GetNumbers(2)

כמה נקודות חיתוך יש בין שתי הפונקציות?

מצאו את ערכי ה- x של נקודות החיתוך בין שתי הפונקציות.

בתום השאלה תוכלו לצפות בפתרון הגרפי דרך הצג פתרון.

f(x)=dx^2 + ex + f

g(x)=gx + h

2 x1 x2
2 x2 x1

רשמו בתיבה העליונה את מספר הפתרונות של המשוואה

בתיבות התחתונות רשמו את הפתרונות, במידה והם קיימים

מספר פתרונות -
X_1 =
X_2 =

כדי למצוא את נקודות החיתוך בין הפונקציות עלינו להשוות ביניהן ולמצוא עבור אילו ערכי x מתקבל השוויון:

f(x) = g(x)

dx^2 + ex + f=gx + h

נעביר את כל האיברים לאגף שמאל כדי לאפס את המשוואה:

/ - gxdx^2 + ex + f=gx + h

/ - hdx^2 + b*div==1?"":b*div==-1?"-":b*divx + f=h

/ : divdx^2 + b*div==1?"":b*div==-1?"-":b*divx + c*div=0

a==1?"":a==-1?"-":ax^2 + b==1?"":b==-1?"-":bx + c=0

לאחר שפישטנו את המשוואה והשוונו אותה לאפס, נמצא את הפתרונות בעזרת נוסחת השורשים:

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

X_{1,2}=\frac{-b<0?"("+b+")":b \pm \sqrt{b<0?"("+b+")":b^2-4 \cdot a<0?"("+a+")":a \cdot c<0?"("+c+")":c}}{2 \cdot a<0?"("+a+")":a}

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b*b-a*c<0?"("+4*a*c+")":4*a*c}}{2*a}

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b*b-4*a*c}}{2*a}

הדיסקרימיננטה (המספר בתוך השורש) חיובית ולכן למשוואה יש שני פתרונות.

X_{1,2}=\frac{-b \pm sqrt(disc)}{2*a}

X_{1}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}

X_{1}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}=x1

X_{1}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top1}{bottom1}

X_{1}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top1}{bottom1}=x1

X_{2}=\frac{-b - sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b-sqrt(disc)}{2*a}

X_{2}=\frac{-b - sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b-sqrt(disc)}{2*a}=x2

X_{2}=\frac{-b - sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b-sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top2}{bottom2}

X_{2}=\frac{-b - sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b-sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top2}{bottom2}=x2

ערכי ה- x של פתרונות המשוואה הם x1 , x2.

ערכי ה- x של פתרונות המשוואה הם \frac{top1}{bottom1} , \frac{top2}{bottom2}.

ערכי ה- x של פתרונות המשוואה הם \frac{top1}{bottom1} , x2.

ערכי ה- x של פתרונות המשוואה הם x1 , \frac{top2}{bottom2}.

בפתרון הגרפי ניתן לראות כי יש שתי נקודות חיתוך בין הפונקציות:

var rngTop=ymax>14?ymax+2:15,rngBottom=ymin<-14?ymin-2:-15;graphInit({range:[[-15,15],[rngBottom,rngTop]],scale:20,axisArrows:"<->",tickStep:1,labelStep:2,gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),x1<x2?(label([x1,y1],"("+x1disp+","+y1disp+")","left"),label([x2,y2],"("+x2disp+","+y2disp+")","right")):(label([x1,y1],"("+x1disp+","+y1disp+")","right"),label([x2,y2],"("+x2disp+","+y2disp+")","left")),label([-15,rngTop-1],"f(x)="+d+"x^2 + "+e+"x + "+f,"right",{color:RED}),label([-15,rngTop-2.5],"g(x)="+g+"x + "+h,"right",{color:BLUE}),style({stroke:"red",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(t){return d*pow(t,2)+e*t+f},[-11,11]),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return g*e+h},[-11,11]),style({stroke:"blue"})
GetNumbers(0)

כמה נקודות חיתוך יש בין שתי הפונקציות?

