GetNumbers(1)

פתרו את המשוואה הבאה בעזרת שיטת ההצבה:

(fx)^2 + b\cdot fx + c = 0

x1 x2
x2 x1

X_1 =
X_2 =

ניתן לפתור את המשוואה בעזרת פישוט הביטוי ונוסחת השורשים אך יש דרך נוספת לפתרון – הצבת ביטוי אלגברי במקום x.

במשוואה הנתונה אפשר לראות כי הביטוי fx חוזר על עצמו פעמיים ולכן אפשר להציב ביטוי חדש במקום fx.

+ c = 0fx)^2 + b\cdot fx(

נגדיר t=fx

כעת נרשום את המשוואה מחדש כאשר נרשום t בכל פעם שמופיע fx:

t^2+bt+c=0

את המשוואה ניתן לפרק לגורמים לפי טרינום:

(t+-t1)(t+-t2)=0

t_1=t1

t_2=t2

לאחר שמצאנו את הפתרונות עבור t, נציב בחזרה fx במקום t עבור הפתרונות:

t_1=fx=t1

x_1=x1

t_2=fx=t2

x_2=x2

פתרונות המשוואה הם x1, x2.

GetNumbers(2)

פתרו את המשוואה הבאה בעזרת שיטת ההצבה:

(fx + g)^2 + b*fx + b*g + c = 0

x1 x2
x2 x1

X_1 =
X_2 =

ניתן לפתור את המשוואה בעזרת פישוט הביטוי ונוסחת השורשים אך יש דרך נוספת לפתרון – הצבת ביטוי אלגברי במקום x.

אם נוציא גורם משותף b- מ b*fx+b*g נקבל את אותו הביטוי שמופיע בתוך הסוגריים:

) + c = 0fx + g)^2 + b\cdot (fx + g(

נגדיר t=fx + g

כעת נרשום את המשוואה מחדש כאשר נרשום t בכל פעם שמופיע fx + g:

t^2+bt+c=0

את המשוואה ניתן לפרק לגורמים לפי טרינום:

(t+-t1)(t+-t2)=0

t_1=t1

t_2=t2

לאחר שמצאנו את הפתרונות עבור t, נציב בחזרה fx + g במקום t עבור הפתרונות:

t_1=fx + g=t1

fx + g=t1

fx=t1-g

x_1=t1-g\divf = x1

t_2=fx + g=t2

fx + g=t2

fx=t2-g

x_2=t2-g\divf = x2

פתרונות המשוואה הם x1, x2.

GetNumbers(3)

פתרו את המשוואה הבאה בעזרת שיטת ההצבה:

x^4 + bx^2 + c = 0

x11 x12 x21 x22
x11 x12 x22 x21
x12 x11 x21 x22
x12 x11 x22 x21
x21 x22 x11 x12
x21 x22 x12 x11
x22 x21 x11 x12
x22 x21 x12 x11

{X_1}_1 =

{X_1}_2 =

------------------------------------

{X_2}_1 =

{X_2}_2 =

משוואה זו מכילה חזקה רביעית שלא ניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים.

את x^4 ניתן לפרק לפי חוקי החזקות ל- (x^2)^2 (חזקה על חזקה שווה למכפלת החזקות).

כלומר, ניתן לרשום את המשוואה מחדש:

+ c = 0x^2)^2 + b\cdot x^2(

כעת אנחנו מזהים ביטוי שחוזר על עצמו – x^2 וניתן להציב ביטוי חדש במקומו.

נגדיר t=x^2

כעת נרשום את המשוואה מחדש כאשר נרשום t בכל פעם שמופיע x^2:

t^2+bt+c=0

את המשוואה ניתן לפרק לגורמים לפי טרינום:

(t+-t1)(t+-t2)=0

t_1=t1

t_2=t2

לאחר שמצאנו את הפתרונות עבור t, נציב בחזרה x^2 במקום t עבור הפתרונות:

t_1=x^2=t1

x^2=t1

x_1=\pmx11

t_2=x^2=t2

x^2=t2

x_2=\pmx21

פתרונות המשוואה הם x11, x12, x21, x22.

אתם צופים בבעיה. כדי לעבוד על בעיות מסוג זה, התחילו תרגיל זה.
צריכים עזרה? בקשו רמז.