4*a*c+")":4*a*c}}{2*a}

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b*b-4*a*c}}{2*a}

X_{1,2}=\frac{-b \pm sqrt(disc)}{2*a}

X_{1}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}

X_{1}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}=x1

X_{1}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top1}{bottom1}

X_{1}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top1}{bottom1}=x1

X_{2}=\frac{-b - sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b-sqrt(disc)}{2*a}

X_{2}=\frac{-b - sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b-sqrt(disc)}{2*a}=x2

X_{2}=\frac{-b - sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b-sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top2}{bottom2}

X_{2}=\frac{-b - sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b-sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top2}{bottom2}=x2

ערכי ה- x של פתרונות המשוואה הם x1 , x2.

ערכי ה- x של פתרונות המשוואה הם \frac{top1}{bottom1} , \frac{top2}{bottom2}.

ערכי ה- x של פתרונות המשוואה הם \frac{top1}{bottom1} , x2.

ערכי ה- x של פתרונות המשוואה הם x1 , \frac{top2}{bottom2}.

מספר התלמידים שהצטרפו לא יכול להיות שלילי (אז לא היו מקבלים את ההנחה) ולכן התשובה השלילית נפסלת.

x מציין את מספר התלמידים מעבר ל- d ולכן מספר הילדים הכללי הוא d + x
d + g = d+g

בטיול השתתפו d+g תלמידים.

GetNumbers(2)

יואב רכב על אופניו מרחק של h ק"מ.

האופניים התקלקלו, והוא המשיך בדרכו בהליכה במהירות קבועה, מרחק של j ק"מ. את הדרך כולה עבר יואב ב- l שעות. מהירות ההליכה הייתה קטנה ב- k קמ"ש ממהירות הרכיבה.

מהי המהירות שבה רכב יואב?

המהירות שבה רכב יואב

d

בשלב הראשון נגדיר בתור x קמ"ש את המהירות בה יואב רכב.

אם הוא רכב דרך של h ק"מ במהירות x קמ"ש אז הזמן שלקח לו הוא \frac{h}{x} שעות.

זמן=\frac{דרך}{מהירות}

בחלק השני של המסלול הוא התקדם בהליכה במהירות קטנה ב- k קמ"ש ממהירות הרכיבה, כלומר x-k קמ"ש.

אם הוא הלך מרחק של j ק"מ במהירות של x-k קמ"ש אז הזמן שלקח לו הוא \frac{j}{x-k} שעות.

סה"כ אנחנו יודעים שהדרך כולה ארכה l שעות ולכן סכום הזמנים יהיה שווה לה:

=l\frac{h}{x} + \frac{j}{x-k}

נכפול במכנה המשותף x \cdot (x-k) ונפשט את המשוואה:

h\cdot (x - k) + j \cdot x = l \cdot x \cdot (x - k)

hx - h*k + jx = lx^2 - l*kx

/ - h+jxh+jx - h*k = a*div==1?"":a*div==-1?"-":a*divx^2 - l*kx

/ + h*k-c*div = a*div==1?"":a*div==-1?"-":a*divx^2 + b*div==1?"":b*div==-1?"-":b*divx

/ : div0 = a*divx^2 + b*div==1?"":b*div==-1?"-":b*divx + c*div

0 = a==1?"":a==-1?"-":ax^2 + b==1?"":b==-1?"-":bx + c

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים [הראה לי איך]

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

X_{1,2}=\frac{-b<0?"("+b+")":b \pm \sqrt{b<0?"("+b+")":b^2-4 \cdot a<0?"("+a+")":a \cdot c<0?"("+c+")":c}}{2 \cdot a<0?"("+a+")":a}

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b*b-a*c<0?"("+4*a*c+")":4*a*c}}{2*a}

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b*b-4*a*c}}{2*a}

X_{1,2}=\frac{-b \pm sqrt(disc)}{2*a}

X_{1}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}

X_{1}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}=x1

X_{1}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top1}{bottom1}

X_{1}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top1}{bottom1}=x1

X_{2}=\frac{-b - sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b-sqrt(disc)}{2*a}

X_{2}=\frac{-b - sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b-sqrt(disc)}{2*a}=x2

X_{2}=\frac{-b - sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b-sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top2}{bottom2}

X_{2}=\frac{-b - sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b-sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top2}{bottom2}=x2

פתרונות המשוואה הם x1 , x2.

פתרונות המשוואה הם \frac{top1}{bottom1} , \frac{top2}{bottom2}.

פתרונות המשוואה הם \frac{top1}{bottom1} , x2.

פתרונות המשוואה הם x1 , \frac{top2}{bottom2}.

מהירות הרכיבה לא יכולה להיות x2 כי אז מהירות ההליכה (x-k) תהיה שלילית ולכן התשובה השנייה נפסלת

מהירות הרכיבה לא יכולה להיות \frac{top2}{bottom2} כי אז מהירות ההליכה (x-k) תהיה שלילית ולכן התשובה השנייה נפסלת

מהירות הרכיבה היא d קמ"ש.