מצאו את ערכי ה- x של נקודות החיתוך בין שתי הפונקציות.

בתום השאלה תוכלו לצפות בפתרון הגרפי דרך הצג פתרון.

f(x)=dx^2 + ex + f

g(x)=gx + h

רשמו בתיבה העליונה את מספר הפתרונות של המשוואה

בתיבות התחתונות רשמו את הפתרונות, במידה והם קיימים

מספר פתרונות - 0
X_1=
X_2=

כדי למצוא את נקודות החיתוך בין הפונקציות עלינו להשוות ביניהן ולמצוא עבור אילו ערכי x מתקבל השוויון:

f(x) = g(x)

dx^2 + ex + f=gx + h

נעביר את כל האיברים לאגף שמאל כדי לאפס את המשוואה:

/ - gxdx^2 + ex + f=gx + h

/ - hdx^2 + b*div==1?"":b*div==-1?"-":b*divx + f=h

/ : divdx^2 + b*div==1?"":b*div==-1?"-":b*divx + c*div=0

a==1?"":a==-1?"-":ax^2 + b==1?"":b==-1?"-":bx + c=0

לאחר שפישטנו את המשוואה והשוונו אותה לאפס, נמצא את הפתרונות בעזרת נוסחת השורשים:

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

X_{1,2}=\frac{-b<0?"("+b+")":b \pm \sqrt{b<0?"("+b+")":b^2-4 \cdot a<0?"("+a+")":a \cdot c<0?"("+c+")":c}}{2 \cdot a<0?"("+a+")":a}

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b*b-a*c<0?"("+4*a*c+")":4*a*c}}{2*a}

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b*b-4*a*c}}{2*a}

הדיסקרימיננטה (המספר בתוך השורש) שלילית ולכן למשוואה אין פתרונות.

בפתרון הגרפי ניתן לראות כי אין נקודות חיתוך בין הפונקציות:

graphInit({range:[[-15,15],[-15,15]],scale:20,axisArrows:"<->",tickStep:1,labelStep:2,gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),label([-15,14],"f(x)="+d+"x^2 + "+e+"x + "+f,"right",{color:RED}),label([-15,12.5],"g(x)="+g+"x + "+h,"right",{color:BLUE}),style({stroke:"red",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(t){return d*pow(t,2)+e*t+f},[-11,11]),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return g*e+h},[-11,11]),style({stroke:"blue"})
GetNumbers(1)

כמה נקודות חיתוך יש בין שתי הפונקציות?

מצאו את ערכי ה- x של נקודות החיתוך בין שתי הפונקציות.

בתום השאלה תוכלו לצפות בפתרון הגרפי דרך הצג פתרון.

f(x)=dx^2 + ex + f

g(x)=gx + h

רשמו בתיבה העליונה את מספר הפתרונות של המשוואה

בתיבות התחתונות רשמו את הפתרונות, במידה והם קיימים

מספר פתרונות - 1
X_1=x1
X_2=

כדי למצוא את נקודות החיתוך בין הפונקציות עלינו להשוות ביניהן ולמצוא עבור אילו ערכי x מתקבל השוויון:

f(x) = g(x)

dx^2 + ex + f=gx + h

נעביר את כל האיברים לאגף שמאל כדי לאפס את המשוואה:

/ - gxdx^2 + ex + f=gx + h

/ - hdx^2 + b*div==1?"":b*div==-1?"-":b*divx + f=h

/ : divdx^2 + b*div==1?"":b*div==-1?"-":b*divx + c*div=0

a==1?"":a==-1?"-":ax^2 + b==1?"":b==-1?"-":bx + c=0

לאחר שפישטנו את המשוואה והשוונו אותה לאפס, נמצא את הפתרונות בעזרת נוסחת השורשים:

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

X_{1,2}=\frac{-b<0?"("+b+")":b \pm \sqrt{b<0?"("+b+")":b^2-4 \cdot a<0?"("+a+")":a \cdot c<0?"("+c+")":c}}{2 \cdot a<0?"("+a+")":a}

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b*b-a*c<0?"("+4*a*c+")":4*a*c}}{2*a}

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b*b-4*a*c}}{2*a}

הדיסקרימיננטה (המספר בתוך השורש) שווה לאפס ולכן למשוואה יש פתרון אחד.

