randRangeNonZero(-5,5) randRangeNonZero(-5,5) randRangeNonZero(-5,5) A===1?"":A===-1?"-":A

שרטט גרף למשוואה הבאה בעזרת מעבר לייצוג קודקודי:

graphInit({range:11,scale:20,axisArrows:"<->",tickStep:1,labelStep:1,gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),label([0,11],"y","above"),label([11,0],"x","right"),addMouseLayer(),graph.pointA=addMovablePoint({coord:[5,5],snapX:.5,snapY:.5,normalStyle:{stroke:KhanUtil.BLUE,fill:KhanUtil.BLUE}}),graph.pointB=addMovablePoint({coord:[-5,5],snapX:.5,snapY:.5,normalStyle:{stroke:KhanUtil.BLUE,fill:KhanUtil.BLUE}}),graph.pointC=addMovablePoint({coord:[0,5],snapX:.5,snapY:.5,normalStyle:{stroke:KhanUtil.BLUE,fill:KhanUtil.BLUE}}),graph.invalid=function(e,t,n){return(e[0]-t[0])*(e[0]-n[0])*(t[0]-n[0])===0},graph.fitParabola=function(e,t,n){var r=(e[0]-t[0])*(e[0]-n[0])*(t[0]-n[0]);if(r!==0){var i=(n[0]*(t[1]-e[1])+t[0]*(e[1]-n[1])+e[0]*(n[1]-t[1]))/r,s=(n[0]*n[0]*(e[1]-t[1])+t[0]*t[0]*(n[1]-e[1])+e[0]*e[0]*(t[1]-n[1]))/r,o=(t[0]*n[0]*(t[0]-n[0])*e[1]+n[0]*e[0]*(n[0]-e[0])*t[1]+e[0]*t[0]*(e[0]-t[0])*n[1])/r;return[i,s,o]}return[0,0,0]},graph.pointA.onMove=function(e,t){if(graph.invalid([e,t],graph.pointB.coord,graph.pointC.coord))return!1;graph.pointA.coord=[e,t],graph.drawParabola()},graph.pointB.onMove=function(e,t){if(graph.invalid(graph.pointA.coord,[e,t],graph.pointC.coord))return!1;graph.pointB.coord=[e,t],graph.drawParabola()},graph.pointC.onMove=function(e,t){if(graph.invalid(graph.pointA.coord,graph.pointB.coord,[e,t]))return!1;graph.pointC.coord=[e,t],graph.drawParabola()},graph.parabola=bogusShape,graph.drawParabola=function(){graph.parabola.remove();var e=graph.fitParabola(graph.pointA.coord,graph.pointB.coord,graph.pointC.coord);style({stroke:KhanUtil.BLUE},function(){graph.parabola=plot(function(t){return e[0]*t*t+e[1]*t+e[2]},[-11,11]),graph.parabola.toBack()})},graph.drawParabola(),graph.showSolution=function(){$("html, body").animate({scrollTop:$(".question").offset().top},{duration:500,easing:"swing",complete:function(){var e={x1:graph.pointA.coord[0],y1:graph.pointA.coord[1],x2:graph.pointB.coord[0],y2:graph.pointB.coord[1],x3:graph.pointC.coord[0],y3:graph.pointC.coord[1]};$(e).delay(100).animate({x1:X1,y1:Y1,x2:X2,y2:Y2,x3:H,y3:K},{duration:500,easing:"linear",step:function(t,n){e[n.prop]=t,graph.pointA.setCoord([e.x1,e.y1]),graph.pointB.setCoord([e.x2,e.y2]),graph.pointC.setCoord([e.x3,e.y3]),graph.drawParabola()}})}})}
.גרור את שלושת הנקודות לגרף המשוואה
[graph.pointA.coord,graph.pointB.coord,graph.pointC.coord]
var e=graph.fitParabola(graph.pointA.coord,graph.pointB.coord,graph.pointC.coord);return e[0]===0&&e[1]===0&&e[2]===5?"":abs(A-e[0])<.001&&abs(-2*A*H-e[1])<.001&&abs(A*H*H+K-e[2])<.001
graph.pointA.setCoord(guess[0]),graph.pointB.setCoord(guess[1]),graph.pointC.setCoord(guess[2]),graph.drawParabola()
H+1 A*(X1-H)*(X1-H)+K H-1 A*(X2-H)*(X2-H)+K [parse("y &= a( x - #{p})^2 + #{k}",[GREEN,GREEN]),parse("y &= "+A_DISP+"( x - #{"+H+"})^2 + #{"+K+"}",[GREEN,GREEN])] [parse(A_DISP+"( x - "+H+")^2 + "+K+" &=& y"),parse(A_DISP+"( #{"+X1+"} - "+H+")^2 + "+K+" &=& #{"+Y1+"}",[PINK,PINK])] [parse("y &= "+plus(A+"x^2",-2*A*H+"x",A*H*H+K)),parse("y + "+(-A*H*H-K)+" &= "+plus(A+"x^2",-2*A*H+"x"))] [parse(plus("y",-A*H*H-K)+" = "+A_DISP+"("+plus("x^2",-2*H+"x")+")")] [parse(plus("y",-A*H*H-K)+" &= "+A_DISP+"("+plus("x^2",-2*H+"x")+")"),parse(plus("y",-A*H*H-K)+" + #{"+A*H*H+"} &= "+A_DISP+"("+plus("x^2",-2*H+"x")+" + #{"+H*H+"})",[BLUE,BLUE]),parse(plus("y",-A*H*H-K+A*H*H)+" &= "+A_DISP+"("+plus("x^2",-2*H+"x",H*H)+")")] [parse(plus("y",-K)+" = "+A_DISP+"("+plus("x",-H)+")^2")] [parse("y = "+A_DISP+"(x - "+H+")^2 + "+K)]

