randRange(55,55) angle (180-2*alpha)/2 180-alpha-beta randRange(6,6) angle<56?.3:.45 base*cos(2*beta*PI/180) base*sin(2*beta*PI/180) ax+base ay base 0 0 0 randRange(1,2) rand===1?3:5 AO===3?4:12 sqrt(AO*AO+BO*BO) AO===5?randRange(1,2):randRange(1,3)

המרובע ABCD הוא מעוין.

נתון:

AC=AO*multi*2

BD=BO*multi*2

חשבו את היקף ושטח המעוין.

init({range:[[-2,2+bx],[-2,ay+2]],scale:[40,40]});var shape=[[dx,dy],[cx,cy],[bx,by],[ax,ay],[dx,dy]],diagonal1=[[dx,dy],[bx,by]],diagonal2=[[cx,cy],[ax,ay]];style({stroke:BLUE,fill:"#f5f5f5"},function(){path(shape),path(diagonal1),path(diagonal2),label([ax,ay+.3],"A","left"),label([bx,by+.3],"B","right"),label([cx,cy-.3],"C","right"),label([dx,dy-.3],"D","left"),label([bx/2-.1,by/2],"O","below")})

שטח= AO*multi*2*BO*multi

היקף= AB*multi*4

בשלב הראשון נחשב את שטח המעוין.

שטח המעוין שווה למחצית מכפלת האלכסונים [הסבר מדוע ]

var showSubHint=function(){graph.subhint.show(),$("a[data-subhint='area-rhombus']").unbind("click",showSubHint).click(hideSubHint)},hideSubHint=function(){graph.subhint.hide(),$("a[data-subhint='area-rhombus']").unbind("click",hideSubHint).click(showSubHint)};graph.subhint=raphael.set().push(path([[dx,dy],[bx,by],[ax,ay],[dx,dy]],{fill:ORANGE,opacity:.5}),path([[dx,dy],[bx,by],[cx,cy],[dx,dy]],{fill:GREEN,opacity:.5})),hideSubHint()

האלכסון במעוין מחלק אותו לשני משולשים שווי-שוקיים

במעוין הנתון BD -הוא הבסיס של המשולשים ו AO ו- CO הם הגבהים המתאימים.

שטחי המשולשים שווים למחצית מכפלת הגובה בבסיס:

S_{ABD}=\frac{AO \cdot BD}{2}

S_{CBD}=\frac{CO \cdot BD}{2}

שטח המעוין שווה לסכום שטחי המשולשים:

S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{CBD} = \frac{AO \cdot BD}{2} + \frac{CO \cdot BD}{2} =

= \frac12 \cdot BD \cdot (AO+CO) = \frac12 \cdot BD \cdot AC

נשתמש בנוסחה ובנתונים כדי למצוא את שטח המעוין:

S_{ABCD} = \frac{AC \cdot BD}{2} = \frac{AO*multi*2 \cdot BO*multi*2}{2} = \frac{AO*multi*2*BO*multi*2}{2} = AO*multi*2*BO*multi

שטח המעוין שווה ל- AO*multi*2*BO*multi סמ"ר

כעת נעבור למציאת היקף המעוין. לשם כך עלינו למצוא את אורך צלעותיו.

נשתמש בנתונים שיש לנו על האלכסונים ובמשפטים הרלוונטיים.

האלכסונים במעוין חוצים זה את זה ומאונכים זה לזה.

האלכסונים במעוין מחלקים אותו ל- 4 משולשים ישרי-זווית, נוכל להשתמש במשפט פיתגורס כדי למצוא את אורכי הצלעות.

נעבוד על אחד המשולשים במעוין – משולש ∆AOB. המשולש מורכב משני חצאי האלכסונים ולכן אורך הניצבים שלו הם AO*multi ס"מ ו- BO*multi ס"מ.
path([[ax,ay],[bx/2,by/2],[bx,by],[ax,ay]],{fill:PURPLE,opacity:.1}),label([bx/2-.9,by/2+1.4],"\\color{blue}{"+AO*multi+"}","right"),label([bx/2+.9,by/2+1.4],"\\color{blue}{"+BO*multi+"}","right")
נכניס את הנתונים למשפט פיתגורס כדי למצוא את אורך היתר:
AO^2 + BO^2 = AB^2
AO*multi^2 + BO*multi^2 = AB^2
AO*AO*multi*multi + BO*BO*multi*multi = AB^2
AO*AO*multi*multi+BO*BO*multi*multi = AB^2
AB*multi = AB
label([bx/2+1,by],"\\color{red}{"+AB*multi+"}","above")

כל הצלעות במעוין שוות ולכן גם שאר הצלעות שוות ל- AB*multi ס"מ.