X_{1,2}=\frac{-b \pm sqrt(disc)}{2*a}

X_{1}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}

X_{1}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}=x1

X_{1}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top1}{bottom1}

X_{1}=\frac{-b + sqrt(disc)}{2*a}=\frac{-b+sqrt(disc)}{2*a}=\frac{top1}{bottom1}=x1

ערך ה- x של פתרון המשוואה הם x1.

ערך ה- x של פתרון המשוואה הם \frac{top1}{bottom1}.

בפתרון הגרפי ניתן לראות כי יש נקודת חיתוך אחת בין הפונקציות:

var rngTop=ymax>14?ymax+2:15,rngBottom=ymin<-14?ymin-2:-15;graphInit({range:[[-15,15],[rngBottom,rngTop]],scale:20,axisArrows:"<->",tickStep:1,labelStep:2,gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),g>0&&d>0||g<0&&d<0?label([x2,y2],"("+x2disp+","+y2disp+")","right"):label([x2,y2],"("+x2disp+","+y2disp+")","left"),label([-15,rngTop-1],"f(x)="+d+"x^2 + "+e+"x + "+f,"right",{color:RED}),label([-15,rngTop-2.5],"g(x)="+g+"x + "+h,"right",{color:BLUE}),style({stroke:"red",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(t){return d*pow(t,2)+e*t+f},[-11,11]),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return g*e+h},[-11,11]),style({stroke:"blue"})
GetNumbers2(1)

פתרו את אי-השוויון הבא:

בתום הפתרון תוכלו לצפות בפתרון הגרפי דרך הצג פתרון.

lstrx^2 + ostrx + p > gstrx + h

x < x1disp או x >x2disp

  • x < -x2disp או x >-x1disp
  • x1disp < x < x2disp
  • -x2disp < x < -x1disp

אנו נשאלים עבור אלו ערכי x הביטוי בצד שמאל של אי-השוויון גדול מהביטוי בצד הימין.

ניתן לפתור את השאלה בשתי דרכים – בחינת כל צד באי-שוויון כפונקציה או מעבר לאי-שוויון שקול. נציג תחילה את הפתרון הגרפי – בחינת כל צד כפונקציה.

למעשה, צד שמאל של אי-השוויון הוא פרבולה ישרה וצד ימין הוא משוואת קו ישר ואנחנו צריכים למצוא עבור אלו ערכי x הפרבולה נמצאת מעל הקו הישר:

graphInit({range:[[-15,15],[-15,15]],scale:15,axisArrows:"<->",tickStep:1,labelStep:2,gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,yAxisOpacity:1,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return l*pow(e,2)+o*e+p},[-11,11]),style({stroke:"red",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return g*e+h},[-15,15])

כעת עלינו למצוא את נקודות החיתוך בין הפונקציות. נעשה זאת ע"י השוואה ביניהן ופתרון המשוואה:

/-gstrxlstrx^2+ostrx+p=gstrx+h

/-hlstrx^2+mstrx+p=h

/:flstrx^2+mstrx+n=0

astrx^2+bstrx+c=0

(x-x1)(x-x2)=0

פתרונות המשוואה הם x=x1 , x=x2

כלומר, הפרבולה נמצאת מעל הקו הישר עבור ערכים הגדולים מ- x2 או קטנים מ- x1.

x>x2 או x<x1

בדרך השנייה נהפוך את אי-השוויון לאי-שוויון שקול עם 0 בצד ימין ונפתור אותו כרגיל:

