GetNumbers(1)

פתרו את אי-השוויון הבא:

astrx^2 + bstrx + c > 0

x < x1disp או x >x2disp

  • x < -x2disp או x >-x1disp
  • x1disp < x < x2disp
  • -x2disp < x < -x1disp

אנו נשאלים עבור אילו ערכי x אי-השווין חיובי. כיוון שזה אי-שוויון ריבועי, ניתן לבחון אותו כפרבולה ולבדוק עבור אילו ערכי x הפרבולה עצמה חיובית.

בשלב הראשון נמצא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x:

astrx^2+bstrx+c=0

אפשר לפתור את המשוואה בעזרת פירוק לטרינום או בעזרת נוסחת השורשים.

[פתרון בעזרת נוסחת השורשים]

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b<0?"("+b+")":b^2-4 \cdot a<0?"("+a+")":a \cdot c<0?"("+c+")":c}}{2 \cdot a<0?"("+a+")":a}

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b*b-a*c<0?"("+4*a*c+")":4*a*c}}{2*a}

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{disc}}{2*a}

X_{1,2}=\frac{-b \pm sqrt(disc)}{2*a}

X_{1}=\frac{-b - sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b-sqrt(disc)}{2*a}

X_{1}=\frac{-b - sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b-sqrt(disc)}{2*a}=x1

X_{1}=\frac{-b - sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b-sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top1}{bottom1}

X_{1}=\frac{-b - sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b-sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top1}{bottom1}=x1

X_{2}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}

X_{2}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}=x2

X_{2}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top2}{bottom2}

X_{2}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top2}{bottom2}=x2

נקודות החיתוך עם ציר ה- x הן x=x2 , x=x1.

הפרבולה ישרה (a>0) וניתן לסרטט אותה בעזרת נקודות החיתוך:

graphInit({range:[[-15,15],[-15,15]],scale:15,axisArrows:"<->",tickStep:1,labelStep:2,gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),label([x1,1],"("+x1disp+",0)","left"),label([x2,1],"("+x2disp+",0)","right"),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return a*pow(e,2)+b*e+c},[-11,11]),style({stroke:"red",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return 0},[-15,x1]),plot(function(e){return 0},[x2,15])

ניתן לראות כי הפרבולה חיובית עבור ערכים הקטנים מ x1 וגדולים מ x2.

x > x2 או x < x1

GetNumbers(2)

פתרו את אי-השוויון הבא:

astrx^2 + bstrx + c < 0

x1disp < x < x2disp

  • x < -x2disp או x >-x1disp
  • x < x1disp או x >x2disp
  • -x2disp < x < -x1disp

אנו נשאלים עבור אילו ערכי x אי-השווין שלילי. כיוון שזה אי-שוויון ריבועי, ניתן לבחון אותו כפרבולה ולבדוק עבור אילו ערכי x הפרבולה עצמה שלילית.

בשלב הראשון נמצא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x:

astrx^2+bstrx+c=0

אפשר לפתור את המשוואה בעזרת פירוק לטרינום או בעזרת נוסחת השורשים.

[פתרון בעזרת נוסחת השורשים]

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b<0?"("+b+")":b^2-4 \cdot a<0?"("+a+")":a \cdot c<0?"("+c+")":c}}{2 \cdot a<0?"("+a+")":a}

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b*b-a*c<0?"("+4*a*c+")":4*a*c}}{2*a}

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{disc}}{2*a}

X_{1,2}=\frac{-b \pm sqrt(disc)}{2*a}

X_{1}=\frac{-b - sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b-sqrt(disc)}{2*a}

X_{1}=\frac{-b - sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b-sqrt(disc)}{2*a}=x1

X_{1}=\frac{-b - sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b-sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top1}{bottom1}

X_{1}=\frac{-b - sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b-sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top1}{bottom1}=x1

X_{2}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}

X_{2}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}=x2

X_{2}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top2}{bottom2}

X_{2}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top2}{bottom2}=x2

נקודות החיתוך עם ציר ה- x הן x=x2 , x=x1.

הפרבולה ישרה (a>0) וניתן לסרטט אותה בעזרת נקודות החיתוך:

graphInit({range:[[-15,15],[-15,15]],scale:15,axisArrows:"<->",tickStep:1,labelStep:2,gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),label([x1,1],"("+x1disp+",0)","left"),label([x2,1],"("+x2disp+",0)","right"),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return a*pow(e,2)+b*e+c},[-11,11]),style({stroke:"red",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return 0},[x1,x2])

ניתן לראות כי הפרבולה שלילית בין הערכים x1 ו- x2.

x < x2 וגם x > x1

ניתן גם לכתוב זאת כך: x1 < x < x2

GetNumbers(3)

פתרו את אי-השוויון הבא:

astrx^2 + bstrx + c > 0

x1disp < x < x2disp

  • x < -x2disp או x >-x1disp
  • x < x1disp או x >x2disp
  • -x2disp < x < -x1disp

באי-השוויון הנתון המקדם של x^2 שלילי לכן ניתן לפתור את התרגיל בשתי דרכים – פתרון של פרבולה הפוכה או מעבר לאי-שוויון שקול חיובי. נציג ראשית את פתרון הפרבולה.

אנו נשאלים עבור אילו ערכי x אי-השווין חיובי. כיוון שזה אי-שוויון ריבועי, ניתן לבחון אותו כפרבולה ולבדוק עבור אילו ערכי x הפרבולה עצמה חיובית.

בשלב הראשון נמצא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x:

astrx^2+bstrx+c=0

אפשר לפתור את המשוואה בעזרת פירוק לטרינום או בעזרת נוסחת השורשים.