היקף מעוין שווה לסכום ארבעת הצלעות:
היקףAB+BC+CD+AD=
היקףAB*multi+AB*multi+AB*multi+AB*multi=
label([cx/2,cy],"\\color{red}{"+AB*multi+"}","below"),label([bx-.4,by/2],"\\color{red}{"+AB*multi+"}"),label([ax-1.1,ay/2],"\\color{red}{"+AB*multi+"}","left")

היקף המעוין שווה ל- AB*multi*4 ס"מ

randRange(55,55) angle (180-2*alpha)/2 180-alpha-beta randRange(6,6) base*cos(2*beta*PI/180) base*sin(2*beta*PI/180) ax+base ay base 0 0 0 randRange(1,2) rand===1?3:5 AO===3?4:12 sqrt(AO*AO+BO*BO) AO===5?randRange(1,2):randRange(1,3) AB*multi*4 AO*multi*2*BO*multi

המרובע ABCD הוא מעוין.

נתון:

היקף המעוין הוא perimeter ס"מ.

AO=AO*multi

חשבו את שטח המעוין ואת אורך אלכסוניו.

init({range:[[-2,2+bx],[-2,ay+2]],scale:[40,40]});var shape=[[dx,dy],[cx,cy],[bx,by],[ax,ay],[dx,dy]],diagonal1=[[dx,dy],[bx,by]],diagonal2=[[cx,cy],[ax,ay]];style({stroke:BLUE,fill:"#f5f5f5"},function(){path(shape),path(diagonal1),path(diagonal2),label([ax,ay+.3],"A","left"),label([bx,by+.3],"B","right"),label([cx,cy-.3],"C","right"),label([dx,dy-.3],"D","left"),label([bx/2-.1,by/2],"O","below"),label([bx*.4-.1,by*.75],AO*multi,"right",{color:BLUE})})

שטח= area

AC= AO*multi*2

BD= BO*multi*2

כדי למצוא את שטח המעוין עלינו למצוא בשלב הראשון את אורך האלכסונים.

האלכסונים במעוין חוצים זה את זה ולכן אורך האלכסון AC שווה לפעמיים AO.
label([bx/2+1,by/2-1.4],AO*multi,"right",{color:BLUE})

AC=2*AO=2*AO*multi

AC=AO*multi*2

האלכסונים במעוין גם מאונכים זה לזה ויוצרים 4 משולשים ישרי-זווית.

נוכל להשתמש באחד מהם ובמשפט פיתגורס כדי למצוא את אורך האלכסון השני.

נתבונן במשולש ∆AOB
path([[ax,ay],[bx/2,by/2],[bx,by],[ax,ay]],{fill:PURPLE,opacity:.1})

כדי להשתמש במשפט פיתגורס עלינו למצוא את אורך היתר של אותו משולש – צלע המעוין AB.

נתון לנו היקף המעוין אשר מורכב מסכום ארבעת הצלעות.

כל הצלעות שוות במעוין ולכן נוכל למצוא את אורכן בעזרת ההיקף:

היקף = \cdot 4צלע
perimeter = \cdot 4צלע
AB*multi = צלע
AB = AB*multi
label([bx/2+1,by],"\\color{red}{"+AB*multi+"}","above"),label([cx/2,cy],"\\color{red}{"+AB*multi+"}","below"),label([bx-.4,by/2],"\\color{red}{"+AB*multi+"}"),label([ax-1.1,ay/2],"\\color{red}{"+AB*multi+"}","left")

כעת ידועים לנו אורך היתר ואחד הניצבים - נציב את הנתונים במשפט פיתגורס:

