randRangeNonZero(-20,20) randRangeNonZero(-20,20) randRangeNonZero(-20,20) 0 1 -b/(2*a) round(x*100)/100 fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(x,.001)) a*pow(x,2)+b*x+c round(y*100)/100 2*a>0?min:max round(x-1) round(x+1) c pow(b,2)-4*a*c (-b+sqrt(delta))/(2*a) round(x1y0*100)/100 (-b-sqrt(delta))/(2*a) round(x2y0*100)/100 "X לכל" xMinMax===min?"X > "+rX:"X < "+rX xMinMax===min?"X < "+rX:"X > "+rX xMinMax===min?x>0?["below","left","right","left"]:["below","right","right","left"]:x>0?["above","left","left","right"]:["above","right","left","right"]

חקרו את הפונקציה f(x)=coefficientFix(a)x^2 + coefficientFix(b)x + c על פי הסעיפים הבאים:

א. תחום הגדרה
ב. נקודות קיצון
ג. תחומי עלייה
ד. תחומי ירידה
ה. נקודות חיתוך עם ציר Y
ו. נקודות חיתוך עם ציר X
ז. שרטוט גרף הפונקציה

definition rX rY raise fall yx0 rX1Y0 rX2Y0
definition rX rY raise fall yx0 rX2Y0 rX1Y0

א. תחום הגדרה

( , ) ב. נקודות קיצון

ג. תחומי עלייה

ד. תחומי ירידה

Y ה. נקודות חיתוך עם ציר
( 0 , )

X ו. נקודות חיתוך עם ציר
( , 0 )
( , 0 )

תחום הגדרה:
הפונקציה היא פולינומית ולכן תחום ההגדרה שלה הוא עבור כל X.
תחום ההגדרה באה ליד ביטוי רק אם יש X במכנה או תחת שורש.
לכל X

נקודות קיצון:
את נקודות הקיצון של הפונקציה ניתן למצוא בעזרת גזירת הפונקיה והשוואת הנגזרת לאפס:

f(x)=coefficientFix(a)x^2 + coefficientFix(b)x + c

f'(x)= 2 \cdot negParens(a) \cdot x + b

2*ax + b = 0

2*ax = -b

x = rX

x = PRETTY_X = rX

נמצא את ערך Y של הנקודה:

f(x)=coefficientFix(a)x^2 + coefficientFix(b)x + c

f(rX)=a \cdot negParens(rX)^2 + coefficientFix(b) \cdot negParens(rX) + c = round(a*pow(x,2)*100)/100 + round(b*x*100)/100 + c = rY

f(PRETTY_X)=a \cdot (PRETTY_X)^2 + coefficientFix(b) \cdot (PRETTY_X) + c = roundTo(3,a*pow(x,2)) + roundTo(3,b*x) + c = rY

נקודת הקיצון היא (rX,rY)

את סוג הנקודה ניתן לסווג לפי נגזרת שנייה או לפי בדיקת ערכי הנגזרת בסביבה:

[נגזרת שנייה]

נגזור את הפונקציה פעם נוספת ונציב את ערך הנקודה:

f'(x)= 2*a x + b

f''(x)=2*a

הנגזרת השנייה חיובית לכל X ולכן נקודת הקיצון היא מינימלית.

הנגזרת השנייה שלילית לכל X ולכן נקודת הקיצון היא מקסימלית .

[בדיקת ערכים]

נבדוק את ערך הנגזרת לפני ואחרי נקודת הקיצון:

f'(xMinus1)= 2*a \cdot negParens(xMinus1) + b = 2*a*xMinus1 + b = 2*a*xMinus1+b

f'(xPlus1)= 2*a \cdot negParens(xPlus1) + b = 2*a*xPlus1 + b = 2*a*xPlus1+b

הנגזרת שלילית (הפונקציה יורדת) לפני הנקודה וחיובית אחרי הנקודה ולכן נקודת הקיצון היא מינימלית.

הנגזרת חיובית (הפונקציה עולה) לפני הנקודה ושלילית אחרי הנקודה לכן נקודת הקיצון היא מקסימלית.

תחומי עלייה וירידה:
מצאנו שנקודת הקיצון שלנו היא מינימלית.
המשמעות היא שהפונקציה יורדת עד לאותה נקודה ועולה מהנקודה והלאה.

תחומי עלייה וירידה:
מצאנו שנקודת הקיצון שלנו היא מקסימלית.
המשמעות היא שהפונקציה עולה עד לאותה נקודה ויורדת מהנקודה והלאה.

