randRange(2,3) randRange(1,3) randRange(1,7) A*B*B+D


כמה פתרונות קיימים למשוואה הנתונה?

כתבו את הפתרונות של המשוואה.

Ax^2+D=C

בתום השאלה תוכלו לצפות בפתרון הגרפי דרך הצג פתרון

2 B -B
2 -B B

?כמה פתרונות קיימים למשוואה

.במידה וקיים פתרון בודד רשמו אותו בתיבה העליונה

x_1=
x_2=

את המשוואה הזו ניתן לפתור בשתי דרכים – בדרך האלגברית ובדרך הגרפית.

בדרך האלגברית נאפס בשלב הראשוני את אחד האגפים ולכן נחסיר C משניהם:

-CAx^2+D=C/
Ax^2+D-C=0

כעת נוציא גורם משותף A:

(x^2-B*B)=0A

אם נהפוך את B ל- B^2 נוכל לראות כי בתוך הסוגריים יש לנו נוסחת כפל מקוצר עבור הפרש הריבועים - a^2-b^2=(a+b)\cdot(a-b)

נפרק את הסוגריים בהתאם:

A(x^2-B^2)=A\cdot(x+B)\cdot(x-B)=0

במכפלה בין גורמים ששווה אפס, כל אחד מהגורמים יכול להיות שווה לאפס:

(x+B)=0
x=-B
(x-B)=0
x=B

כלומר למשוואה יש שני פתרונות: x_1=B, x_2=-B.

בדרך הגרפית נסתכל על שני האגפים בתור פונקציות: y=Ax^2+D היא פונקציה ריבועית ו-y=C היא פונקציה קווית קבועה.

graphInit({range:[[-11,11],[Math.min(C,D,0)-5,Math.max(C,D,0)+6]],scale:20,axisArrows:"<->",tickStep:1,labelStep:2,gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),label([0,Math.max(C,D)+6],"y","above"),label([11,0],"x","right"),label([B,D+1],"y="+A+" x^2 + "+D,"right",{color:RED}),label([6,C-.2],"y="+C,"above",{color:BLUE}),style({stroke:"red",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return A*pow(e,2)+D},[-11,11]),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return C},[-11,11]),style({stroke:"blue"})

ניתן לראות כי לפונקציות יש שתי נקודות חיתוך. נקודות חיתוך אלו מציינות את הפתרונות של המשוואה – מתי Ax^2+D שווה ל-C?

הפונקציות נחתכות בנקודות x=B ו-x=-B ולכן אלו פתרונות המשוואה.

style({stroke:"green",strokeWidth:2,strokeDasharray:"- "}),path([[B,0],[B,C]]),path([[-B,0],[-B,C]]),style({stroke:"green",strokeWidth:3,strokeDasharray:""}),path([[B-.3,C-.3],[B+.3,C+.3]]),path([[B-.3,C+.3],[B+.3,C-.3]]),path([[-B-.3,C-.3],[-B+.3,C+.3]]),path([[-B-.3,C+.3],[-B+.3,C-.3]])

פתרונות המשוואה הם x_1=B, x_2=-B.

randRangeNonZero(2,4) randRangeNonZero(2,7)

כמה פתרונות קיימים למשוואה הנתונה?

כתבו את הפתרונות של המשוואה.

Ax^2+B=B

בתום השאלה תוכלו לצפות בפתרון הגרפי דרך הצג פתרון

1 0

?כמה פתרונות קיימים למשוואה

.במידה וקיים פתרון בודד רשמו אותו בתיבה העליונה

x_1=
x_2=

את המשוואה הזו ניתן לפתור בשתי דרכים – בדרך האלגברית ובדרך הגרפית.

בדרך האלגברית נאפס בשלב הראשוני את אחד האגפים ולכן נחסיר B משניהם:

-BAx^2+B=B/
Ax^2=0

כעת נחלק את שני האגפים ב-A כדי לבודד את הנעלם:

/:AAx^2=0
x^2=0

נוציא שורש ריבועי משני האגפים:

x_1=\sqrt{0}=0
x_2=-\sqrt{0}=-0=0

כלומר למשוואה יש פתרון אחד בלבד- x=0.

בדרך הגרפית נסתכל על שני האגפים בתור פונקציות: y=Ax^2+B היא פונקציה ריבועית ו-y=B היא פונקציה קווית קבועה.

graphInit({range:[[-11,11],[-5,B+10]],scale:20,axisArrows:"<->",tickStep:1,labelStep:2,gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),label([0,B+10],"y","above"),label([11,0],"x","right"),label([2/A,B+2],"y="+A+" x^2 + "+B,"right",{color:RED}),label([-5,B-.2],"y="+B,"above",{color:BLUE}),style({stroke:"red",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return A*pow(e,2)+B},[-11,11]),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return B},[-11,11]),style({stroke:"blue"})

ניתן לראות כי לפונקציות יש נקודת חיתוך אחת בלבד. נקודת חיתוך זו מציינת את הפתרון של המשוואה – מתי Ax^2+B שווה ל-B?

הפונקציות נחתכות בנקודה x=0 ולכן זה פתרון המשוואה.

style({stroke:"green",strokeWidth:3,strokeDasharray:""}),path([[-0.3,B-.3],[.3,B+.3]]),path([[-0.3,B+.3],[.3,B-.3]]),style({stroke:"green",strokeWidth:3,strokeDasharray:"- "}),path([[0,0],[0,B]])

פתרון המשוואה הוא x=0.

randRange(2,4) randRange(3,8) randRange(2,7)

כמה פתרונות קיימים למשוואה הנתונה?

כתבו את הפתרונות של המשוואה.

Ax^2+B=-C

בתום השאלה תוכלו לצפות בפתרון הגרפי דרך הצג פתרון

0

?כמה פתרונות קיימים למשוואה

.במידה וקיים פתרון בודד רשמו אותו בתיבה העליונה

x_1=
x_2=

את המשוואה הזו ניתן לפתור בשתי דרכים – בדרך האלגברית ובדרך הגרפית.

בדרך האלגברית נבודד בשלב הראשון את הנעלם ולכן נחסיר B משני אגפי המשוואה:

-BAx^2+B=-C/
Ax^2=-C-B

נחלק את שני האגפים ב-A כדי לבודד את הנעלם:

:AAx^2=-C-B/
x^2=(-C-B)/A

כעת נוציא שורש ריבועי משני האגפים:

x_1=\sqrt{(-C-B)/A}
x_2=-\sqrt{(-C-B)/A}

למספר שלילי אין שורש ולכן אין למשוואה פתרון.

בדרך הגרפית נסתכל על שני האגפים בתור פונקציות: y=Ax^2+B היא פונקציה ריבועית ו-y=-C היא פונקציה קווית קבועה.

graphInit({range:[[-11,11],[-C-5,B+8]],scale:20,axisArrows:"<->",tickStep:1,labelStep:2,gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),label([0,B+8],"y","above"),label([11,0],"x","right"),label([1,B+2],"y="+A+" x^2 + "+B,"right",{color:RED}),label([6,-C-.2],"y=-"+C,"above",{color:BLUE}),style({stroke:"red",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return A*pow(e,2)+B},[-11,11]),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return-C},[-11,11]),style({stroke:"blue"})

ניתן לראות כי אין נקודת חיתוך בין שתי הפונקציות ולכן אין פתרון למשוואה.

אין פתרון למשוואה.

אתם צופים בבעיה. כדי לעבוד על בעיות מסוג זה, התחילו תרגיל זה.
צריכים עזרה? בקשו רמז.