AO^2 + BO^2 = AB^2
AO*multi^2 + BO^2 = AB*multi^2
AO*AO*multi*multi + BO^2 = AB*multi*AB*multi^2
BO^2 = AO*AO*multi*multi-AB*multi*AB*multi
BO^2 = BO*multi*BO*multi
BO = BO*multi
label([bx/2+.9,by/2+1.4],BO*multi,"right",{color:BLUE})
BO הוא מחצית מהאלכסון BD ולכן אורך האלכסון הוא פעמיים BO.
label([bx/2-2.8,by/2-1.2],BO*multi,"right",{color:BLUE})

2*BO=BD

BO*multi*2=BD ס"מ

שטח המעוין שווה למחצית מכפלת האלכסונים [הסבר מדוע ]

האלכסון BD מחלק את המעוין לשני משולשים חופפים.

var showSubHint=function(){graph.subhint.show(),$("a[data-subhint='area-rhombus1']").unbind("click",showSubHint).click(hideSubHint)},hideSubHint=function(){graph.subhint.hide(),$("a[data-subhint='area-rhombus1']").unbind("click",hideSubHint).click(showSubHint)};graph.subhint=raphael.set().push(path([[dx,dy],[bx,by],[ax,ay],[dx,dy]],{fill:ORANGE,opacity:.5}),path([[dx,dy],[bx,by],[cx,cy],[dx,dy]],{fill:GREEN,opacity:.5})),hideSubHint()

האלכסון במעוין מחלק אותו לשני משולשים שווי-שוקיים

במעוין הנתון BD -הוא הבסיס של המשולשים ו AO ו- CO הם הגבהים המתאימים.

שטחי המשולשים שווים למחצית מכפלת הגובה בבסיס:

S_{ABD}=\frac{AO \cdot BD}{2}

S_{CBD}=\frac{CO \cdot BD}{2}

שטח המעוין שווה לסכום שטחי המשולשים:

S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{CBD} = \frac{AO \cdot BD}{2} + \frac{CO \cdot BD}{2} =

= \frac12 \cdot BD \cdot (AO+CO) = \frac12 \cdot BD \cdot AC

נשתמש בנוסחה ובנתונים כדי למצוא את שטח המעוין:

S_{ABCD} = \frac{AC \cdot BD}{2} = \frac{AO*multi*2 \cdot BO*multi*2}{2} = \frac{AO*multi*2*BO*multi*2}{2} = AO*multi*2*BO*multi

שטח המעוין שווה ל- AO*multi*2*BO*multi סמ"ר

randRange(55,55) angle (180-2*alpha)/2 180-alpha-beta randRange(6,6) base*cos(2*beta*PI/180) base*sin(2*beta*PI/180) ax+base ay base 0 0 0 randRange(1,2) rand===1?3:5 AO===3?4:12 sqrt(AO*AO+BO*BO) AO===5?randRange(1,2):randRange(1,3) AB*multi*4 AO*multi*2*BO*multi

המרובע ABCD הוא מעוין.

נתון:

שטח המעוין הוא area סמ"ר.

AC=AO*multi*2 ס"מ.

מצאו את היקף המעוין.

init({range:[[-2,2+bx],[-2,ay+2]],scale:[40,40]});var shape=[[dx,dy],[cx,cy],[bx,by],[ax,ay],[dx,dy]],diagonal1=[[dx,dy],[bx,by]],diagonal2=[[cx,cy],[ax,ay]];style({stroke:BLUE,fill:"#f5f5f5"},function(){path(shape),path(diagonal1),path(diagonal2),label([ax,ay+.3],"A","left"),label([bx,by+.3],"B","right"),label([cx,cy-.3],"C","right"),label([dx,dy-.3],"D","left"),label([bx/2-.1,by/2],"O","below")})

היקף= perimeter

כדי למצוא את היקף המעוין עלינו למצוא את אחד מצלעותיו.

האלכסונים במעוין גם מאונכים זה לזה ויוצרים 4 משולשים ישרי-זווית.

בעזרת משפט פיתגורס, נוכל למצוא את אורך היתר של אחד המשולשים – צלע המעוין.

האלכסונים במעוין גם חוצים זה את זה ולכן ניתן למצוא את אורך אחד הניצבים בעזרת האלכסון הנתון.