יש לנו נקודת קיצון אחד בלבד ולכן תחום אחד עבור עלייה ותחום אחד עבור ירידה:

תחום עלייה – x > rX

תחום עלייה – x < rX

תחום ירידה – x < rX

תחום ירידה – x > rX

נקודות חיתוך עם הצירים:
חיתוך עם ציר Y אפשר לחשב בעזרת הצבת x=0 בפונקציה:

f(x)=coefficientFix(a)x^2 + coefficientFix(b)x + c

f(0)=a \cdot (0)^2 + coefficientFix(b) \cdot (0) + c = yx0

(0,yx0)

חיתוך עם ציר X אפשר לחשב על ידי השוואת הפונקציה לאפס:

f(x)=coefficientFix(a)x^2 + coefficientFix(b)x + c = 0

[פתרון בעזרת נוסחת השורשים]

x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x_{1,2} = \frac{-negParens(b)\pm\sqrt{negParens(b)^2-4 \cdot negParens(a) \cdot negParens(c)}}{2 \cdot negParens(a)}

x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{pow(b,2) - negParens(4*a*c) }}{2*a}

x_{1,2} = \frac{-b\pmround(sqrt(pow(b,2)-4*a*c)*100)/100}{2*a}

x_1 = \frac{-b + round(sqrt(pow(b,2)-4*a*c)*100)/100}{2*a} = rX1Y0

x_2 = \frac{-b - round(sqrt(pow(b,2)-4*a*c)*100)/100}{2*a} = rX2Y0

X_{1,2} = rX1Y0, rX2Y0

( rX1Y0, 0 ) , ( rX2Y0 , 0 )

var rngTop=y>0?y+5:5,rngBottom=y>0?-5:y-5,maxX=x1y0>x2y0?x1y0+3:x2y0+3,minX=x1y0<x2y0?x1y0-3:x2y0-3;graphInit({range:[[minX,maxX],[rngBottom,rngTop]],scale:15,axisArrows:"<->",tickStep:2,labelStep:2,gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,yAxisOpacity:1,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return a*pow(e,2)+b*e+c},[minX,maxX]),style({stroke:"red",fill:"red"}),circle([x,y],.1),label([x,y],"("+rX+","+rY+")",labelLocation[0]),circle([0,yx0],.1),label([0,yx0],"( 0, "+yx0+")",labelLocation[1]),circle([x1y0,0],.1),label([x1y0,1],"("+rX1Y0+",0)",labelLocation[2]),circle([x2y0,0],.1),label([x2y0,1],"("+rX2Y0+",0)",labelLocation[3])
randRangeNonZero(0,20) randRangeNonZero(0,10) randRangeNonZero(-10,10) randRangeNonZero(-10,10) 0 1 2 "X לכל" -1*rootB*B/(rootA*A) round(tromX*100)/100 fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(tromX,.001)) rootA-1-(rootB-1) Math.pow(tromX,1/rootX) round(X*100)/100 0 0 (rootA-1)*rootA*A*pow(X1,rootA-2)+(rootB-1)*rootB*B*pow(X1,rootB-2) round(X11*100)/100 X11===0?minMax:X11>0?min:max X11===0?"":X11>0?"> 0":"< 0" Math.pow(tromX,1/rootX) round(X2*100)/100 A*pow(X2,rootA)+B*pow(X2,rootB) round(Y2*100)/100 (rootA-1)*rootA*A*pow(X2,rootA-2)+(rootB-1)*rootB*B*pow(X2,rootB-2) round(X22*100)/100 X22===0?minMax:X22>0?min:max X22===0?"":X22>0?"> 0":"< 0" -1*Math.pow(tromX,1/rootX) round(X3*100)/100 A*pow(X3,rootA)+B*pow(X3,rootB) round(Y3*100)/100 (rootA-1)*rootA*A*pow(X3,rootA-2)+(rootB-1)*rootB*B*pow(X3,rootB-2) round(X33*100)/100 X33===0?minMax:X33>0?min:max X33===0?"":X33>0?"> 0":"< 0" [X2+1,X2,(X2+X1)/2,X1,(X1+X3)/2,X3,X3-1] calcFirstDevFunc2(listOfX,rootA,A,rootB,B) calcUpDownMinMaxFunc2(listOfFirstDev,listOfX,rootA,A,rootB,B) A*pow(0,rootA)+B*pow(0,rootB) Math.pow(-B/A,1/(rootA-rootB)) Math.round(xy0*100)/100 -1*B/A fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(tromX23Y0,.001)) 0 rXY0 -1*rXY0 X2minMax===min?rX3+" < X < "+X1+" , "+rX2+" < X":"X < "+rX3+" , "+X1+" < X < "+rX2 X2minMax===min?rX3Y0+" < X < "+X1+" , "+rX2Y0+" < X":"X < "+rX3Y0+" , "+X1+" < X < "+rX2Y0 X2minMax===min?"X < "+rX3+" , "+X1+" < X < "+rX2:rX3+" < X < "+X1+" , "+rX2+" < X" X2minMax===min?"X < "+rX3Y0+" , "+X1+" < X < "+rX2Y0:rX3Y0+" < X < "+X1+" , "+rX2Y0+" < X"

