randRange(2,5) randRangeNonZero(-1,1)*a randRangeNonZero(-5,5) randRangeNonZero(-5,5) A===1?"":A===-1?"-":A [parse("y &= A( x - #{h})^2 + #{k}",[GREEN,GREEN]),parse("y &= "+A_DISP+"( x - #{"+H+"})^2 + #{"+K+"}",[GREEN,GREEN])] [parse("y &= "+plus(A+"x^2",-2*A*H+"x",A*H*H+K)),parse("y + "+(-A*H*H-K)+" &= "+plus(A+"x^2",-2*A*H+"x"))] [parse(plus("y",-A*H*H-K)+" = "+A_DISP+"("+plus("x^2",-2*H+"x")+")")] [parse(plus("y",-A*H*H-K)+" &= "+A_DISP+"("+plus("x^2",-2*H+"x")+")"),parse(plus("y",-A*H*H-K)+" + #{"+A*H*H+"} &= "+A_DISP+"("+plus("x^2",-2*H+"x")+" + #{"+H*H+"})",[BLUE,BLUE]),parse(plus("y",-A*H*H-K+A*H*H)+" &= "+A_DISP+"("+plus("x^2",-2*H+"x",H*H)+")")] [parse(plus("y",-K)+" = "+A_DISP+"("+plus("x",-H)+")^2")] [parse("y = "+A_DISP+"(x - "+H+")^2 + "+K)]

כתבו את הפונקציה הבאה בייצוג קודקודי:

\qquad y = A_DISPx^2 + -2*A*Hx + A*H*H+K

y=A_DISP(x + -1*H)^2+K

הפונקציה נתונה לנו בייצוג סטנדרטי.

כדי לעבור מייצוג סטנדרטי לייצוג קודקודי יש לבצע השלמה לריבוע.

ראשית נזיז את הקבוע (C) אל צד השמאלי של המשוואה:

\qquad formatGroup(COMP_SQR1,[0,1])

לאחר מכן אנו יכולים להוציא כגורם משותף את A מהצד הימני:

\qquad formatGroup(COMP_SQR2,[0])

אנו יכולים להשלים את הריבוע על ידי לקיחת חצי ממקדם ה- X שלנו, להעלות אותו בריבוע, ולהוסיף אותו לשני צדדי המשוואה. המקדם של ה- X במקרה זה הינו -2*H, וחצי ממנו אמור להיות -H, נעלה אותו בריבוע ונקבל H*H. בגלל שאנו מוסיפים H*H לתוך הסוגרים בצד ימין, אנו צריכים להכפיל ב A, אנו צריכים להוסיף A*H*H לצד שמאל כדי להיות בטוחים שאנו מוסיפים אותו דבר לשני צדדי המשוואה.

\qquad formatGroup(COMP_SQR3,[0,1,2])

עכשיו אנו יכולים לכתוב את הביטוי בסוגרים בצורתו החדשה:

\qquad formatGroup(COMP_SQR4,[0])

נזיז את הקבוע לצד לצד הימיני של המשוואה, עכשיו המשוואה היא:

\qquad formatGroup(COMP_SQR5,[0])

randRangeNonZero(-10,10) randRangeNonZero(-10,10)
1 SQUARE*A*B A*B SQUARE*(-A-B) -A-B

כתבו את הפונקציה הבאה בייצוג מכפלה:

y=plus(SQUARE+"x^2") + plus(LINEAR+"x") + CONSTANT

-A -B
-B -A

\text{y=(x+ }\text{)(x+ } \text{) }

הפונקציה נתונה לנו בייצוג סטנדרטי.

כדי לעבור מייצוג סטנדרטי לייצוג מכפלה יש לבצע פירוק לגורמים.

כיוון שהפונקציה היא טרינום, נבצע פירוק טרינום לגורמים [תראה לי איך]

כאשר אנו מפרקים פולינום לגורמים, אנו עושים פעולה הופכית לפעולת המכפלה של הגורמים:

\qquad \begin{eqnarray} (x + a)(x + b) \quad&=&\quad xx &+& xb + ax &+& ab \\ \\ &=&\quad x^2 &+& \color{GREEN}{(a + b)}x &+& \color{BLUE}{ab} \end{eqnarray}

\qquad \begin{eqnarray} \hphantom{(x + a)(x + b) \quad}&\hphantom{=}&\hphantom{\quad xx }&\hphantom{+}&\hphantom{ (a + b)x }&\hphantom{+}& \\ &=&\quad x^2 & SIMPLELINEAR>=0?"+":""& plus("\\color{"+GREEN+"}{"+SIMPLELINEAR+"}x")& SIMPLECONSTANT>=0?"+":""& plus("\\color{"+BLUE+"}{"+SIMPLECONSTANT+"}") \end{eqnarray}

המקדם של x הוא SIMPLELINEAR והמקדם החופשי הוא SIMPLECONSTANT, אז כדי לעשות פעולה הופכית למכפלה ולמצוא את הגורמים, עלינו לחפש שני מספרים אשר הסכום שלהם שווה SIMPLELINEAR והמכפלה שלהם שווה SIMPLECONSTANT.