y = A_DISPx^2 + -2*A*Hx + A*H*H+K

הדרך הנוחה ביותר לסרטט גרף למשוואה בייצוג סטנדרטי היא להעביר אותה לייצוג קודקודי.

בכדי להמיר את המשוואה כך שיהיה לנו קל יותר לראות את הקודקוד, יש להשלים אותה לריבוע.[תראה לי איך]

ראשית, יש להעביר את האיברים הקבועים לצד שמאל של המשוואה.

\qquad formatGroup(COMP_SQR1,[0,1])

לאחר מכן, אנו יכולים להוציא גורם משותף A מצד ימין של המשוואה:

\qquad formatGroup(COMP_SQR2,[0])

אנו יכולים להשלים את הריבוע על ידי לקיחת חצי מהמקדם של x, להעלות אותו בריבוע, ולהוסיף אותו לשני צידי המשוואה. המקדם של x שלנו הוא -2*H, אז חצי שלו יהיה -H, והעלאת חצי מהמקדם בריבוע יתן לנו H*H. בגלל שאנו מוסיפים את ה H*H לתוך הסוגריים בצד ימין של המשוואה, וכל הערכים בסוגריים יוכפלו ב A, אנו צריכים להוסיף לצד השמאלי של המשוואה A*H*H ובכך אנו מוודאים שהוספנו את אותו מספר לשני האגפים.

\qquad formatGroup(COMP_SQR3,[0,1,2])

כעט אנו יכולים לכתוב את הביטויי שבסוגריים כמונח ריבועי:

\qquad formatGroup(COMP_SQR4,[0])

הזזת האיבר הקבוע לצידה הימני של המשוואה יאפשר לנו לראות שעכשיו המשוואה מתאימה למציאת קודקוד.

\qquad formatGroup(COMP_SQR5,[0])

\qquad y = A_DISP(x - H)^2 + K

כאשר המשוואה מופיעה בייצוג קודקודי, קודקוד הפונקציה הוא הנקודה (p, k):

\qquad formatGroup(GROUP1,[0])

\qquad formatGroup(GROUP1,[1])

במשוואה שלנו, אנו יכולים לראות שקודקוד הפרבולה הוא (H, K).

style({stroke:GREEN,strokeWidth:3},function(){line([H-.3,K-.3],[H+.3,K+.3]).toBack(),line([H-.3,K+.3],[H+.3,K-.3]).toBack()})

כדי למצוא נקודה נוספת על הפרובלה, אנו יכולים להציב את הערך של x בתוך המשוואה.

מכיוון ש- x = H הוא מיקום הקודקוד, ננסה להזיז יחידה אחת ימינה ולהעריך את המשוואה בנקודה x = X1.

\qquad formatGroup(GROUP2,[0,1])

מצאנו נקודה נוספת על הפרבולה:(X1, Y1)

style({stroke:PINK,strokeWidth:3},function(){line([X1-.3,Y1-.3],[X1+.3,Y1+.3]).toBack(),line([X1-.3,Y1+.3],[X1+.3,Y1-.3]).toBack()})

לפרבולה יש ציר סימטריה שעובר דרך הקודקוד.

style({stroke:GREEN,strokeDasharray:"-"},function(){line([H,-11],[H,11]).toBack()})

מכיוון שהפרבולה היא סימטרית, אנו יכולים למצוא את הנקודה המקבילה ל- (X1, Y1) על פני ציר הסמטריה וכך לקבל נקודה נוספת, (X2, Y2), שחייבת להיות גם היא על הפרבולה.

style({stroke:ORANGE,strokeWidth:3},function(){line([X2-.3,Y2-.3],[X2+.3,Y2+.3]).toBack(),line([X2-.3,Y2+.3],[X2+.3,Y2-.3]).toBack()})

יש רק גרף אחד של פרבולה שעובר דרך כל הנקודות שמצאנו.

אתם צופים בבעיה. כדי לעבוד על בעיות מסוג זה, התחילו תרגיל זה.
צריכים עזרה? בקשו רמז.