/-gstrxlstrx^2+ostrx+p>gstrx+h

/-hlstrx^2+mstrx+p>h

/:flstrx^2+mstrx+n>0

astrx^2+bstrx+c>0

(x-x1)(x-x2)>0

זוהי פרבולה ישרה עם נקודות חיתוך עבור x=x1 , x=x2 וצריך למצוא עבור אילו ערכים היא חיובית

graphInit({range:[[-15,15],[-15,15]],scale:15,axisArrows:"<->",tickStep:1,labelStep:2,gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,yAxisOpacity:1,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return a*pow(e,2)+b*e+c},[-11,11]),style({stroke:"green",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return 0},[-15,x1]),plot(function(e){return 0},[x2,15])
GetNumbers2(2)

פתרו את אי-השוויון הבא:

בתום הפתרון תוכלו לצפות בפתרון הגרפי דרך הצג פתרון.

lstrx^2 + ostrx + p < gstrx + h

x1disp < x < x2disp

  • x < -x2disp או x >-x1disp
  • x < x1disp או x >x2disp
  • -x2disp < x < -x1disp

אנו נשאלים עבור אלו ערכי x הביטוי בצד שמאל של אי-השוויון קטן מהביטוי בצד הימין.

ניתן לפתור את השאלה בשתי דרכים – בחינת כל צד באי-שוויון כפונקציה או מעבר לאי-שוויון שקול. נציג תחילה את הפתרון הגרפי – בחינת כל צד כפונקציה.

למעשה, צד שמאל של אי-השוויון הוא פרבולה ישרה וצד ימין הוא משוואת קו ישר ואנחנו צריכים למצוא עבור אלו ערכי x הפרבולה נמצאת מתחת הקו הישר:

graphInit({range:[[-15,15],[-15,15]],scale:15,axisArrows:"<->",tickStep:1,labelStep:2,gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,yAxisOpacity:1,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return l*pow(e,2)+o*e+p},[-11,11]),style({stroke:"red",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return g*e+h},[-15,15])

כעת עלינו למצוא את נקודות החיתוך בין הפונקציות. נעשה זאת ע"י השוואה ביניהן ופתרון המשוואה:

/-gstrxlstrx^2+ostrx+p=gstrx+h

/-hlstrx^2+mstrx+p=h

/:flstrx^2+mstrx+n=0

astrx^2+bstrx+c=0

(x-x1)(x-x2)=0

פתרונות המשוואה הם x=x1 , x=x2

כלומר, הפרבולה נמצאת מתחת הקו הישר בין הערכים x2 ו- x1.

x1<x<x2

ניתן לרשום גם: x<x2 וגם x>x1

בדרך השנייה נהפוך את אי-השוויון לאי-שוויון שקול עם 0 בצד ימין ונפתור אותו כרגיל:

/-gstrxlstrx^2+ostrx+p<gstrx+h

/-hlstrx^2+mstrx+p<h

/:flstrx^2+mstrx+n<0

astrx^2+bstrx+c<0

(x-x1)(x-x2)<0

זוהי פרבולה ישרה עם נקודות חיתוך עבור x=x1 , x=x2 וצריך למצוא עבור אילו ערכים היא שלילית

graphInit({range:[[-15,15],[-15,15]],scale:15,axisArrows:"<->",tickStep:1,labelStep:2,gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,yAxisOpacity:1,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return a*pow(e,2)+b*e+c},[-11,11]),style({stroke:"green",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return 0},[x1,x2])
GetNumbers2(3)

פתרו את אי-השוויון הבא:

בתום הפתרון תוכלו לצפות בפתרון הגרפי דרך הצג פתרון.

lstrx^2 + ostrx + p < gstrx + h

x < x1disp או x >x2disp

  • x < -x2disp או x >-x1disp
  • x1disp < x < x2disp
  • -x2disp < x < -x1disp

אנו נשאלים עבור אלו ערכי x הביטוי בצד שמאל של אי-השוויון קטן מהביטוי בצד הימין.

