randRange(50,75)

בסרטוט הנתון AB משיק למעגל שמרכזו O בנקודה A.

חשבו את הזוויות הבאות:

\angle OAC=?
\angle AOC=?
\angle BAC=?
\angle OBA=?

init({range:[[-6,6],[-6,6]],scale:[35,35]}),circle([0,0],4,{stroke:BLUE,strokeWidth:2,strokeDasharray:""}),circle([0,0],.07,{stroke:BLUE,strokeWidth:4,strokeDasharray:""}),style({stroke:BLUE,fill:"#f5f5f5"},function(){path([[0,0],[-5.8,1.6]]),path([[-5.8,1.6],[-3.3,-2.26]]),path([[-3.3,-2.26],[0,0]]),path([[-3.3,-2.26],[-3.85,1.1]]),label([-3.3,-2.4],"A","left"),label([-5.8,1.6],"B","left"),label([-3.99,1],"C","above"),label([0,0],"O","below"),label([-3.8,.5],ang+"°","right")})

\angle OAC= ang^\circ

\angle AOC= 180-2*ang^\circ

\angle BAC= 90-ang^\circ

\angle OBA= 2*ang-90^\circ

CO ו- AO הם רדיוסים במעגל ולכן יוצרים משולש שווה שוקיים AOC.

זוויות \angle OAC ו-\angle OCA הן זוויות הבסיס ולכן שוות זו לזו:

\angle OAC = ang^\circ

בנוסף, ניתן לפי סכום זוויות במשולש לחשב את \angle AOC:

\angle AOC+\angle ACO+\angle OAC=180^\circ

\angle AOC+ang^\circ +ang^\circ =180^\circ

/ -2*ang\angle AOC+2*ang ^\circ =180^\circ

\angle AOC = 180-2*ang^\circ

AB משיק למעגל בנקודה A לכן יוצר זווית ישרה בין המשיק לרדיוס המתאים. כלומר \angle BAO = 90^\circ

מכאן ניתן לחשב את זווית \angle BAC בעזרת זווית \angle OAC שמצאנו מקודם:

\angle BAO=\angle BAC+\angle OAC

/-ang90^\circ =\angle BAC+ang^\circ

\angle BAC = 90-ang^\circ

הזווית האחרונה שיש לחשב היא זווית \angle OBA.

ניתן לחשב אותה בעזרת סכום זוויות במשולש והזוויות שמצאנו עד כה:

\angle OBA+\angle OAB+\angle AOB=180^\circ

\angle AOB=\angle AOC(אותה זווית)

\angle OBA+90^\circ +180-2*ang^\circ =180^\circ

/ 2*ang-270\angle OBA+270-2*ang^\circ =180^\circ

\angle OBA = 2*ang-90^\circ

randRange(20,35)*2

בסרטוט הנתון AB משיק למעגל שמרכזו O בנקודה A.

חשבו את הזוויות הבאות:

\angle OAC=?
\angle OCA=?
\angle BAC=?
\angle OBA=?

init({range:[[-7,4.5],[-4.5,4.5]],scale:[35,35]}),circle([0,0],4,{stroke:BLUE,strokeWidth:2,strokeDasharray:""}),circle([0,0],.07,{stroke:BLUE,strokeWidth:4,strokeDasharray:""}),style({stroke:BLUE,fill:"#f5f5f5"},function(){path([[0,0],[-1,3.87]]),path([[-1,3.87],[-6.5,2.55]]),path([[-6.5,2.55],[0,0]]),path([[-1,3.87],[-3.75,1.45]]),label([-1,3.87],"A","above"),label([-6.5,2.55],"B","left"),label([-3.85,1.15],"C","left"),label([0,0],"O","below"),label([-0.1,.7],ang+"°","left")})

\angle OAC= 90-ang/2^\circ

\angle OCA= 90-ang/2^\circ

\angle BAC= ang/2^\circ

\angle OBA= 90-ang^\circ

CO ו- AO הם רדיוסים במעגל ולכן יוצרים משולש שווה שוקיים AOC.

