randRangeNonZero(-10,10) randRangeNonZero(-2,2) monaA/3 (4*pow(D,2)-36)/(12*A) (-2*D+sqrt(4*pow(D,2)-12*A*B))/(6*A) (-2*D-sqrt(4*pow(D,2)-12*A*B))/(6*A) [X1,X2] Math.floor(Math.random()*X12.length) X12[indexX] X12[Math.abs(indexX-1)] 6*A*C+2*D 6*A*notC+2*D DevC>0?["מינימום","חיובית"]:["מקסימום","שלילית"] DevNotC>0?["מינימום","חיובית"]:["מקסימום","שלילית"]

לפונקציה y=ax^3 +Dx^2 +Bx יש נקודת קיצון כאשר x=C.

א. חשבו את ערכו של a וקבע את סוג נקודת הקיצון

ב. מצאו את ערך x של נקודת הקיצון השנייה של הפונקציה.

A a ערכו של

הקלד את a כשבר פשוט

CminMax[0] סוג נקודת הקיצון הראשונה

round(notC*100)/100 ערך x של הנקודה השנייה

ערך ה x עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה

סעיף א'

נתון שלפונקציה יש נקודת קיצון בx=C בנקודה זו הנגזרת שווה לאפס

נגזור את הפונקציה ונציב בה x=C

y'=3ax^2 +2*Dx +B

y'(C)=3a \cdot negParens(C)^2 +2*D \cdot negParens(C) +B

y'(C)=3a \cdot pow(C,2) + 2*D*C + B

3*pow(C,2)a + 2*D*C+B = 0

3*pow(C,2)a = -1*(2*D*C+B)

a = coefficientFix(monaA/Math.abs(monaA)) \frac{Math.abs(monaA)}{3}

נסווג את סוג הנקודה לפי הנגזרת השנייה.

נציב את ה-a שמצאנו בפונקציה המקורית ונגזור אותה פעמיים:

y=coefficientFix(monaA/Math.abs(monaA)) \frac{Math.abs(monaA)}{3} x^3 +Dx^2 +Bx

y'=coefficientFix(monaA/Math.abs(monaA)) \frac{Math.abs(monaA)}{3} \cdot 3 \cdot x^2 +2 \cdot negParens(D) \cdot x +B

y''=2 \cdot A*3 \cdot x + 2*D

y''=A*3*2 \cdot x +2*D

y''(C)=A*3*2 \cdot negParens(C) +2*D = A*3*2*C +2*D = DevC

קיבלנו תוצאה CminMax[1] ולכן הנקודה היא CminMax[0].

סעיף ב'

נשווה את הנגזרת של הפונקציה לאפס למציאת נקודת הקיצון השנייה

y'=coefficientFix(monaA/Math.abs(monaA)) \frac{Math.abs(monaA)}{3} \cdot 3 \cdot x^2 +2 \cdot negParens(D) \cdot x +B

A*3 \cdot x^2 + 2*D \cdot x +B = 0

נפתור בעזרת נוסחת השורשים [הצג פתרון ]

X_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

X_{1,2} = \frac{-negParens(2*D)\pm\sqrt{negParens(2*D)^2-4 \cdot negParens(A*3) \cdot negParens(B)}}{2 \cdot negParens(A*3)}

X_{1,2} = \frac{-negParens(2*D)\pm\sqrt{pow(2*D,2) - negParens(4*A*3*B) }}{2*A*3}

X_{1,2} = \frac{-2*D\pmnegParens(sqrt(pow(2*D,2)-4*A*3*B))}{2*A*3}

קיבלנו: X_1 = C , X_2 = notC

קיבלנו שתי פתרונות – אחד נתון ואחד חדש

נציב את הפתרון החדש בנגזרת השנייה כדי לוודא שמדובר בנקודת קיצון ולסווג אותה

y''(notC)=A*3*2 \cdot negParens(notC) +2*D = A*3*2*notC +2*D = DevNotC

קיבלנו תוצאה notCminMax[1] ולכן הנקודה היא notCminMax[0].

randRangeNonZero(-10,10) randRangeNonZero(-10,10) randFromArray([1,8,21]) (2+sqrt(4+12*C))/6 (2-sqrt(4+12*C))/6 -3*pow(X1,2) pow(X1,3)+A*X1+B

לפונקציות f(x) = x^3 + ax + B ו- g(x) = x^2 + (a + C)x + D יש נקודת קיצון באותה נקודה.

מצא את a ואת נקודת הקיצון אם נתון ששיעור ה-x של נקודת הקיצון הוא חיובי.

A a ערכו של

( X1 , Y ) הקלדת נקודת הקיצון

נתון כי לשתי הפונקציות נקודת קיצון באותה נקודה.

המשמעות היא בנקודה מסוימת, הנגזרת של שתי הפונקציות שווה לאפס.

