[0,4] [7,4] [7,0] [0,0]

האם המרובע הנתון הוא בוודאות מלבן?

אם לא, סמנו מה התכונה החסרה על מנת שהמרובע יהיה מלבן.

init({range:[[-2,9],[-2,6]],scale:[30,30]}),style({stroke:BLUE},function(){path([[Ax,Ay],[Bx,By],[Cx,Cy],[Dx,Dy],[Ax,Ay]]),path([[Ax-.2,Ay*.5],[Ax+.2,Ay*.5]]),path([[Ax-.2,Ay*.55],[Ax+.2,Ay*.55]]),path([[Bx-.2,By*.5],[Bx+.2,By*.5]]),path([[Bx-.2,By*.55],[Bx+.2,By*.55]]),path([[Bx*.5,By+.2],[Bx*.5,By-.2]]),path([[Bx*.5,Cy+.2],[Bx*.5,Cy-.2]]),label([Ax,Ay],"A","left"),label([Bx,By],"B","right"),label([Cx,Cy],"C","right"),label([Dx,Dy],"D","left")})

\angle B=90 :תכונה חסרה

  • AB=DC :תכונה חסרה
  • AD=BC :תכונה חסרה
  • המרובע הוא מלבן

בסרטוט הנתון יש שני זוגות של צלעות נגדיות שוות ולכן זוהי מקבילית אך אין מספיק מידע כדי להגדיר את המקבילית בתור מלבן.

חסר נתון לגבי הזווית – מקבילית עם זווית ישרה היא מלבן.

[0,4] [7,4] [7,0] [0,0]

האם המרובע הנתון הוא בוודאות מלבן?

אם לא, סמנו מה התכונה החסרה על מנת שהמרובע יהיה מלבן.

init({range:[[-2,9],[-2,6]],scale:[30,30]}),style({stroke:BLUE},function(){path([[Ax,Ay],[Bx,By],[Cx,Cy],[Dx,Dy],[Ax,Ay],[Cx,Cy],[Bx,By],[Dx,Dy]]),path([[Bx*.75-.2,By*.75+.2],[Bx*.75+.2,By*.75-.2]]),path([[Bx*.78-.2,By*.78+.2],[Bx*.78+.2,By*.78-.2]]),path([[Bx*.25-.2,By*.25+.2],[Bx*.25+.2,By*.25-.2]]),path([[Bx*.28-.2,By*.28+.2],[Bx*.28+.2,By*.28-.2]]),path([[Bx*.25+.2,By*.75+.2],[Bx*.25-.2,By*.75-.2]]),path([[Bx*.75+.2,By*.25+.2],[Bx*.75-.2,By*.25-.2]]),path([[Ax+.7,Ay],[Ax+.7,Ay-.7],[Ax,Ay-.7]],{stroke:ORANGE}),label([Ax,Ay],"A","left"),label([Bx,By],"B","right"),label([Cx,Cy],"C","right"),label([Dx,Dy],"D","left")})

המרובע הוא מלבן

  • AB=DC :תכונה חסרה
  • AD=BC :תכונה חסרה
  • \angle B=90 :תכונה חסרה

במרובע הנתון האלכסונים חוצים זה את זה ולכן הוא מקבילית. מקבילית עם זווית ישרה היא מלבן.

[0,4] [7,4] [7,0] [0,0]

האם המרובע הנתון הוא בוודאות מלבן?

אם לא, סמנו מה התכונה החסרה על מנת שהמרובע יהיה מלבן.

init({range:[[-2,9],[-2,6]],scale:[30,30]}),style({stroke:BLUE},function(){path([[Dx,Dy],[Ax,Ay],[Bx,By],[Cx,Cy],[Dx,Dy],[Bx,By],[Cx,Cy],[Bx*.5,By*.5]]),path([[Ax+.7,Ay],[Ax+.7,Ay-.7],[Ax,Ay-.7]],{stroke:ORANGE}),path([[Bx*.75-.2,By*.75+.2],[Bx*.75+.2,By*.75-.2]]),path([[Bx*.25-.2,By*.25+.2],[Bx*.25+.2,By*.25-.2]]),path([[Bx*.75+.2,By*.25+.2],[Bx*.75-.2,By*.25-.2]]),label([Ax,Ay],"A","left"),label([Bx,By],"B","right"),label([Cx,Cy],"C","right"),label([Dx,Dy],"D","left"),label([Bx/2,By/2],"O","below")})

\angle B=90 :תכונה חסרה

  • AB=DC :תכונה חסרה
  • AD=BC :תכונה חסרה
  • המרובע הוא מלבן

אם נבחן את משולש BCD נראה כי במשולש התיכון לצלע שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה ולכן זהו משולש ישר זווית, כלומר זווית \angle C שווה ל- 90^\circ מעלות.