זוויות \angle OAC ו- \angle OCA הן זוויות הבסיס ולכן שוות זו לזו

זווית הראש נתונה לנו ובעזרתה ניתן לחשב את זוויות הבסיס:

\angle OAC=\angle OCA=\frac{(180-ang)}{2}=\frac{180-ang}{2}=90-ang/2^\circ

\angle OAC = \angle OCA = 90-ang/2^\circ

AB משיק למעגל בנקודה A לכן יוצר זווית ישרה בין המשיק לרדיוס המתאים. כלומר \angle BAO = 90^\circ

מכאן ניתן לחשב את זווית \angle BAC בעזרת זווית \angle OAC שמצאנו מקודם:

\angle BAO=\angle BAC+\angle OAC

90^\circ = \angle BAC + 90-ang/2^\circ /ang/2-90

\angle BAC = ang/2^\circ

הזווית האחרונה שיש לחשב היא זווית \angle OBA.

ניתן לחשב אותה בעזרת סכום זווית במשולש והזוויות שמצאנו עד כה:

\angle OBA+\angle OAB+\angle AOB=180^\circ

\angle AOB=\angle AOC (אותה זווית)

\angle OBA+90^\circ+ang^\circ = 180^\circ

/ -90-ang\angle OBA+90+ang^\circ = 180^\circ

\angle OBA = 90-ang^\circ

randRange(25,41)*2

בסרטוט הנתון AB משיק למעגל שמרכזו O בנקודה A.

חשבו את הזוויות הבאות:

\angle BOA=?
\angle OCA=?
\angle OAC=?
\angle AOC=?

init({range:[[-4.5,5.5],[-4.5,4.5]],scale:[35,35]}),circle([0,0],4,{stroke:BLUE,strokeWidth:2,strokeDasharray:""}),circle([0,0],.07,{stroke:BLUE,strokeWidth:4,strokeDasharray:""}),style({stroke:BLUE,fill:"#f5f5f5"},function(){path([[0,0],[1.5,-3.7]]),path([[1.5,-3.7],[-3.2,2.4]]),path([[-3.2,2.4],[3.8,-2.9]]),path([[1.5,-3.7],[3.8,-2.9]]),label([1.5,-3.7],"A","below"),label([3.8,-3],"B","right"),label([-3.5,2.3],"C","above"),label([0,0],"O","above"),label([3.78,-2.92],ang+"°","left")})

\angle BOA= 90-ang^\circ

\angle OCA= 45-ang/2^\circ

\angle OAC= 45-ang/2^\circ

\angle AOC= 90+ang^\circ

AB משיק למעגל בנקודה A לכן יוצר זווית ישרה בין המשיק לרדיוס המתאים. כלומר \angle BAO = 90^\circ

זווית \angle OBA נתונה לנו וניתן לחשב בעזרת סכום זווית במשולש את הזווית השלישית במשולש OBA:

\angle OBA+\angle BOA+\angle OAB=180^\circ

ang^\circ + \angle BOA + 90^\circ = 180^\circ

/-90-ang\angle BOA+90+ang^\circ = 180^\circ

\angle BOA = 90-ang^\circ

CO ו- AO הם רדיוסים במעגל ולכן יוצרים משולש שווה שוקיים AOC.

זווית \angle BOA חיצונית למשולש AOC ולכן שווה לשתי הזוויות שאינן צמודות לה – זוויות הבסיס \angle OCA ו- \angle OAC:

\angle BOA=\angle OCA+\angle OAC

\angle OCA=\angle OAC(זוויות בסיס שוות זו לזו)

90-ang^\circ=2 \cdot \angle OAC

\angle OAC = \angle OCA = 45-ang/2^\circ

הזווית האחרונה שיש לחשב היא זווית \angle AOC.

