randRangeNonZero(-10,10) randRangeNonZero(-10,10) randRangeNonZero(-10,10) D E (m-C)/8 fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(X,.001)) Y-4*pow(X,2)-C*X fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(a,.001)) -1*m*X+Y fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(n,.001))

שיפוע המשיק לפונקציה y=4x^2+Cx+a בנקודה שבה y=D הוא E.

א. מצא את a.

ב. מצא את משוואת המשיק

a a ערכו של

משוואת המשיק

y = m \cdot x + n

סעיף א'

נתון לנו שיפוע המשיק של הפונקציה בנקודה אך הפעם נתון לנו שיעורי y של הנקודה ולא x.

נגזור את הפונקציה ונשווה אותה לE למציאת ערך x של המשיק:

y = 4x^2+Cx+a

y' = 2 \cdot 4 \cdot x + C

E = 8 x + C / - C

E-C = 8 x / : 8

x = PRETTY_X

נציב את ערך x שקיבלנו וערך y הנתון בפונקציה המקורית ונבודד את a:

y = 4x^2+Cx+a

Y = 4 \cdot (PRETTY_X)^2+C \cdot (PRETTY_X) + a

Y = 4*pow(X,2) + C*X + a

Y = 4*pow(X,2)+C*X + a / - 4*pow(X,2)+C*X

a = a

סעיף ב'

יש לנו את נקודת ההשקה (PRETTY_X,Y) ואת השיפוע בנקודה – E

נשתמש בנוסחה למציאת משוואת קו ישר בעזרת נקודה ושיפוע:

y - y_1 = m( x - x_1)

y - Y = m( x - PRETTY_X)

y - Y = m x + m*-1*X / + Y

y = m x + m*-1*X+Y

[-2,-8,-18] randFromArray(BArray) randRangeNonZero(-10,10) randRangeNonZero(-10,10) 0 BArray.indexOf(B)+1 -X2 pow(X1,4)+B*pow(X1,2)+D*X1+E pow(X2,4)+B*pow(X2,2)+D*X2+E pow(X3,4)+B*pow(X3,2)+D*X3+E D -1*m*X1+Y1 -1*m*X2+Y2

ישר מסוים ששיפועו D משיק לגרף הפונקציה y=x^4+coefficientFix(B)x^2+coefficientFix(D)x+E בשתי נקודות שונות.

א. מצא את משוואת הישר ואת נקודות ההשקה.

ב. מצא ישר נוסף ששיפועו 4 והוא משיק לגרף הפונקציה הנ"ל.

m n2 X2 Y2 X3 Y3 m n1
m n2 X3 Y3 X2 Y2 m n1

משוואת הישר

y = m \cdot x +

נקודות ההשקה

( , )

( , )

משוואת הישר הנוסף

y = \cdot x +

סעיף א'

נתון לנו ישר ששיפועו m שמשיק לפונקציה בנקודות שונות.

המשמעות היא שהנגזרת של הפונקציה בנקודות אלו שווה לm.

כדי למצוא את הנקודות, נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת לm:

y = x^4+coefficientFix(B)x^2+coefficientFix(D)x+E

y' = 4x^3+ 2 \cdot negParens(B) \cdot x+D

m = 4x^3+ 2*B x+D / - D

0 = 4x^3+ 2*B x / : 4

0 = x^3+ coefficientFix(2*B/4) x

0 = x ( x^2+ 2*B/4 )

0 = x ( x + X2 )(x + X3)

פתרונות המשוואה הם X1,X2,X3

קיבלנו 3 פתרונות – 3 נקודות בהם השיפוע של המשיק שווה לm.

כדי למצוא את שתי הנקודות הרלוונטיות, נבנה לכל אחת מהנקודות משוואת ישר ונבדוק לאילו שתי נקודות משוואת ישר זהה.

נמצא את ערכי y של כל אחת מהנקודות ונבנה להן משוואת קו ישר בעזרת שיפוע ונקודה:

y_1 = (x_1)^4+coefficientFix(B)(x_1)^2+coefficientFix(D)(x_1)+E

y_1 = (X1)^4+coefficientFix(B)(X1)^2+coefficientFix(D)(X1)+E = Y1

y - y_1 = m( x - x_1)

y - Y1 = m( x - X1)

y - Y1 = coefficientFix(m) x + m*-1*X1 / + Y1

y = coefficientFix(m) x + m*-1*X1+Y1

y_2 = (x_2)^4+coefficientFix(B)(x_2)^2+coefficientFix(D)(x_2)+E

y_2 = (X2)^4+coefficientFix(B)(X2)^2+coefficientFix(D)(X2)+E = Y2

y - y_2 = m( x - x_2)