חקרו את הפונקציה f(x)= coefficientFix(A)x^{rootA} + coefficientFix(B)x^{rootB} על פי הסעיפים הבאים:

א. תחום הגדרה
ב. נקודות קיצון
ג. תחומי עלייה
ד. תחומי ירידה
ה. נקודות חיתוך עם ציר Y
ו. נקודות חיתוך עם ציר X
ז. שרטוט גרף הפונקציה

definition

א. תחום הגדרה

X1 Y1 rX2 rY2 rX3 rY3
X1 Y1 rX3 rY3 rX2 rY2

ב. נקודות קיצון
( , )
( , )
( , )

upRange1 donwRange1 yx0

ג. תחומי עלייה

ד. תחומי ירידה

Y ה. נקודות חיתוך עם ציר
( 0 , )

rX1Y0 rX2Y0 rX3Y0
rX1Y0 rX3Y0 rX2Y0

X ו. נקודות חיתוך עם ציר
( , 0 )
( , 0 )
( , 0 )

תחום הגדרה:
הפונקציה היא פולינומית ולכן תחום ההגדרה שלה הוא עבור כל X.
תחום ההגדרה באה ליד ביטוי רק אם יש X במכנה או תחת שורש.
לכל X

נקודות קיצון:
את נקודות הקיצון של הפונקציה ניתן למצוא בעזרת גזירת הפונקיה והשוואת הנגזרת לאפס:

f(x)= coefficientFix(A)x^{rootA}+coefficientFix(B)x^{rootB}

f'(x)= rootA \cdot negParens(A)x^{rootA-1}+rootB \cdot negParens(B)x^{rootB-1}

f'(x)= rootA*Ax^{rootA-1} + rootB*Bx^{rootB-1}

rootA*Ax^{rootA-1} + rootB*Bx^{rootB-1} = 0

x^{rootB-1} ( rootA*Ax^{rootA-1-(rootB-1)} + rootB*B) = 0

x_1 = 0

rootA*Ax^{rootA-1-(rootB-1)} + rootB*B= 0

rootA*Ax^{rootA-1-(rootB-1)} = -1*rootB*B / : rootA*A

x^{rootX} = PRETTY_tromX / \sqrt[rootX]{}

x = \pm\sqrt[rootX]{PRETTY_tromX} = \pmrX

נמצא את ערך Y של הנקודות:

f(0) = A \cdot (0)^{rootA}+B \cdot (0)^{rootB} = 0

(0, 0)

f(rX2)= f(\sqrt[rootX]{PRETTY_tromX}) = A \cdot (\sqrt[rootX]{PRETTY_tromX})^{rootA}+B \cdot (\sqrt[rootX]{PRETTY_tromX})^{rootB} = roundTo(3,A*pow(X2,rootA)) + roundTo(3,B*pow(X2,rootB)) = rY2

(rX2, rY2)

f(rX3)= f(-\sqrt[rootX]{PRETTY_tromX}) = A \cdot (-\sqrt[rootX]{PRETTY_tromX})^{rootA}+B \cdot (-\sqrt[rootX]{PRETTY_tromX})^{rootB} = roundTo(3,A*pow(X3,rootA)) + roundTo(3,B*pow(X3,rootB)) = rY3

(rX3, rY3)

את סוג הנקודה ניתן לסווג לפי נגזרת שנייה או לפי בדיקת ערכי הנגזרת בסביבה:

[נגזרת שנייה]

נגזור את הפונקציה פעם נוספת ונציב את ערך הנקודה:

f'(x)= rootA*Ax^{rootA-1} + rootB*Bx^{rootB-1}

f''(x)= rootA-1 \cdot negParens(rootA*A)x^{rootA-2} + rootB-1 \cdot negParens(rootB*B)x^{rootB-2} = (rootA-1)*rootA*Ax^{rootA-2} + (rootB-1)*rootB*Bx^{rootB-2}

f''(X1)= (rootA-1)*rootA*A \cdot (X1)^{rootA-2} + (rootB-1)*rootB*B \cdot (X1)^{rootB-2} = rX11 X1gtlt