אם שתיהן שוות לאפס, נוכל להשוות בין הנגזרות של הפונקציות:

f'(x) = 3x^2 + a

g'(x) = 2x + (a + C)

f'(x) = g'(x) :

3x^2 + a = 2x + a + C / -2x -a -1*C

3x^2 + a - 2x - a - C = 0

3x^2 - 2x - C = 0

נפתור בעזרת נוסחת השורשים [הצג פתרון ]

X_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot3\cdot(-C)}}{2\cdot3} = \frac{2\pm\sqrt{4 + 12*C}}{6} = \frac{2\pmsqrt(4+12*C)}{6}

X_1 = X1 , X_2 = Math.round(X2*100)/100

ניקח את הנקודה החיובית ונמצא בעזרת את a.

נציב את הנקודה באחת הנגזרות, נשווה אותה לאפס ונבודד ממנה את a:

f'(x) = 3x^2 + a

f'(X1) = 3 \cdot negParens(X1)^2 + a = 0

3*pow(X1,2) + a = 0

a = A

נציב את a שמצאנו בפונקציה, נציב בה את X1 = x ונמצא את ערך y של נקודת הקיצון:

f(x) = x^3 + A \cdot x + B

f(X1) = negParens(X1)^3 + A \cdot negParens(X1) + B

f(X1) = Y

נקודת ההשקה היא (X1,Y)

randRangeNonZero(-1,1)*randFromArray([3,6,9]) 4*pow(A,3)/27 0 0 -2*A/3 4*pow(A,3)/27 6*X1+2*A 6*X2+2*A DevX1>0?["מינימום",">"]:["מקסימום","<"] DevX2>0?["מינימום",">"]:["מקסימום","<"]

משוואת המשיק לגרף הפונקציה y = x^3 + ax^2 באחת מנקודות הקיצון שלה היא y = Y2

מצא את a את נקודות הקיצון של הפונקציה.

A X1 Y1 X1minMax[0] X2 Y2 X2minMax[0]
A X2 Y2 X2minMax[0] X1 Y1 X1minMax[0]

a ערכו של

( , ) הקלדת נקודת הקיצון ראשונה

סווג נקודת הקיצון ראשונה

( , ) הקלדת נקודת הקיצון שנייה

סווג נקודת הקיצון שנייה

המשיק y = Y2 הוא קו אופקי אשר משיק לפונקציה בנקודה מסוימת.

לא נתון לנו ערך x של הנקודה אך ערך y שלה הוא Y2

בנוסף, זוהי נקודת קיצון ולכן הנגזרת של הפונקציה שווה לאפס.

נגזור את הפונקציה ונבדוק מתי היא שווה לאפס:

y' = 3x^2 + 2ax

3x^2 + 2ax = 0

x(3x + 2a) = 0

x_1 = 0

3x + 2a = 0

3x = -2a

x_2 = -\frac{2a}{3}

נציב את הנקודות שקיבלנו בפונקציה המקורית כדי למצוא את ערך y שלהן:

y(x_1) = (x_1)^3 + a(x_1)^2

y(0) = (0)^3 + a(0)^2 = 0

זוהי לא הנקודה המתאימה.

y(x_2) = (x_2)^3 + a(x_2)^2

y(-\frac{2a}{3}) = (-\frac{2a}{3})^3 + a \cdot (-\frac{2a}{3})^2

y(-\frac{2a}{3}) = -\frac{8a^3}{27} + \frac{4a^3}{9} = \frac{-8a^3+12a^3}{27} = \frac{4a^3}{27}

הערך שקיבלנו צריך להיות שווה ל Y2 לפי הנתון בשאלה:

\frac{4a^3}{27} = Y2 / \cdot \frac{27}{4}

a^3 = Y2*27/4

a = A

נציב את ה-a שמצאנו בנקודת ההשקה ( -\frac{2a}{3} , \frac{4a^3}{27}) כדי למצוא את ערכה:

( -\frac{2 \cdot (A)}{3} , \frac{4 \cdot (A)^3}{27}) = (X2,Y2)

נציב את נקודות הקיצון בנגזרת השנייה כדי לסווג אותן:

y = x^3 + Ax^2

y' = 3x^2 + 2 \cdot negParens(A)x

y'' = 6x + 2*A

y''(X1) = 6 \cdot negParens(X1) + 2*A = DevX1 X1minMax[1] 0

(X1 , Y1 ) היא נקודת X1minMax[0]

y''(X2) = 6 \cdot negParens(X2) + 2*A = DevX2 X2minMax[1] 0

(X2 , Y2 ) היא נקודת X2minMax[0]

אתם צופים בבעיה. כדי לעבוד על בעיות מסוג זה, התחילו תרגיל זה.
צריכים עזרה? בקשו רמז.