randRange(2,4) randRangeNonZero(-10,10) randRangeNonZero(-10,10) randRangeNonZero(-10,10) randRangeNonZero(-20,20) (E-A*pow(C,A-1)*D+1*C*A*pow(C,A-1)-pow(C,A)-B)/D round(a*100)/100 fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(a,.001))

נתונה הפונקציה y=x^{A} + ax + B. המשיק לגרף הפונקציה בנקודה x = C עובר גם דרך הנקודה (D,E).

מצאו את a.

rA a ערכו של

יש להקליד את המספרים כשבר עשרוני מעוגל לשתי ספרות

נתון לנו בשאלה משיק לפונקציה בנקודה ונקודה נוספת שהמשיק עובר דרכה. שימו לב כי הפונקציה עצמה לא עוברת דרך אותה נקודה אלא רק המשיק

כדי למצוא את ערכו של a נחשב את משוואת המשיק, נתחיל במציאת נקודת ההשקה.

נציב x = C בפונקציה:

y = negParens(C)^{A} + a \cdot negParens(C) + B = pow(C,A)+B + coefficientFix(C)a

נקודת ההשקה היא (C,pow(C,A)+B + coefficientFix(C)a)

שיפוע המשיק שווה לערך הנגזרת בנקודה x=C.

נגזור את הפונקציה ונציב x=C למציאת השיפוע:

y = x^{A} + ax + B

y' = A \cdot x^{A-1} + a

y'(C) = A \cdot negParens(C)^{A-1} + a = A*pow(C,A-1) + a

נבנה משוואת משיק בעזרת הנקודה (C,pow(C,A)+B + coefficientFix(C)a) והשיפוע שמצאנו (A*pow(C,A-1) + a):

y - y_1 = m( x - x_1)

y - (pow(C,A)+B + coefficientFix(C)a) = (A*pow(C,A-1) + a)( x - C)

y - pow(C,A)+B - coefficientFix(C)a = (A*pow(C,A-1) + a) \cdot x - C*A*pow(C,A-1) - coefficientFix(C) a / + pow(C,A)+B + coefficientFix(C)a

y = (A*pow(C,A-1) + a) \cdot x + -1*C*A*pow(C,A-1)+pow(C,A)+B

משוואת המשיק עוברת גם דרך הנקודה (D,E). נציב ערכים אלו במשוואה ונבודד ממנה את a:

y = (A*pow(C,A-1) + a) \cdot x + -1*C*A*pow(C,A-1)+pow(C,A)+B

E = (A*pow(C,A-1) + a) \cdot negParens(D) + -1*C*A*pow(C,A-1)+pow(C,A)+B

E = A*pow(C,A-1)*D + Da + -1*C*A*pow(C,A-1)+pow(C,A)+B

E = A*pow(C,A-1)*D-1*C*A*pow(C,A-1)+pow(C,A)+B + Da / - A*pow(C,A-1)*D-1*C*A*pow(C,A-1)+pow(C,A)+B

E-A*pow(C,A-1)*D+1*C*A*pow(C,A-1)-pow(C,A)-B = D a / : D

a = rA

x = PRETTY_a = rA

randRangeNonZero(-5,5) randRangeNonZero(-5,5) randRangeNonZero(-10,10) pow(N,2)+C*D-pow(D,2) 1 -1*C-2*D+C C*D-E (-b+sqrt(pow(b,2)-4*a*c))/(2*a) (-b-sqrt(pow(b,2)-4*a*c))/(2*a) C*t1-pow(t1,2) C*t2-pow(t2,2) C-2*t1 C-2*t2 -1*m1*t1+y1 -1*m2*t2+y2

נתונה הפונקציה f(x)=-x^2+coefficientFix(C)x דרך הנקודה (D,E) (שלא על הפונקציה) העבירו 2 משיקים.

מצאו את משוואות המשיקים.

m1 n1 m2 n2
m2 n2 m1 n1

משוואות המשיקים

y = m \cdot x +

y = \cdot x +

נתון לנו כי מנקודת מסוימת (שלא על הפונקציה) העבירו שני משיקים. כלומר, לפונקציה יש שני משיקים שנחתכים בנקודה הנתונה.

נסמן את נקודת ההשקה x=t.

נציב x=t בפונקציה למציאת ערך y של נקודת ההשקה:

f(t)=-t^2+coefficientFix(C)t = coefficientFix(C)t - t^2

נקודת ההשקה היא (t,coefficientFix(C)t - t^2)

השיפוע של המשיק שווה לנגזרת של הפונקציה באותה נקודה.

נגזור את הפונקציה ונציב x=t למציאת השיפוע בנקודה:

f(x)=-x^2+coefficientFix(C)x

f'(x)=-2x + C

f'(t)=-2t + C = C - 2t

השיפוע בנקודה (C - 2t) שווה להפרש בין שתי הנקודות שעל המשיק (D,E) , (t,coefficientFix(C)t - t^2):

\frac{Y_2 - Y_1}{X_2 - X_1} = m

\frac{E - (coefficientFix(C)t - t^2)}{D - t} = (C - 2t) / *(D - t)

E - coefficientFix(C)t + t^2 = (C - 2t) \cdot (D - t)

E - coefficientFix(C)t + t^2 = C*D - coefficientFix(C)t - 2*Dt + 2t^2

E - coefficientFix(C)t + t^2 = C*D - C+2*Dt + 2t^2 / - E + coefficientFix(C)t - t^2

0 = t^2 + -1*C-2*D+Ct + C*D-E

נפתור בעזרת נוסחת השורשים [הצג פתרון ]

t_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

t_{1,2} = \frac{-negParens(b)\pm\sqrt{negParens(b)^2-4 \cdot negParens(a) \cdot negParens(c)}}{2 \cdot negParens(a)}

t_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{pow(b,2) - negParens(4*a*c) }}{2*a}

t_{1,2} = \frac{-b\pmnegParens(sqrt(pow(b,2)-4*a*c))}{2*a}

t_1 = \frac{-b + negParens(sqrt(pow(b,2)-4*a*c))}{2*a} = t1

t_2 = \frac{-b - negParens(sqrt(pow(b,2)-4*a*c))}{2*a} = t2

t = t1, t2

קיבלנו שתי פתרונות – שתי נקודות השקה.