לא ניתן לסווג לפי הנגזרת השנייה

נקודת מינימום

נקודת מקסימום

f''(rX2)= (rootA-1)*rootA*A \cdot (rX2)^{rootA-2} + (rootB-1)*rootB*B \cdot (rX2)^{rootB-2} = rX22 X2gtlt

לא ניתן לסווג לפי הנגזרת השנייה

נקודת מינימום

נקודת מקסימום

f''(rX3)= (rootA-1)*rootA*A \cdot (rX3)^{rootA-2} + (rootB-1)*rootB*B \cdot (rX3)^{rootB-2} = rX33 X3gtlt

לא ניתן לסווג לפי הנגזרת השנייה

נקודת מינימום

נקודת מקסימום

[בדיקת ערכים]

נבדוק את ערך הנגזרת לפני ואחרי נקודת הקיצון:

X round(listOfX[0]*100)/100 round(listOfX[1]*100)/100 round(listOfX[2]*100)/100 round(listOfX[3]*100)/100 round(listOfX[4]*100)/100 round(listOfX[5]*100)/100 round(listOfX[6]*100)/100
f'(x) round(listOfFirstDev[0]*100)/100 round(listOfFirstDev[1]*100)/100 round(listOfFirstDev[2]*100)/100 round(listOfFirstDev[3]*100)/100 round(listOfFirstDev[4]*100)/100 round(listOfFirstDev[5]*100)/100 round(listOfFirstDev[6]*100)/100
סיווג listUpDown[0] listUpDown[1] listUpDown[2] listUpDown[3] listUpDown[4] listUpDown[5] listUpDown[6]

תחומי עלייה וירידה:
יש לנו 3 נקודות קיצון. תחומי עלייה וירידה משתנים בכל נקודת קיצון.

תחומי עלייה - x < rX3 , X1 < x < rX2

תחומי עלייה - rX3 < x < X1 , rX2 < x

תחומי ירידה - rX3 < x < X1 , rX2 < x

תחומי ירידה - x < rX3 , X1 < x < rX2

נקודות חיתוך עם הצירים:
חיתוך עם ציר Y אפשר לחשב בעזרת הצבת x=0 בפונקציה:

f(x)= coefficientFix(A)x^{rootA}+coefficientFix(B)x^{rootB}

f(0)= A \cdot (0)^{rootA}+B \cdot (0)^{rootB}

(0, yx0)

חיתוך עם ציר X אפשר לחשב על ידי השוואת הפונקציה לאפס:

f(x) = coefficientFix(A)x^{rootA}+coefficientFix(B)x^{rootB} = 0

x^{rootB}( coefficientFix(A)x^{rootA-rootB}+B) = 0

x^{rootB} = 0

x = 0

coefficientFix(A)x^{rootA-rootB}+B = 0

coefficientFix(A)x^{rootA-rootB} = -1*B

x^{rootA-rootB} = PRETTY_tromX23Y0

x = \pm\sqrt[rootA-rootB]{PRETTY_tromX23Y0} = \pm rXY0

(rX2Y0,0) , (rX3Y0,0)

var rngTop=Math.max(Y1,Y2,Y3)+5,rngBottom=Math.min(Y1,Y2,Y3)-5;graphInit({range:[[-5,5],[rngBottom,rngTop]],scale:20,axisArrows:"<->",tickStep:1,labelStep:2,gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,yAxisOpacity:1,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return A*pow(e,rootA)+B*pow(e,rootB)},[-10,10]),style({stroke:"red",fill:"red"}),circle([0,0],.1),circle([X2,Y2],.1),label([X2,Y2],"( "+rX2+" , "+rY2+")",X2minMax===max?"above right":"below right"),circle([X3,Y3],.1),label([X3,Y3],"( "+rX3+" , "+rY3+")",X2minMax===max?"above left":"below left"),circle([xy0,0],.1),label([xy0,0],"("+rX2Y0+",0)","above right"),circle([-1*xy0,0],.1),label([-1*xy0,0],"("+rX3Y0+",0)","above left")
randRangeNonZero(-10,10) randRangeNonZero(-10,10) randRangeNonZero(-20,20) 0 1 0 Math.round(x1*100)/100 6*A*B*x1+2*A*C Math.round(secDevX1*100)/100 secDevX1>0||secDevX1===0?["מינימום",">"]:["מקסימום","<"] secDevX1>0||secDevX1===0?min:max A*Math.pow(x1,2)*(B*x1+C) Math.round(y1*100)/100 -2*A*C/(3*A*B) Math.round(x2*100)/100 fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(x2,.001)) 6*A*B*x2+2*A*C Math.round(secDevX2*100)/100 secDevX2>0||secDevX2===0?["מינימום",">"]:["מקסימום","<"] secDevX2>0||secDevX2===0?min:max A*Math.pow(x2,2)*(B*x2+C) Math.round(y2*100)/100 x2>0?[x1-1,x1,(x1+x2)/2,x2,x2+1]:[x1+1,x1,(x1+x2)/2,x2,x2-1] calcFirstDevFunc3(listOfX,A,B,C) calcUpDownMinMaxFunc3(listOfFirstDev,listOfX,A,B,C) 0 Math.round(yx0*100)/100 0 Math.round(x1y0*100)/100 -1*C/B Math.round(x2y0*100)/100 getUpRange3(X1minMax,X2minMax,rX1,rX2) getDownRange3(X1minMax,X2minMax,rX1,rX2) getUpRange3(X1minMax,X2minMax,rX1Y0,rX2Y0) getDownRange3(X1minMax,X2minMax,rX1Y0,rX2Y0) "X לכל"