y - Y2 = m( x - X2)

y - Y2 = coefficientFix(m) x + m*-1*X2 / + Y2

y = coefficientFix(m) x + m*-1*X2+Y2

y_3 = (x_3)^4+coefficientFix(B)(x_3)^2+coefficientFix(D)(x_3)+E

y_3 = (X3)^4+coefficientFix(B)(X3)^2+coefficientFix(D)(X3)+E = Y3

y - y_3 = m( x - x_3)

y - Y3 = m( x - X3)

y - Y3 = coefficientFix(m) x + m*-1*X3 / + Y3

y = coefficientFix(m) x + m*-1*X3+Y3

קיבלנו משוואה זהה עבור הנקודות (X2,Y2) ו-(X3,Y3) ולכן הישר שחיפשנו עובר דרך נקודות אלו.

משוואת הישר – y=coefficientFix(m) x + n2

נקודות ההשקה הן (X2,Y2) , (X3,Y3)

סעיף ב'

המשיק הנוסף הוא המשיק השלישי שמצאנו בסעיף הקודם – יש לנו שיפוע m והוא משיק לפונקציה בנקודה (X1,Y1)

משוואת הישר השלישי – y=coefficientFix(m) x + n1

randRangeNonZero(-10,10) randRange(2,10) C pow(C,3)+B 3*pow(C,2) m*-1*X+Y 0 n (m*X-Y)/m fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(X2,.001)) 0 Math.abs(Y1) fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(absY1,.001)) Math.abs(X2) fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(absX2,.001)) absY1*absX2 fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(Y1X2,.001)) Y1X2/2 round(s*100)/100 fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(s,.001))

נתונה הפונקציה f(x)=x^3 + B . מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה x = C.

א. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של המשיק עם הצירים

ב. מצאו את השטח הכלוא בין המשיק והצירים ברביע הרביעי

X1 Y1 X2 Y2 S
X2 Y2 X1 Y1 S

שיעורי נקודות החיתוך

( , )

( , )

שטח הכלוא בין המשיק והצירים ברביע הרביעי

יש להקליד את השטח כשבר עשרוני מעוגל לשתי ספרות

סעיף א'

כדי למצוא את נקודות החיתוך של המשיק עם הצירים עלינו למצוא תחילה את משוואת המשיק.

בשלב הראשון נמצא נקודה על המשיק – נקודת ההשקה

נציב x = C בפונקציה המקורית כדי למצוא את ערך y של נקודת ההשקה:

f(x) = x^3 + B

f(C) = C^3 + B = Y

נקודת ההשקה היא (X,Y)

את שיפוע המשיק נחשב בעזרת הנגזרת של הפונקציה והצבת x = C:

f(x) = x^3 + B

f'(x) = 3 x^2

f'(C) = 3 \cdot (C)^2 = m

כעת בעזרת הנקודה והשיפוע נחשב את משוואת המשיק:

y - y_1 = m( x - x_1)

y - Y = m( x - X)

y - Y = m x + m*-1*X / + Y

y = m x + m*-1*X+Y

נמצא את נקודות החיתוך עם הצירים על-ידי הצבת x=X1 וy=Y2 במשוואת המשיק

חיתוך עם ציר y (x=0):

y = m x + n

y = m \cdot X1 + n = Y1

(X1,Y1)

חיתוך עם ציר x (y=0):

y = m x + n

Y2 = m x + n / - n

Y2-n = x / : m

x = PRETTY_X2

(PRETTY_X2,Y2)

סעיף ב'

השטח הכלוא הוא משולש ישר זווית. נחשב את השטח שלו בעזרת הניצבים

graphInit({range:[[-10,10],[-11,11]],scale:15,axisArrows:"<->"}),style({stroke:"#FFA500",fill:"none",arrows:null}),plot(function(e){return pow(e,3)+6},[-10,10]),style({stroke:"#A0522D",strokeWidth:3,fill:"none",arrows:null}),plot(function(e){return 12*e-10},[-10,10]),style({stroke:"red",strokeWidth:1,fill:"blue",opacity:.2,arrows:null}),path([[0,0],[5/6,0],[0,-10]])

ניצבי המשולשים נמצאים על הצירים ולכן אורכם שווה לערך המוחלט של הנקודות הרלוונטיות – Math.abs(Y1) ו-PRETTY_abdX2

שטח המשולש = \frac{PRETTY_absY1 \cdot PRETTY_absX2}{2} = \frac{PRETTY_Y1X2}{2} = PRETTY_S = S

אתם צופים בבעיה. כדי לעבוד על בעיות מסוג זה, התחילו תרגיל זה.
צריכים עזרה? בקשו רמז.