ניתן לפתור את השאלה בשתי דרכים – בחינת כל צד באי-שוויון כפונקציה או מעבר לאי-שוויון שקול. נציג תחילה את הפתרון הגרפי – בחינת כל צד כפונקציה.

למעשה, צד שמאל של אי-השוויון הוא פרבולה הפוכה וצד ימין הוא משוואת קו ישר ואנחנו צריכים למצוא עבור אלו ערכי x הפרבולה נמצאת מתחת הקו הישר:

graphInit({range:[[-15,15],[-15,15]],scale:15,axisArrows:"<->",tickStep:1,labelStep:2,gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,yAxisOpacity:1,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return l*pow(e,2)+o*e+p},[-11,11]),style({stroke:"red",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return g*e+h},[-15,15])

כעת עלינו למצוא את נקודות החיתוך בין הפונקציות. נעשה זאת ע"י השוואה ביניהן ופתרון המשוואה:

/-gstrxlstrx^2+ostrx+p=gstrx+h

/-hlstrx^2+mstrx+p=h

/:(f)lstrx^2+mstrx+n=0

astrx^2+bstrx+c=0

(x-x1)(x-x2)=0

פתרונות המשוואה הם x=x1 , x=x2

כלומר, הפרבולה נמצאת מתחת לקו הישר עבור ערכים הגדולים מ- x2 או קטנים מ- x1.

x>x2 או x<x1

בדרך השנייה נהפוך את אי-השוויון לאי-שוויון שקול עם 0 בצד ימין ונפתור אותו כרגיל:

/-gstrxlstrx^2+ostrx+p<gstrx+h

/-hlstrx^2+mstrx+p<h

/:(f)lstrx^2+mstrx+n<0

שימו לב שאנחנו מחלקים במספר שלילי ולכן סימון אי-השוויון מתהפך.

astrx^2+bstrx+c>0

(x-x1)(x-x2)>0

זוהי פרבולה ישרה עם נקודות חיתוך עבור x=x1 , x=x2 וצריך למצוא עבור אילו ערכים היא חיובית

graphInit({range:[[-15,15],[-15,15]],scale:15,axisArrows:"<->",tickStep:1,labelStep:2,gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,yAxisOpacity:1,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return a*pow(e,2)+b*e+c},[-11,11]),style({stroke:"green",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return 0},[-15,x1]),plot(function(e){return 0},[x2,15])
GetNumbers2(4)

פתרו את אי-השוויון הבא:

בתום הפתרון תוכלו לצפות בפתרון הגרפי דרך הצג פתרון.

lstrx^2 + ostrx + p > gstrx + h

x1disp < x < x2disp

  • x < -x2disp או x >-x1disp
  • x < x1disp או x >x2disp
  • -x2disp < x < -x1disp

אנו נשאלים עבור אלו ערכי x הביטוי בצד שמאל של אי-השוויון גדול מהביטוי בצד הימין.

ניתן לפתור את השאלה בשתי דרכים – בחינת כל צד באי-שוויון כפונקציה או מעבר לאי-שוויון שקול. נציג תחילה את הפתרון הגרפי – בחינת כל צד כפונקציה.

למעשה, צד שמאל של אי-השוויון הוא פרבולה הפוכה וצד ימין הוא משוואת קו ישר ואנחנו צריכים למצוא עבור אלו ערכי x הפרבולה נמצאת מעל הקו הישר:

graphInit({range:[[-15,15],[-15,15]],scale:15,axisArrows:"<->",tickStep:1,labelStep:2,gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,yAxisOpacity:1,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return l*pow(e,2)+o*e+p},[-11,11]),style({stroke:"red",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return g*e+h},[-15,15])

כעת עלינו למצוא את נקודות החיתוך בין הפונקציות. נעשה זאת ע"י השוואה ביניהן ופתרון המשוואה:

/-gstrxlstrx^2+ostrx+p=gstrx+h

/-hlstrx^2+mstrx+p=h

/:(f)lstrx^2+mstrx+n=0

astrx^2+bstrx+c=0

(x-x1)(x-x2)=0

פתרונות המשוואה הם x=x1 , x=x2

כלומר, הפרבולה נמצאת מעל הקו הישר בין הערכים x2 ו- x1.

x1<x<x2

ניתן לרשום גם: x<x2 וגם x>x1

בדרך השנייה נהפוך את אי-השוויון לאי-שוויון שקול עם 0 בצד ימין ונפתור אותו כרגיל:

/-gstrxlstrx^2+ostrx+p>gstrx+h

/-hlstrx^2+mstrx+p>h

/:(f)lstrx^2+mstrx+n>0

שימו לב שאנחנו מחלקים במספר שלילי ולכן סימון אי-השוויון מתהפך.

astrx^2+bstrx+c<0

(x-x1)(x-x2)<0

זוהי פרבולה ישרה עם נקודות חיתוך עבור x=x1 , x=x2 וצריך למצוא עבור אילו ערכים היא שלילית

graphInit({range:[[-15,15],[-15,15]],scale:15,axisArrows:"<->",tickStep:1,labelStep:2,gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,yAxisOpacity:1,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return a*pow(e,2)+b*e+c},[-11,11]),style({stroke:"green",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return 0},[x1,x2])
test3(1)


פתרו את מערכת המשוואות הבאה:

בתום הפתרון תוכלו לצפות בפתרון הגרפי דרך הצג פתרון.

y = x^2 + bstrx + c

y = dstrx + e

x1 y1 x2 y2
x2 y2 x1 y1

פתרון ראשון
( , )

פתרון שני
( , )

נפתור את מערכת המשוואות הנתונה בעזרת שיטת ההצבה.

במשוואה הראשונה נתון לנו כי y שווה לביטוי מסוים. נציב את אותו ביטוי במשוואה השנייה במקום y ונפתור את המשוואה הריבועית המתקבלת:

/ - dstrxx^2 + bstrx + c = dstrx + e

/ - ex^2 + mx + c = e

x^2 + mx + n = 0

נפתור את המשוואה בעזרת נוסחת השורשים[הצג פתרון]

X_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

X_{1,2}=\frac{-m \pm \sqrt{m<0?"("+m+")":m^2-4 \cdot a<0?"("+a+")":a \cdot n<0?"("+n+")":n}}{2 \cdot a<0?"("+a+")":a}

X_{1,2}=\frac{-m \pm \sqrt{m*m-a*n<0?"("+4*a*n+")":4*a*n}}{2*a}

X_{1,2}=\frac{-m \pm \sqrt{disc}}{2*a}

X_{1,2}=\frac{-m \pm sdisc}{2*a}

X_{1}=\frac{-m + sdisc}{2*a}=\frac{-m+sdisc}{2*a}

X_{1}=\frac{-m + sdisc}{2*a}=\frac{-m+sdisc}{2*a}=x1

X_{1}=\frac{-m + sdisc}{2*a}=\frac{-m+sdisc}{2*a}=\frac{top1}{bottom1}

X_{1}=\frac{-m + sdisc}{2*a}=\frac{-m+sdisc}{2*a}=\frac{top1}{bottom1}=x1

X_{2}=\frac{-m - sdisc}{2*a}=\frac{-m-sdisc}{2*a}

X_{2}=\frac{-m - sdisc}{2*a}=\frac{-m-sdisc}{2*a}=x2

X_{2}=\frac{-m - sdisc}{2*a}=\frac{-m-sdisc}{2*a}=\frac{top2}{bottom2}

X_{2}=\frac{-m - sdisc}{2*a}=\frac{-m-sdisc}{2*a}=\frac{top2}{bottom2}=x2

פתרונות המשוואה הם x_1 = x1 , x_2 = x2

נציב את הערכים במשוואה השנייה כדי למצוא את ערכי y המתאימים:

y = d \cdot x1 + e

y = y1

פתרון ראשון הוא (x1, y1)

y = d \cdot x2 + e

y = y2

פתרון שני הוא (x2, y2)