חקרו את הפונקציה f(x)= coefficientFix(A)x^2(coefficientFix(B)x + C) על פי הסעיפים הבאים:

א. תחום הגדרה
ב. נקודות קיצון
ג. תחומי עלייה
ד. תחומי ירידה
ה. נקודות חיתוך עם ציר Y
ו. נקודות חיתוך עם ציר X
ז. שרטוט גרף הפונקציה

definition

א. תחום הגדרה

rX1 rY1 rX2 rY2
rX2 rY2 rX1 rY1

ב. נקודות קיצון
( , )
( , )

upRange downRange rYX0

ג. תחומי עלייה

ד. תחומי ירידה

Y ה. נקודות חיתוך עם ציר
( 0 , )

rX1Y0 rX2Y0
rX2Y0 rX1Y0

X ו. נקודות חיתוך עם ציר
( , 0 )
( , 0 )

תחום הגדרה:

הפונקציה היא פולינומית ולכן תחום ההגדרה שלה הוא עבור כל X.
תחום ההגדרה באה ליד ביטוי רק אם יש X במכנה או תחת שורש.

לכל X

נקודות קיצון:
את נקודות הקיצון של הפונקציה ניתן למצוא בעזרת גזירת הפונקיה והשוואת הנגזרת לאפס:

את הפונקציה ניתן לגזור בעזרת כלל המכפלה או על ידי פישוט הביטוי:

גזירה לפי כלל המכפלה: (f(x)*g(x))^'=f^' (x)*g(x)+f(x)*g'(x)

f(x)= coefficientFix(A)x^2(coefficientFix(B)x + C)

f'(x)= 2 \cdot negParens(A)x(coefficientFix(B)x + C) + coefficientFix(A)x^2 \cdot (B) = 2*A*Bx^2 + 2*A*Cx + A*Bx^2 = 3*A*Bx^2 + 2*A*Cx

פישוט הפונקציה וגזירה של סכום:

f(x)= coefficientFix(A)x^2(coefficientFix(B)x + C) = A*Bx^3 + A*Cx^2

f'(x)= 3 \cdot A*Bx^2 + 2 \cdot A*Cx

3*A*Bx^2 + 2*A*Cx = 0

x(3*A*Bx + 2*A*C) = 0

x = x1

3*A*Bx + 2*A*C = 0

3*A*Bx = -2*A*C

x = rX2

x = PRETTY_X2 = rX2

נמצא את ערך Y של הנקודות:

f(rX1)= A \cdot (rX1)^2 \cdot (B \cdot negParens(rX1) + C) = round(A*Math.pow(x1,2)*100)/100 \cdot ( round((B*x1+C)*100)/100 ) = rY1

( rX1, rY1 )

f(rX2)= A \cdot (rX2)^2 \cdot (B \cdot (rX2) + C) = round(A*Math.pow(x2,2)*1e3)/1e3 \cdot ( round((B*x2+C)*1e3)/1e3 ) = rY2

( rX2, rY2 )

f(rX2)=f(PRETTY_X2)= A \cdot (PRETTY_X2)^2 \cdot (B \cdot (PRETTY_X2) + C) = round(A*Math.pow(x2,2)*1e3)/1e3 \cdot ( round((B*x2+C)*1e3)/1e3 ) = rY2

( rX2, rY2 )

את סוג הנקודה ניתן לסווג לפי נגזרת שנייה או לפי בדיקת ערכי הנגזרת בסביבה:

[נגזרת שנייה]