נתבונן במשולש ∆AOB.
path([[ax,ay],[bx/2,by/2],[bx,by],[ax,ay]],{fill:PURPLE,opacity:.1})

AO שווה למחצית האלכסון AC:

AO= \frac{AC}{2} = \frac{AO*multi*2}{2} = AO*multi
label([bx/2+1,by/2-1.4],AO*multi,"right",{color:BLUE}),label([bx*.4-.1,by*.75],AO*multi,"right",{color:BLUE})

כדי למצוא את אורך הניצב השני עלינו למצוא את אורך האלכסון השני BD.

בשאלה נתון לנו שטח המעוין ואורך אחד האלכסונים.

שטח המעוין שווה למחצית מכפלת האלכסונים [הסבר מדוע ]

האלכסון BD מחלק את המעוין לשני משולשים חופפים.

var showSubHint=function(){graph.subhint.show(),$("a[data-subhint='area-rhombus2']").unbind("click",showSubHint).click(hideSubHint)},hideSubHint=function(){graph.subhint.hide(),$("a[data-subhint='area-rhombus2']").unbind("click",hideSubHint).click(showSubHint)};graph.subhint=raphael.set().push(path([[dx,dy],[bx,by],[ax,ay],[dx,dy]],{fill:ORANGE,opacity:.5}),path([[dx,dy],[bx,by],[cx,cy],[dx,dy]],{fill:GREEN,opacity:.5})),hideSubHint()

האלכסון במעוין מחלק אותו לשני משולשים שווי-שוקיים

במעוין הנתון BD -הוא הבסיס של המשולשים ו AO ו- CO הם הגבהים המתאימים.

שטחי המשולשים שווים למחצית מכפלת הגובה בבסיס:

S_{ABD}=\frac{AO \cdot BD}{2}

S_{CBD}=\frac{CO \cdot BD}{2}

שטח המעוין שווה לסכום שטחי המשולשים:

S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{CBD} = \frac{AO \cdot BD}{2} + \frac{CO \cdot BD}{2} =

= \frac12 \cdot BD \cdot (AO+CO) = \frac12 \cdot BD \cdot AC

נוכל להשתמש בנוסחת השטח עם השטח והאלכסון הנתונים כדי למצוא את האלכסון השני:

area = \frac{AC \cdot BD}{2}

area = \frac{AO*multi*2 \cdot BD}{2}

area = AO*multi \cdot BD
BO*multi*2 = BD

הניצב השני של אותו משולש - BO, שווה למחצית האלכסון BD:

BO=\frac{BD}{2} = \frac{BO*multi*2}{2} = BO*multi
label([bx/2+.9,by/2+1.4],BO*multi,"right",{color:BLUE}),label([bx/2-2.8,by/2-1.2],BO*multi,"right",{color:BLUE})
כעת נציב את שני הניצבים שמצאנו במשפט פיתגורס למצוא את אורך היתר – צלע המעוין:
AO^2 + BO^2 = AB^2
AO*multi^2 + BO*multi^2 = AB^2
AO*AO*multi*multi + BO*BO*multi*multi = AB^2
AO*AO*multi*multi+BO*BO*multi*multi = AB^2
AB*multi = AB
label([bx/2+1,by],"\\color{red}{"+AB*multi+"}","above")

אורך צלע המעוין הוא AB*multi ס"מ.

כל הצלעות במעוין שוות ולכן גם שאר הצלעות שוות ל- AB*multi ס"מ.

היקף מעוין שווה לסכום ארבעת הצלעות:
= AB+BC+CD+ADהיקף
= AB*multi+AB*multi+AB*multi+AB*multiהיקף
label([cx/2,cy],"\\color{red}{"+AB*multi+"}","below"),label([bx-.4,by/2],"\\color{red}{"+AB*multi+"}"),label([ax-1.1,ay/2],"\\color{red}{"+AB*multi+"}","left")

היקף המעוין שווה ל- AB*multi*4 ס"מ

אתם צופים בבעיה. כדי לעבוד על בעיות מסוג זה, התחילו תרגיל זה.
צריכים עזרה? בקשו רמז.