ניתן לחשב אותה בשתי דרכים – זווית משלימה לזווית \angle BOA או זווית ראש במשולש שווה-שוקיים AOC.

בשני המקרים נקבל את אותה תוצאה. נדגים את החישוב בעזרת זווית משלימה

\angle BOA+\angle AOC=180^\circ

/ang-9090-ang^\circ+\angle AOC=180^\circ

\angle AOC = 90+ang^\circ

randRange(35,55)

בסרטוט הנתון AB משיק למעגל שמרכזו O בנקודה A.

חשבו את הזוויות הבאות:

\angle ACD=?
\angle CAD=?
\angle BAC=?
\angle ACB=?
\angle ABC=?

init({range:[[-4.5,10],[-4.5,4.5]],scale:[35,35]}),circle([0,0],4,{stroke:BLUE,strokeWidth:2,strokeDasharray:""}),circle([0,0],.07,{stroke:BLUE,strokeWidth:4,strokeDasharray:""}),style({stroke:BLUE,fill:"#f5f5f5"},function(){path([[2.3,3.27],[-2.3,-3.27]]),path([[-2.3,-3.27],[9.25,-2.5]]),path([[2.7,-2.95],[2.3,3.27]]),path([[9.25,-2.5],[2.3,3.27]]),label([2.4,3.27],"A","above"),label([9.25,-2.5],"B","right"),label([2.7,-2.95],"C","below"),label([-2.4,-3.27],"D","below"),label([0,0],"O","above"),label([-1.5,-2.9],ang+"°")})

\angle ACD= 90^\circ

\angle CAD= 90-ang^\circ

\angle BAC= ang^\circ

\angle ACB= 90^\circ

\angle ABC= 90-ang^\circ

המיתר AD עובר דרך מרכז המעגל ולכן הוא קוטר המעגל

זווית \angle ACD היא זווית היקפית הנשענת על קוטר ולכן שווה ל- 90^\circ מעלות.

\angle ACD = 90^\circ

ניתן לחשב את זווית \angle CAD במשולש ACD בעזרת סכום זווית ושתי הזוויות שמצאנו:

\angle CAD+\angle ACD+\angle CDA=180^\circ

\angle CAD+90^\circ+ang^\circ=180^\circ

/ - 90+ang\angle CAD+90+ang^\circ=180^\circ

\angle CAD = 90-ang^\circ

AB משיק למעגל בנקודה A לכן יוצר זווית ישרה בין המשיק לרדיוס המתאים. כלומר זווית \angle BAD = 90^\circ

זווית \angle CAD שמצאנו יחד עם זווית \angle BAC מרכיבות את זווית \angle BAD. נשתמש בנתונים הידועים לנו למצוא את גודלה של זווית \angle BAC:

\angle BAC+\angle CAD=\angle BAD

/ - 90-ang\angle BAC+90-ang^\circ=90^\circ

\angle BAC = ang^\circ

(ניתן היה לחלופין למצוא את ערכה בעזרת המשפט "זווית בין משיק ומיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני" ולהשוות בינה לבין זווית \angle ADC הנתונה).

זווית \angle ACB צמודה לזווית \angle ACD ולכן משלימה איתה ל- 180^\circ מעלות:

\angle ACB+\angle ACD=180^\circ

/-90\angle ACB+90^\circ=180^\circ

\angle ACB = 90^\circ

את הזווית האחרונה \angle ABC ניתן לחשב בעזרת סכום זוויות במשולש ACB או סכום זוויות במשולש ABD.

נדגים חישוב בעזרת סכום זוויות במשולש ABC:

\angle BAC+\angle ABC+\angle ACB=180^\circ

ang^\circ+\angle ABC+90^\circ=180^\circ

/ - 90+ang\angle ABC+90+ang^\circ=180^\circ

\angle ABC = 90-ang^\circ

אתם צופים בבעיה. כדי לעבוד על בעיות מסוג זה, התחילו תרגיל זה.
צריכים עזרה? בקשו רמז.