נגזור את הפונקציה פעם נוספת ונציב את ערך הנקודה:

f'(x) = 3*A*Bx^2 + 2*A*Cx

f''(x) = 6*A*Bx + 2*A*C

נקודת x1minMax[0] f''(rX1) = 6*A*B \cdot negParens(rX1) + 2*A*C = rSecDevX1 x1minMax[1] 0

נקודת x2minMax[0] f''(rX2) = 6*A*B \cdot negParens(rX2) + 2*A*C = rSecDevX2 x2minMax[1] 0

[בדיקת ערכים]

נבדוק את ערך הנגזרת לפני ואחרי נקודת הקיצון:

X round(listOfX[0]*100)/100 round(listOfX[1]*100)/100 round(listOfX[2]*100)/100 round(listOfX[3]*100)/100 round(listOfX[4]*100)/100
f'(x) round(listOfFirstDev[0]*100)/100 round(listOfFirstDev[1]*100)/100 round(listOfFirstDev[2]*100)/100 round(listOfFirstDev[3]*100)/100 round(listOfFirstDev[4]*100)/100
סיווג listUpDown[0] listUpDown[1] listUpDown[2] listUpDown[3] listUpDown[4]

תחומי עלייה וירידה:
יש לנו 2 נקודות קיצון. תחומי עלייה וירידה משתנים בכל נקודת קיצון.

תחומי עלייה - upRange

תחומי ירידה - downRange

נקודות חיתוך עם הצירים:
חיתוך עם ציר Y אפשר לחשב בעזרת הצבת x=0 בפונקציה:

f(x)= coefficientFix(A)x^2(coefficientFix(B)x + C)

f(0)= A \cdot (0)^2(B*0 + C) = yx0

(0,yx0)

חיתוך עם ציר X אפשר לחשב על ידי השוואת הפונקציה לאפס:

f(x)= coefficientFix(A)x^2(coefficientFix(B)x + C) = 0

coefficientFix(A)x^2 = 0

x = rX1Y0

coefficientFix(B)x + C = 0

coefficientFix(B)x = -1*C

x = rX2Y0

(rX1Y0,0) , (rX2Y0,0)

var rngTop=Math.max(y1,y2)+5,rngBottom=Math.min(y1,y2)-5;graphInit({range:[[-5,5],[rngBottom,rngTop]],scale:20,axisArrows:"<->",tickStep:1,labelStep:2,gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,yAxisOpacity:1,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return A*pow(e,2)*(B*e+C)},[-10,10]),style({stroke:"red",fill:"red"}),circle([x1,y1],.1),label([x1,y1],"("+rX1+","+rY1+")",X1minMax===min?"below":"above"),circle([x2,y2],.1),label([x2,y2],"("+rX2+","+rY2+")",X2minMax===min?"below":"above"),circle([x2y0,0],.1),label([x2y0,1],"("+rX2Y0+","+0+")",x2<0?"left":"right")
randRangeNonZero(-20,20) randRangeNonZero(-20,20) randRangeNonZero(-20,20) 0 1 "X לכל" 3*A 2*B C pow(b,2)-4*a*c (-b+sqrt(delta))/(2*a) round(x1*100)/100 fractionReduce.apply(KhanUtil,[-b+sqrt(delta),2*a]) 6*A*x1+2*B Math.round(secDevX1*100)/100 secDevX1>0||secDevX1===0?["מינימום",">"]:["מקסימום","<"] secDevX1>0||secDevX1===0?min:max A*Math.pow(x1,3)+B*Math.pow(x1,2)+C*x1 round(y1*100)/100 (-b-sqrt(delta))/(2*a) round(x2*100)/100 fractionReduce.apply(KhanUtil,[-b-sqrt(delta),2*a]) 6*A*x2+2*B Math.round(secDevX2*100)/100 secDevX2>0||secDevX2===0?["מינימום",">"]:["מקסימום","<"] secDevX2>0||secDevX2===0?min:max A*Math.pow(x2,3)+B*Math.pow(x2,2)+C*x2 round(y2*100)/100 x1>x2?[x1+1,x1,(x1+x2)/2,x2,x2-1]:[x1-1,x1,(x1+x2)/2,x2,x2+1] calcFirstDevFunc4(listOfX,A,B,C) calcUpDownMinMaxFunc4(listOfFirstDev,listOfX,A,B,C) 0 0 Math.round(x1y0*100)/100 pow(B,2)-4*A*C (-B+sqrt(DELT))/(2*A) Math.round(x2y0*100)/100 (-B-sqrt(DELT))/(2*A) Math.round(x3y0*100)/100 x1>x2?"X < "+rX2+" , X > "+rX1:rX1+" < X < "+rX2 x1>x2?"X < "+rX3Y0+" , X > "+rX2Y0:rX2Y0+" < X < "+rX3Y0 x1>x2?rX2+" < X < "+rX1:"X < "+rX1+" , X > "+rX2 x1>x2?rX3Y0+" < X < "+rX2Y0:"X < "+rX2Y0+" , X > "+rX3Y0 Math.max(Math.abs(y1),Math.abs(y2))