בפתרון הגרפי ניתן לסרטט את שתי המשוואות כפונקציות – אחת פרבולה ישרה והשנייה משוואת קו ישר. נקודות החיתוך בין הפונקציות הן פתרונות מערכת המשוואות:

graphInit({range:[[-15,15],[-15,15]],scale:18,axisArrows:"<->",tickStep:1,labelStep:2,gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),x1<x2?(label([x1,y1],"("+x1+","+y1+")","left"),label([x2,y2],"("+x2+","+y2+")","right")):(label([x1,y1],"("+x1+","+y1+")","right"),label([x2,y2],"("+x2+","+y2+")","left")),label([-15,14],"f(x)=x^2 + "+b+"x + "+c,"right",{color:RED}),label([-15,12.5],"g(x)="+d+"x + "+e,"right",{color:BLUE}),style({stroke:"red",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return pow(e,2)+b*e+c},[-15,15]),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(t){return d*t+e},[-15,15])
test3(2)

פתרו את מערכת המשוואות הבאה:

בתום הפתרון תוכלו לצפות בפתרון הגרפי דרך הצג פתרון.

y = astrx^2 + b

y = cstrx^2 + dx + e

x1 y1 x2 y2
x2 y2 x1 y1

פתרון ראשון
( , )

פתרון שני
( , )

נפתור את מערכת המשוואות הנתונה בעזרת שיטת ההצבה.

במשוואה הראשונה נתון לנו כי y שווה לביטוי מסוים. נציב את אותו ביטוי במשוואה השנייה במקום y ונפתור את המשוואה הריבועית המתקבלת:

/ - cstrx^2astrx^2 + b = cstrx^2 + dx + e

/ - dxl*-2x^2 + b = dx + e

/ - el*-2x^2 - m*2x + b = e

/ : (-l*2)-l*2x^2 - m*2x - n*2 = 0

x^2 + mstrx + n = 0

(x - x1) \cdot (x - x2) = 0

פתרונות המשוואה הם x_1 = x1 , x_2 = x2

נציב את ערכי x שקיבלנו במשוואה הראשונה כדי למצוא את ערכי y המתאימים:

y = extra1^2 + b

y = a*x1*x1 + b

y = y1

פתרון ראשון הוא (x1, y1)

y = extra2^2 + b

y = a*x2*x2 + b

y = y2

פתרון ראשון הוא (x2, y2)

בפתרון הגרפי ניתן לסרטט את שתי המשוואות כפונקציות (שתיהן פרבולות). נקודות החיתוך בין הפונקציות הן פתרונות מערכת המשוואות:

graphInit({range:[[-15,15],[-15,15]],scale:18,axisArrows:"<->",tickStep:1,labelStep:2,gridOpacity:.05,axisOpacity:.2,tickOpacity:.4,labelOpacity:.5}),x1<x2?(label([x1,y1],"("+x1+","+y1+")","left"),label([x2,y2],"("+x2+","+y2+")","right")):(label([x1,y1],"("+x1+","+y1+")","right"),label([x2,y2],"("+x2+","+y2+")","left")),label([-15,14],"f(x)="+astr+"x^2 + "+b,"right",{color:RED}),label([-15,12.5],"g(x)="+cstr+"x^2 + "+d+"x + "+e,"right",{color:BLUE}),style({stroke:"red",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(e){return a*pow(e,2)+b},[-15,15]),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,arrows:null}),plot(function(t){return c*pow(t,2)+d*t+e},[-15,15])
אתם צופים בבעיה. כדי לעבוד על בעיות מסוג זה, התחילו תרגיל זה.
צריכים עזרה? בקשו רמז.