[פתרון בעזרת נוסחת השורשים]

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b<0?"("+b+")":b^2-4 \cdot a<0?"("+a+")":a \cdot c<0?"("+c+")":c}}{2 \cdot a<0?"("+a+")":a}

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b*b-a*c<0?"("+4*a*c+")":4*a*c}}{2*a}

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{disc}}{2*a}

X_{1,2}=\frac{-b \pm sqrt(disc)}{2*a}

X_{1}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}

X_{1}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}=x1

X_{1}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top1}{bottom1}

X_{1}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top1}{bottom1}=x1

X_{2}=\frac{-b - sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b-sqrt(disc)}{2*a}

X_{2}=\frac{-b - sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b-sqrt(disc)}{2*a}=x2

X_{2}=\frac{-b - sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b-sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top2}{bottom2}

X_{2}=\frac{-b - sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b-sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top2}{bottom2}=x2

נקודות החיתוך עם ציר ה- x הן x=x2 , x=x1.

הפרבולה הפוכה (a < 0) וניתן לסרטט אותה בעזרת נקודות החיתוך:

graphInit({range:[[-15,15],[-15,15]],scale:15,axisArrows:"<->",tickStep:1,labelStep:2,gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),label([x1,1],"("+x1disp+",0)","left"),label([x2,1],"("+x2disp+",0)","right"),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return a*pow(e,2)+b*e+c},[-11,11]),style({stroke:"red",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return 0},[x1,x2])

ניתן לראות כי הפרבולה חיובית בין הערכים x1 ו- x2.

x < x2 וגם x > x1

ניתן גם לכתוב זאת כך: x1 < x < x2

ניתן לחלופין לכפול את אי-השוויון ב- -1 כדי להפוך אותו לחיובי ולפתור לפי פרבולה ישרה. חשוב לזכור להפוך סימן כאשר כופלים אי-שוויון במספר שלילי:

/ \cdot (-1)astrx^2 + bstrx + c > 0

-a==1?"":-a==-1?"-":-ax^2 + -b==1?"":-b==-1?"-":-bx + -c < 0

מכאן ניתן להמשיך בפתרון הרגיל אך כעת יש למצוא עבור אילו ערכים הפרבולה שלילית. פתרונות המשוואה זהים: x=x2 , x=x1.

GetNumbers(4)

פתרו את אי-השוויון הבא:

astrx^2 + bstrx + c < 0

x < x1disp או x >x2disp

  • x < -x2disp או x >-x1disp
  • x1disp < x < x2disp
  • -x2disp < x < -x1disp

באי-השוויון הנתון המקדם של x^2 שלילי לכן ניתן לפתור את התרגיל בשתי דרכים – פתרון של פרבולה הפוכה או מעבר לאי-שוויון שקול חיובי. נציג ראשית את פתרון הפרבולה.

אנו נשאלים עבור אילו ערכי x אי-השווין שלילי. כיוון שזה אי-שוויון ריבועי, ניתן לבחון אותו כפרבולה ולבדוק עבור אילו ערכי x הפרבולה עצמה שלילית.

בשלב הראשון נמצא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x:

astrx^2+bstrx+c=0

אפשר לפתור את המשוואה בעזרת פירוק לטרינום או בעזרת נוסחת השורשים.

[פתרון בעזרת נוסחת השורשים]

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b<0?"("+b+")":b^2-4 \cdot a<0?"("+a+")":a \cdot c<0?"("+c+")":c}}{2 \cdot a<0?"("+a+")":a}

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b*b-a*c<0?"("+4*a*c+")":4*a*c}}{2*a}

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{disc}}{2*a}

X_{1,2}=\frac{-b \pm sqrt(disc)}{2*a}

X_{1}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}

X_{1}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}=x1

X_{1}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top1}{bottom1}

X_{1}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top1}{bottom1}=x1

X_{2}=\frac{-b - sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b-sqrt(disc)}{2*a}

X_{2}=\frac{-b - sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b-sqrt(disc)}{2*a}=x2

X_{2}=\frac{-b - sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b-sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top2}{bottom2}

X_{2}=\frac{-b - sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b-sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top2}{bottom2}=x2

נקודות החיתוך עם ציר ה- x הן x=x2 , x=x1.

הפרבולה הפוכה (a < 0) וניתן לסרטט אותה בעזרת נקודות החיתוך:

graphInit({range:[[-15,15],[-15,15]],scale:15,axisArrows:"<->",tickStep:1,labelStep:2,gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),label([x1,1],"("+x1disp+",0)","left"),label([x2,1],"("+x2disp+",0)","right"),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return a*pow(e,2)+b*e+c},[-11,11]),style({stroke:"red",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return 0},[-15,x1]),plot(function(e){return 0},[x2,15])

ניתן לראות כי הפרבולה שלילית עבור ערכים הקטנים מ x1 וגדולים מ x2.

x > x2 או x < x1

ניתן לחלופין לכפול את אי-השוויון ב- -1 כדי להפוך אותו לחיובי ולפתור לפי פרבולה ישרה. חשוב לזכור להפוך סימן כאשר כופלים אי-שוויון במספר שלילי:

/ \cdot (-1)astrx^2 + bstrx + c < 0

-a==1?"":-a==-1?"-":-ax^2 + -b==1?"":-b==-1?"-":-bx + -c > 0

מכאן ניתן להמשיך בפתרון הרגיל אך כעת יש למצוא עבור אילו ערכים הפרבולה חיובית. פתרונות המשוואה זהים: x=x2 , x=x1.

אתם צופים בבעיה. כדי לעבוד על בעיות מסוג זה, התחילו תרגיל זה.
צריכים עזרה? בקשו רמז.