GetNumbers(3)

סכום הריבועים של שלושה מספרים טבעיים עוקבים הוא g.

מהו המספר הקטן מביניהם?

המספר הקטן

d

נסמן את המספר הקטן בתור x. מכאן נובע שהמספר הבא בתור הוא x+1 (מספרים עוקבים גדולים אחד מהשני ב-1) והמספר השלישי הוא x+2.

בשאלה נתון לנו סכום הריבועים שלהם ולכן נעלה כל אחד מהביטויים בריבוע ונשווה את סכומם ל- g:

x^2+(x+1)^2+(x+2)^2=g

נפתח סוגריים לפי נוסחאות הכפל המקוצר ונפשט את המשוואה:

x^2+x^2+2x+1+x^2+4x+4=g

/ - g3x^2+6x+5=g

/ : div3x^2+6x+c*div=0

a==1?"":a==-1?"-":ax^2+b==1?"":b==-1?"-":bx+c=0

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים [הראה לי איך]

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

X_{1,2}=\frac{-b<0?"("+b+")":b \pm \sqrt{b<0?"("+b+")":b^2-4 \cdot a<0?"("+a+")":a \cdot c<0?"("+c+")":c}}{2 \cdot a<0?"("+a+")":a}

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b*b-a*c<0?"("+4*a*c+")":4*a*c}}{2*a}

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b*b-4*a*c}}{2*a}

X_{1,2}=\frac{-b \pm sqrt(disc)}{2*a}

X_{1}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}

X_{1}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}=x1

X_{1}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top1}{bottom1}

X_{1}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top1}{bottom1}=x1

X_{2}=\frac{-b - sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b-sqrt(disc)}{2*a}

X_{2}=\frac{-b - sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b-sqrt(disc)}{2*a}=x2

X_{2}=\frac{-b - sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b-sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top2}{bottom2}

X_{2}=\frac{-b - sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b-sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top2}{bottom2}=x2

פתרונות המשוואה הם x1 , x2.

פתרונות המשוואה הם \frac{top1}{bottom1} , \frac{top2}{bottom2}.

פתרונות המשוואה הם \frac{top1}{bottom1} , x2.

פתרונות המשוואה הם x1 , \frac{top2}{bottom2}.

המספרים מוגדרים בתור מספרים טבעיים (שלמים וגדולים מ- 1) ולכן התשובה השנייה נפסלת.

המספר הקטן שווה ל- d.

GetNumbers(4)

אורך היתר במשולש ישר זווית הוא g ס"מ. אחד הניצבים ארוך ב- h ס"מ משתי פעמים הניצב האחר.

מהו היקף המשולש?

היקף המשולש

j

כדי למצוא את היקף המשולש עלינו בשלב הראשון למצוא את אורך שלושת צלעותיו.

נגדיר את הניצב הקטן בתור x. מכאן נובע שהניצב השני שווה ל- (2x+h) ("ארוך ב- h ס"מ משתי פעמים הניצב האחר")

ניעזר במשפט פיתגורס (a^2+b^2=c^2) ובנתון על היתר כדי למצוא את x:

x^2+(2x+h)^2=g^2

/ - g*gx^2+4x^2+4*hx + h*h=g*g

/ : div5x^2+b*divx + c*div=0

a==1?"":a==-1?"-":ax^2+b==1?"":b==-1?"-":bx + c=0

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים [הראה לי איך]

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

X_{1,2}=\frac{-b<0?"("+b+")":b \pm \sqrt{b<0?"("+b+")":b^2-4 \cdot a<0?"("+a+")":a \cdot c<0?"("+c+")":c}}{2 \cdot a<0?"("+a+")":a}

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b*b-a*c<0?"("+4*a*c+")":4*a*c}}{2*a}

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b*b-4*a*c}}{2*a}

X_{1,2}=\frac{-b \pm sqrt(disc)}{2*a}

X_{1}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}

X_{1}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}=x1

X_{1}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top1}{bottom1}

X_{1}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top1}{bottom1}=x1

X_{2}=\frac{-b - sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b-sqrt(disc)}{2*a}

X_{2}=\frac{-b - sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b-sqrt(disc)}{2*a}=x2

X_{2}=\frac{-b - sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b-sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top2}{bottom2}

X_{2}=\frac{-b - sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b-sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top2}{bottom2}=x2

פתרונות המשוואה הם x1 , x2.

פתרונות המשוואה הם \frac{top1}{bottom1} , \frac{top2}{bottom2}.

פתרונות המשוואה הם \frac{top1}{bottom1} , x2.

פתרונות המשוואה הם x1 , \frac{top2}{bottom2}.

אורך ניצב חייב להיות מספר חיובי ולכן התשובה השנייה נפסלת.

אורך הניצב הקטן הוא: e

אורך הניצב הגדול הוא: 2 \cdot e + h = f

אורך היתר הוא (נתון): g

היקף המשולש הוא: e+f+g = j

היקף המשולש הוא j ס"מ.

אתם צופים בבעיה. כדי לעבוד על בעיות מסוג זה, התחילו תרגיל זה.
צריכים עזרה? בקשו רמז.