אפשר לנסות ולמצוא שני גורמים של SIMPLECONSTANT המקיימים את שני התנאים. אם לא מצאת גורמים מתאימים, אפשר לכתוב את התנאים כמערכת משוואות ולפתור עבור a ועבור b:

\qquad \color{PINK}{a} + \color{PINK}{b} = \color{GREEN}{SIMPLELINEAR}

\qquad \color{PINK}{a} \times \color{PINK}{b} = \color{BLUE}{SIMPLECONSTANT}

המספרים הבאים -A ו--B מקיימים את שני התנאים:

\qquad \color{PINK}{-A} + \color{PINK}{-B} = \color{GREEN}{SIMPLELINEAR}

\qquad \color{PINK}{-A} \times \color{PINK}{-B} = \color{BLUE}{SIMPLECONSTANT}

כלומר אפשר לפרק את הביטוי לגורמים באופן הבא: (x A<0?"+":"" \color{PINK}{-A}) (x B<0?"+":"" \color{PINK}{-B})

y=(x+-A)(x+-B)

randRange(2,7) randRangeNonZero(-1,-7) randRangeNonZero(-20,20)

כתבו את הפונקציה הבאה בייצוג סטנדרטי:

\qquad y = a(x + p)^2 + k

y=ax^2+2*a*px + a*p*p+k

הפונקציה נתונה לנו בייצוג קודקודי.

כדי לעבור מייצוג קודקודי לייצוג סטנדרטי יש לבצע פתיחת סוגריים.

ראשית, נפרק את הסוגריים לפי נוסחת הכפל המקוצר:

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

y=a(x^2+2*px+p*p) + k

כעת נפתח סוגריים עם המקדם a.

y=ax^2+a*2*px+a*p*p + k

y=ax^2+a*2*px+a*p*p+k

randRange(2,5) randRangeNonZero(-7,7) randRangeNonZero(-9,9)

כתבו את הפונקציה הבאה בייצוג סטנדרטי:

\qquad y = a(x + b)(x + c)

y=ax^2+a*(b+c)x + a*b*c

הפונקציה נתונה לנו בייצוג מכפלה.

כדי לעבור מייצוג מכפלה לייצוג סטנדרטי יש לבצע פתיחת סוגריים.

ראשית, נפרק את המכפלה בין הסוגריים לפי חוק הפילוג:

y=a(x+b)(x+c)

y=a(x \cdot x + bx + cx + b<0?"("+b+")":b\cdot c<0?"("+c+")":c)=a(x^2+c+bx+b*c)

כעת נפתח סוגריים עם המקדם a.

y=ax^2+a*(b+c)x+a*b*c

randRangeNonZero(-1,-10) pow(randRangeNonZero(-7,-2),2) sqrt(k)-p -sqrt(k)-p

כתבו את הפונקציה הבאה בייצוג מכפלה:

\qquad y = (x + p)^2 + -k

-x1 -x2
-x2 -x1

\text{y=(x+ }\text{)(x+ } \text{) }

הפונקציה נתונה לנו בייצוג קודקודי.

כדי לעבור מייצוג קודקודי לייצוג מכפלה יש למצוא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר x.

כדי לעשות זאת, נשווה את הפונקציה לאפס ונמצא את ערכי ה-x המתאימים:

/+k(x + p)^2 - k = 0

/ \sqrt{ }(x + p)^2 = k

x + p = \pm sqrt(k)

/ - px + p = sqrt(k)

x = x1

/ - px + p = - sqrt(k)

x = x2

הפונקציה חותכת את ציר x בנקודות (x1,0) ו- (x2,0) ולכן אלו הערכים המתאימים עבור n ו- m בייצוג המכפלה.

המקדם a בפונקציה הנתונה הוא 1 והוא זהה למקדם a בייצוג המכפלה.

y=(x-x1)\cdot(x-x2)

randRangeNonZero(-3,3) randRangeNonZero(-6,6) randRangeNonZero(-7,7) -(b+c)/2 a*(x+b)*(x+c)

כתבו את הפונקציה הבאה בייצוג קודקודי:

\qquad y = a(x + b)(x + c)

y=a\cdot (x+-x)^2 + y

הפונקציה נתונה לנו בייצוג מכפלה.

כדי לעבור מייצוג מכפלה לייצוג קודקודי נמצא בשלב הראשון את ציר הסימטריה של הפונקציה.

את ציר הסימטריה אפשר למצוא בעזרת שתי נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר x.

נקודות החיתוך המתאימות הן (-b,0) ו- (-c,0) ולכן ציר הסימטריה הוא הממוצע בין הנקודות:

x=\frac{-b+-c}{2}=\frac{-b-c}{2}=x

ערך ה- x של נקודת הקודקוד הוא x וזה למעשה ערך ה-p בייצוג הקודקודי.

את ערך ה- y של הקודקוד (k בייצוג הקודקודי) נמצא ע"י כך שנציב x בפונקציה:

y = a\cdot (x + b) \cdot (x + c)

y = a\cdot x+b \cdot x+c

y = y

ערך ה- a של הייצוג הקודקודי זהה לערכו בייצוג המכפלה ולכן גם כאן ערכו a.

y=a \cdot (x - x)^2 + y

אתם צופים בבעיה. כדי לעבוד על בעיות מסוג זה, התחילו תרגיל זה.
צריכים עזרה? בקשו רמז.