חקרו את הפונקציה f(x)= coefficientFix(A)x^3 + coefficientFix(B)x^2 + coefficientFix(C)x על פי הסעיפים הבאים:

א. תחום הגדרה
ב. נקודות קיצון
ג. תחומי עלייה
ד. תחומי ירידה
ה. נקודות חיתוך עם ציר Y
ו. נקודות חיתוך עם ציר X
ז. שרטוט גרף הפונקציה

definition

א. תחום הגדרה

rX1 rY1 rX2 rY2
rX2 rY2 rX1 rY1

ב. נקודות קיצון
( , )
( , )

upRange1 downRange1 yx0

ג. תחומי עלייה

ד. תחומי ירידה

Y ה. נקודות חיתוך עם ציר
( 0 , )

rX1Y0 rX2Y0 rX3Y0
rX1Y0 rX3Y0 rX2Y0

X ו. נקודות חיתוך עם ציר
( , 0 )
( , 0 )
( , 0 )

תחום הגדרה:
הפונקציה היא פולינומית ולכן תחום ההגדרה שלה הוא עבור כל X.
תחום ההגדרה באה ליד ביטוי רק אם יש X במכנה או תחת שורש.
לכל X

נקודות קיצון:

את נקודות הקיצון של הפונקציה ניתן למצוא בעזרת גזירת הפונקיה והשוואת הנגזרת לאפס:

f(x)= coefficientFix(A)x^3 + coefficientFix(B)x^2 + coefficientFix(C)x

f'(x)= 3 \cdot negParens(A)x^2 + 2 \cdot negParens(B)x + C

3*Ax^2 + 2*Bx + C = 0

[פתרון בעזרת נוסחת השורשים]

x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x_{1,2} = \frac{-negParens(b)\pm\sqrt{negParens(b)^2-4 \cdot negParens(a) \cdot negParens(c)}}{2 \cdot negParens(a)}

x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{pow(b,2) - negParens(4*a*c) }}{2*a}

x_{1,2} = \frac{-b\pmround(sqrt(pow(b,2)-4*a*c)*100)/100}{2*a}

x_1 = \frac{-b + sqrt(pow(b,2)-4*a*c)}{2*a} = \frac{-b+sqrt(pow(b,2)-4*a*c)}{2*a} = PRETTY_X1

x_1 = \frac{-b + sqrt(pow(b,2)-4*a*c)}{2*a} = \frac{-b+sqrt(pow(b,2)-4*a*c)}{2*a} = PRETTY_X1 = rX1

x_2 = \frac{-b - sqrt(pow(b,2)-4*a*c)}{2*a} = \frac{-b-sqrt(pow(b,2)-4*a*c)}{2*a} = PRETTY_X2

x_2 = \frac{-b - sqrt(pow(b,2)-4*a*c)}{2*a} = \frac{-b-sqrt(pow(b,2)-4*a*c)}{2*a} = PRETTY_X2 = rX2

x_1 = PRETTY_X1

x_1 = PRETTY_X1 = rX1

x_2 = rX2

x_2 = PRETTY_X2 = rX2

נמצא את ערך Y של הנקודות:

f(PRETTY_X1)= A \cdot (PRETTY_X1)^3 + B \cdot (PRETTY_X1)^2 + C \cdot (PRETTY_X1) = roundTo(3,A*Math.pow(x1,3)) + roundTo(3,B*Math.pow(x1,2)) + roundTo(3,C*x1) = rY1

f(rX1) = f(PRETTY_X1) = A \cdot (PRETTY_X1)^3 + B \cdot (PRETTY_X1)^2 + C \cdot (PRETTY_X1) = roundTo(3,A*Math.pow(x1,3)) + roundTo(3,B*Math.pow(x1,2)) + roundTo(3,C*x1) = rY1

( rX1, rY1 )

f(PRETTY_X2)= A \cdot (PRETTY_X2)^3 + B \cdot (PRETTY_X2)^2 + C \cdot (PRETTY_X2) = roundTo(3,A*Math.pow(x2,3)) + roundTo(3,B*Math.pow(x2,2)) + roundTo(3,C*x2) = rY2

f(rX2) = f(PRETTY_X2) = A \cdot (PRETTY_X2)^3 + B \cdot (PRETTY_X2)^2 + C \cdot (PRETTY_X2) = roundTo(3,A*Math.pow(x2,3)) + roundTo(3,B*Math.pow(x2,2)) + roundTo(3,C*x2) = rY2