לא ידוע לנו שהמרובע הוא מקבילית, לכן כדי להוכיח שהוא מלבן צריך לפחות שלוש זוויות ישרות ולכן אם גם זווית \angle B תהיה ישרה, אזי המרובע הנ"ל הוא מלבן.

[0,4] [7,4] [7,0] [0,0] [4.5,6] [9,1] [1.5,-2] [-2,3]

האם המרובע הנתון הוא בוודאות מלבן?

אם לא, סמנו מה התכונה החסרה על מנת שהמרובע יהיה מלבן.

init({range:[[-3,10],[-3,7]],scale:[30,30]}),style({stroke:BLUE},function(){path([[Ax,Ay],[Bx,By],[Cx,Cy],[Dx,Dy],[Ax,Ay]]),path([[Ex,Ey],[Gx,Gy]]),path([[Fx,Fy],[Hx,Hy]]),arc([Ax+3.8,Ay],1.25,0,70,{stroke:BLUE}),arc([Dx+2.2,Dy],1.25,0,70,{stroke:BLUE}),arc([Ax,Ay*.65],1.35,270,350,{stroke:BLUE}),arc([Bx,By*.35],1.45,90,170,{stroke:BLUE}),arc([Bx*.43,By*.52],1.15,68,170,{stroke:BLUE}),label([Ax,Ay],"A","left"),label([Bx,By],"B","right"),label([Cx,Cy],"C","right"),label([Dx,Dy],"D","left"),label([Ax+4.35,Ay-.2],"60","above"),label([Dx+2.9,Dy-.2],"60","above"),label([Ax,Ay*.5],"80","right"),label([Bx,By*.5],"80","left"),label([Bx*.48,By*.65],"110","left")})

המרובע הוא מלבן

  • AB=DC :תכונה חסרה
  • AD=BC :תכונה חסרה
  • \angle B=90 :תכונה חסרה

ניתן לחשב את כל זוויות המרובע בעזרת הזוויות הנתונות ע"י חישוב זוויות קודקודיות, זוויות סמוכות, זוויות צמודות וסכום זוויות במרובע:

label([Bx*.45,Ay+.2],"60","below",{color:RED}),label([Bx*.4,By*.39],"110","right",{color:RED})
label([Bx*.63,Ay+.2],"120","below",{color:ORANGE}),label([Cx*.25,Cy-.2],"120","above",{color:ORANGE}),label([Ax,Ay*.71],"100","right",{color:ORANGE}),label([Bx,By*.27],"100","left",{color:ORANGE}),label([Bx*.4,By*.43],"70","left",{color:ORANGE}),label([Bx*.45,By*.57],"70","right",{color:ORANGE})
label([Ax+.5,Ay+.2],"90","below",{color:GREEN}),label([Bx-.5,By+.2],"90","below",{color:GREEN}),label([Cx-.5,Cy-.3],"90","above",{color:GREEN}),label([Dx+.5,Dy-.3],"90","above",{color:GREEN})

קיבלנו מרובע עם ארבע זוויות ישרות ולכן הוא מלבן.

למעשה, יכולנו לעצור אחרי שמצאנו שלוש זוויות ישרות כתנאי מספיק למלבן.

[0,5] [7,5] [7,0] [0,0]

האם המרובע הנתון הוא בוודאות מלבן?

אם לא, סמנו מה התכונה החסרה על מנת שהמרובע יהיה מלבן.