נחשב עבור כל פתרון את ערך נקודה ההשקה והשיפוע בנקודה. בעזרת הנקודה והשיפוע נחשב את משוואת המשיק.

נחשב ערך נקודה ההשקה והשיפוע בנקודה עבור t = t1

f(t) = coefficientFix(C)t - t^2

f(t1) = C \cdot negParens(t1) - negParens(t1)^2 = C*t1-pow(t1,2)

נקודת ההשקה היא (t1,y1)

f'(t)= C - 2t

f'(t1)= C - 2 \cdot negParens(t1) = C-2*t1

שיפוע המשיק בנקודה הוא m1

y - y_1 = m( x - x_1)

y - y1 = m1( x - t1)

y - y1 = m1 x - m1*t1 / + y1

y = m1 x + -1*m1*t1+y1

נחשב ערך נקודה ההשקה והשיפוע בנקודה עבור t = t2

f(t) = coefficientFix(C)t - t^2

f(t2) = C \cdot negParens(t2) - negParens(t2)^2 = C*t2-pow(t2,2)

נקודת ההשקה היא (t2,y2)

f'(t)= C - 2t

f'(t2)= C - 2 \cdot negParens(t2) = C-2*t2

שיפוע המשיק בנקודה הוא m2

y - y_2 = m( x - x_2)

y - y2 = m2( x - t2)

y - y2 = m2 x - m2*t2 / + y2

y = m2 x + -1*m2*t2+y2

randRange(1,5) randRangeNonZero(-3,3) pow(1/N,3)*2*pow(A,2) fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(B,.001)) 1/(2*A) fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(C,.001)) B/(2*pow(A,2)) fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(t3,.001)) 1/N fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(t,.001)) A*pow(t,2) fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(yt,.001))

לגרף הפונקציה g(x) = coefficientFix(A)x^2 מעבירים משיק בנקודה שבה x = t. ישר העובר דרך נקודת ההשקה ומאונך למשיק הנ"ל עובר גם דרך הנקודה (PRETTY_B,PRETTY_C) .

מצאו את נקודת ההשקה.

( t , yt ) הקלדת נקודת ההשקה

ראשית נבין טוב יותר את השאלה – העבירו משיק לפונקציה בנקודה מסוימת. לאחר מכן העבירו ישר נוסף דרך אותה נקודה שמאונך למשיק. הישר הנוסף עובר גם דרך הנקודה הנתונה.

graphInit({range:[[-10,10],[-10,10]],scale:[25,25],tickStep:1,labelStep:1,axisArrows:"<->"}),style({stroke:"#FFA500",strokeWidth:2,fill:"none",arrows:null}),plot(function(e){return pow(e,2)},[-10,10]),style({stroke:"#A0522D",strokeWidth:2,fill:"none",arrows:null}),plot(function(e){return-4*e-4},[-10,10]),style({stroke:"blue",strokeWidth:2,fill:"none",arrows:null}),plot(function(e){return.25*e+4.5},[-10,10]),style({stroke:"red",strokeWidth:2,fill:"red",arrows:null}),circle([-2,4],.1),label([-2,4],"נקודת ההשקה","left")

נחשב את נקודת ההשקה בעזרת t:

g(t) = coefficientFix(A)t^2

אם יש לנו שני ישרים מאונכים, המשמעות היא שמכפלת השיפועים שלהם שווה ל1- -

m_1 * m_2 = -1

נמצא את שיפוע המשיק (m_1) בעזרת נגזרת הפונקציה בנקודה:

g(x) = coefficientFix(A)x^2

g'(x) = 2 \cdot Ax

m_1 = g'(t) = 2*At

m_1 * m_2 = -1

2*At * m_2 = -1

m_2 = -\frac{1}{2*At}

השיפוע של הישר המאונך( -\frac{1}{2*At} ) שווה להפרש בין שתי הנקודות : (PRETTY_B,PRETTY_C) ,(t, coefficientFix(A)t^2)

\frac{Y_2 - Y_1}{X_2 - X_1} = m

\frac{PRETTY_C - coefficientFix(A)t^2}{PRETTY_B - t} = -\frac{1}{2*At} / *2*At(PRETTY_B - t)

(PRETTY_C - coefficientFix(A)t^2) \cdot 2*At = -1 \cdot (PRETTY_B - t)

coefficientFix(C*2*A)t - 2*pow(A,2)t^3 = t - PRETTY_B / - coefficientFix(C*2*A)t

- 2*pow(A,2)t^3 = - PRETTY_B / : - 2*pow(A,2)

t^3 = PRETTY_t3

t = PRETTY_t

נחשב נקודת ההשקה בעזרת t שמצאנו:

g(t) = coefficientFix(A)t^2

g(PRETTY_t) = A \cdot (PRETTY_t)^2 = PRETTY_yt

נקודת ההשקה

(PRETTY_t,PRETTY_yt)

אתם צופים בבעיה. כדי לעבוד על בעיות מסוג זה, התחילו תרגיל זה.
צריכים עזרה? בקשו רמז.