( rX2, rY2 )

את סוג הנקודה ניתן לסווג לפי נגזרת שנייה או לפי בדיקת ערכי הנגזרת בסביבה:

[נגזרת שנייה]

נגזור את הפונקציה פעם נוספת ונציב את ערך הנקודה:

f'(x)= 3*Ax^2 + 2*Bx + C

f''(x)= 6*Ax + 2*B

נקודת x1minMax[0] f''(rX1) = 6*A \cdot negParens(rX1) + 2*B = rSecDevX1 x1minMax[1] 0

נקודת x2minMax[0] f''(rX2) = 6*A \cdot negParens(rX2) + 2*B = rSecDevX2 x2minMax[1] 0

[בדיקת ערכים]

נבדוק את ערך הנגזרת לפני ואחרי נקודת הקיצון:

X round(listOfX[0]*100)/100 round(listOfX[1]*100)/100 round(listOfX[2]*100)/100 round(listOfX[3]*100)/100 round(listOfX[4]*100)/100
f'(x) round(listOfFirstDev[0]*100)/100 round(listOfFirstDev[1]*100)/100 round(listOfFirstDev[2]*100)/100 round(listOfFirstDev[3]*100)/100 round(listOfFirstDev[4]*100)/100
סיווג listUpDown[0] listUpDown[1] listUpDown[2] listUpDown[3] listUpDown[4]

תחומי עלייה וירידה:
יש לנו 2 נקודות קיצון. תחומי עלייה וירידה משתנים בכל נקודת קיצון.

תחומי עלייה - upRange1

תחומי ירידה - downRange1

נקודות חיתוך עם הצירים:
חיתוך עם ציר Y אפשר לחשב בעזרת הצבת x=0 בפונקציה:

f(x)= coefficientFix(A)x^3 + coefficientFix(B)x^2 + coefficientFix(C)x

f(0)= A \cdot (0)^3 + B \cdot (0)^2 + C \cdot (0) = yx0

(0,yx0)

חיתוך עם ציר X אפשר לחשב על ידי השוואת הפונקציה לאפס:

f(x)= coefficientFix(A)x^3 + coefficientFix(B)x^2 + coefficientFix(C)x = 0

x(coefficientFix(A)x^2 + coefficientFix(B)x + C) = 0

x = rX1Y0

coefficientFix(A)x^2 + coefficientFix(B)x + C = 0

[פתרון בעזרת נוסחת השורשים]

x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x_{1,2} = \frac{-negParens(B)\pm\sqrt{negParens(B)^2-4 \cdot negParens(A) \cdot negParens(C)}}{2 \cdot negParens(A)}

x_{1,2} = \frac{-B\pm\sqrt{pow(B,2) - negParens(4*A*C) }}{2*A}

x_{1,2} = \frac{-B\pmround(sqrt(pow(B,2)-4*A*C)*100)/100}{2*A}

x_1 = \frac{-B + round(sqrt(pow(B,2)-4*A*C)*100)/100}{2*A} = rX2Y0

x_2 = \frac{-B - round(sqrt(pow(B,2)-4*A*C)*100)/100}{2*A} = rX3Y0

x_1 = rX2Y0

x_2 = rX3Y0

( rX1Y0 , 0 ) , ( rX2Y0 , 0 ) , ( rX3Y0 , 0 )

var rngTop=Math.max(y1,y2)+5,rngBottom=Math.min(y1,y2)-5;graphInit({range:[[-10,10],[rngBottom,rngTop]],scale:20,axisArrows:"<->",tickStep:1,labelStep:2,gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,yAxisOpacity:1,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return A*pow(e,3)+B*pow(e,2)+C*e},[-10,10]),style({stroke:"red",strokeWidth:1,fill:"red"}),circle([x1,y1],.1),label([x1,y1],"("+rX1+","+rY1+")",X1minMax===min?"below":"above"),circle([x2,y2],.1),label([x2,y2],"("+rX2+","+rY2+")",X2minMax===min?"below":"above"),circle([0,0],.1),circle([x2y0,0],.1),label([x2y0,0],"("+rX2Y0+","+0+")",x2y0>0?"above right":"above left"),circle([x3y0,0],.1),label([x3y0,0],"("+rX3Y0+","+0+")",x3y0>0?"below right":"below left")
אתם צופים בבעיה. כדי לעבוד על בעיות מסוג זה, התחילו תרגיל זה.
צריכים עזרה? בקשו רמז.