נתון: AB||CD
init({range:[[-2,9],[-2,7]],scale:[30,30]}),style({stroke:BLUE},function(){path([[Ax,Ay],[Bx,By],[Cx,Cy],[Dx,Dy],[Ax,Ay],[Cx,Cy],[Dx,Dy],[Bx,By]]),path([[Ax-.2,Ay*.5],[Ax+.2,Ay*.5]]),path([[Bx-.2,By*.5],[Bx+.2,By*.5]]),arc([Ax,Ay],1.45,270,325,{stroke:BLUE}),arc([Bx,By],1.45,215,270,{stroke:BLUE}),arc([Cx,Cy],1.45,90,145,{stroke:BLUE}),arc([Dx,Dy],1.45,35,90,{stroke:BLUE}),label([Ax,Ay],"A","left"),label([Bx,By],"B","right"),label([Cx,Cy],"C","right"),label([Dx,Dy],"D","left"),label([Bx/2,By/2],"O","above"),label([Ax,Ay-.9],"50","right"),label([Bx,By-.9],"50","left"),label([Cx,Cy+.9],"50","left"),label([Dx,Dy+.9],"50","right")})

המרובע הוא מלבן

  • AB=DC :תכונה חסרה
  • AD=BC :תכונה חסרה
  • \angle B=90 :תכונה חסרה

שני המשולשים BCO ו- AOD הם משולשים חופפים לפי משפט זצ"ז.

בנוסף, מדובר על משולשים שווי-שוקיים ולכן AO=BO=CO=DO .

מכאן ניתן לראות כי האלכסונים חוצים זה את זה ושווים זה לזה.

מרובע שאלכסוניו חוצים הוא מקבילית ומקבילית שאלכסוניה שווים היא מלבן.

[0,5] [8,5] [8,0] [0,0]

א. האם המרובע הנתון הוא בוודאות מלבן?

ב. אם לא, סמנו מה התכונה החסרה על מנת שהמרובע יהיה מלבן.

init({range:[[-2,10],[-2,7]],scale:[30,30]}),style({stroke:BLUE},function(){path([[Ax,Ay],[Bx,By],[Cx,Cy],[Dx,Dy],[Ax,Ay],[Cx,Cy],[Dx,Dy],[Bx,By]]),path([[Bx*.75-.2,By*.75+.2],[Bx*.75+.2,By*.75-.2]]),path([[Bx*.78-.2,By*.78+.2],[Bx*.78+.2,By*.78-.2]]),path([[Bx*.25-.2,By*.25+.2],[Bx*.25+.2,By*.25-.2]]),path([[Bx*.28-.2,By*.28+.2],[Bx*.28+.2,By*.28-.2]]),path([[Bx*.25+.2,By*.75+.2],[Bx*.25-.2,By*.75-.2]]),path([[Bx*.75+.2,By*.25+.2],[Bx*.75-.2,By*.25-.2]]),arc([Ax,Ay],1.45,270,330,{stroke:BLUE}),arc([Ax,Ay],1.6,270,330,{stroke:BLUE}),arc([Bx,By],1.45,210,270,{stroke:BLUE}),arc([Cx,Cy],1.45,90,150,{stroke:BLUE}),arc([Cx,Cy],1.6,90,150,{stroke:BLUE}),arc([Dx,Dy],1.45,30,90,{stroke:BLUE}),label([Ax,Ay],"A","left"),label([Bx,By],"B","right"),label([Cx,Cy],"C","right"),label([Dx,Dy],"D","left"),label([Bx*.5,By*.5],"O","above")})

\angle B=90 :תכונה חסרה

  • AB=DC :תכונה חסרה
  • AD=BC :תכונה חסרה
  • המרובע הוא מלבן

במרובע הנ"ל האלכסונים חוצים זה את זה ולכן זוהי מקבילית, אך לא בהכרח מלבן.

הזוויות השוות הן זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים ונתון זה מעיד על כך שהמרובע הוא מקבילית, אך לא בהכרח מלבן.

מקבילית שכל הזוויות בה ישרות היא מלבן ולכן נתון זה חסר לנו על מנת לקבוע שהמרובע הוא מלבן.

\angle B=90^\circ

אתם צופים בבעיה. כדי לעבוד על בעיות מסוג זה, התחילו תרגיל זה.
צריכים עזרה? בקשו רמז.