randRange(20,100) SUM/3 round(X1-1) round(X1+1) SUM-X1

סכום של שני מספרים חיוביים הוא SUM.

מה צריכים להיות שני המספרים, כדי שמכפלת אחד מהם בריבוע של האחר תהיה מקסימלית?

X1 X2
X2 X1

מספר ראשון

מספר שני

נגדיר את אחד המספרים בתור x. המספר השני יהיה שווה ל SUM-x כדי שסכומם יהיה שווה ל SUM- x+(SUM-x)=x+SUM-x=SUM

שני המספרים חיוביים – נמצא את תחום ההגדרה:

x>0

SUM-x>0
SUM>x

איחוד תחומים:
תחום ההגדרה הוא 0<x<SUM

כעת נבנה את פונקציית המטרה לפי התיאור המילולי של השאלה:

מכפלת אחד מהם – x, בריבוע של האחר - (SUM-x)^2

f(x)=x \cdot (SUM-x)^2

ניתן היה להגדיר את המכפלה אחרת – x^2 \cdot (SUM-x) אך בשניהם אנו אמורים לקבל את אותם המספרים.

כדי למצוא את הערך המקסימלי של המכפלה נגזור את הפונקציה שקיבלנו ונשווה את הנגזרת לאפס.

את הפונקציה נגזור לפי כלל המכפלה ואת החלק השני שלה לפי נגזרת של פונקציה מורכבת:

f(x) = x \cdot (SUM-x)^2

f'(x) = 1 \cdot (SUM-x)^2 + x \cdot 2 \cdot (SUM-x) \cdot (-1)

f'(x) = (SUM-x)^2 - 2x(SUM-x)

f'(x) = (SUM-x)( SUM - x - 2x)

f'(x) = (SUM-x)( SUM - 3x)

(SUM-x)( SUM - 3x) = 0

x_1 = SUM

SUM = 3x

x_2 = SUM/3

SUM לא נמצא בתחום ההגדרה ולכן רק התוצאה x=X1 נשארת.

נסווג את נקודת הקיצון כדי לוודא שהיא אכן מקסימלי.

[סיווג בעזרת נגזרת שנייה]

f'(x) = (SUM-x)( SUM - 3x)

f''(x) = (-1) \cdot ( SUM - 3x) + (SUM-x) \cdot (-3)

f''(x) = -1*SUM + 3x + -3*SUM + 3x

f''(x) = 6x + -1*SUM+ -3*SUM

f''(X1) = 6 \cdot X1 + -4*SUM = 6*X1-4*SUM < 0

קיבלנו ערך שלילי ולכן נקודת הקיצון היא מקסימלית.

[סיווג בעזרת בדיקת ערכים]

נבדוק את ערכי הנגזרת לפני ואחרי הנקודה:

f'(X1m1) = (SUM-X1m1)( SUM - 3 \cdot X1m1) = SUM-X1m1 \cdot SUM-3*X1m1 = (SUM-X1m1)*(SUM-3*X1m1) > 0

f'(X1p1) = (SUM-X1p1)( SUM - 3 \cdot X1p1) = SUM-X1p1 \cdot SUM-3*X1p1 = (SUM-X1p1)*(SUM-3*X1p1) < 0

הפונקציה עולה לפני הנקודה (נגזרת חיובית) ויורדת אחריה (נגזרת שלילית) ולכן זו נקודת מקסימום.

אם x=X1 אז המספר השני הוא SUM-X1=X2

שני המספרים הם X1,X2

randRange(6,100) SUB/2 round(X1-1) round(X1+1) X1-SUB

ההפרש בין שני מספרים הוא SUB.

מה צריכים להיות שני המספרים, כדי שסכום הריבועים שלהם יהיה מינימלי?

X1 X2
X2 X1

מספר ראשון

מספר שני


יש להקליד את המספרים כשבר עשרוני מעוגל לשתי ספרות

נגדיר את אחד המספרים בתור x. המספר השני יהיה שווה ל x-SUB כך שההפרש ביניהם שווה לSUB -

x-(x-SUB)=x-x+SUB=SUB

כעת נבנה את פונקציית המטרה לפי התיאור המילולי של השאלה:

סכום הריבועים שלהם – נעלה כל אחד מהמספרים בריבוע ונחבר ביניהם –

f(x)=x^2+(x-SUB)^2

כדי למצוא את הערך המינימלי של הסכום נגזור את הפונקציה שקיבלנו ונשווה את הנגזרת לאפס.

את הפונקציה נגזור לפי כלל הסכום ואת החלק השני שלה לפי נגזרת של פונקציה מורכבת.

f(x)=x^2+(x - SUB)^2

f'(x)= 2x + 2 \cdot (x - SUB) \cdot (1)

f'(x)= 2x + 2x - 2*SUB = 4x - 2*SUB

4x - 2*SUB = 0

4x = 2*SUB

x = X1

נסווג את נקודת הקיצון כדי לוודא שהיא אכן מינימלית.

[סיווג בעזרת נגזרת שנייה]

f'(x) = 4x - 2*SUB

f''(x) = 4 > 0

הנגזרת השנייה חיובית לכל x ולכן זו נקודת מינימום.

[סיווג בעזרת בדיקת ערכים]

נבדוק את ערכי הנגזרת לפני ואחרי הנקודה:

f'(X1m1) = 4 \cdot X1m1 - 2*SUB = 4*X1m1 - 2*SUB = 4*X1m1-2*SUB < 0

f'(X1p1) = 4 \cdot X1p1 - 2*SUB = 4*X1p1 - 2*SUB = 4*X1p1-2*SUB > 0

הפונקציה יורדת לפני הנקודה (נגזרת שלילית) ועולה אחריה (נגזרת חיובית) ולכן זו נקודת מינימום.

אם x=X1 אז המספר השני שווה לX1 - SUB=X2

שני המספרים הם X1,X2

randRange(5,30) randRange(2,10) B/(A+1) fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(X1highRange,.001)) 2*B/(3+3*A) round(X1*100)/100 fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(X1,.001)) round(X1-1) round(X1+1) A*X1 round(X2*100)/100 fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(X2,.001)) (A+1)*X1 fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(x3,.001)) B-X1-A*X1 round(X3*100)/100 fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(X3,.001))

סכום שלושה מספרים חיוביים הוא B. המספר השני גדול פי A מהמספר הראשון.

מה צריכים להיות שלושת המספרים, כדי שמכפלתם תהיה מקסימלית?

rX1 rX2 rX3
rX2 rX3 rX1
rX3 rX1 rX2
rX3 rX2 rX1
rX1 rX3 rX2
rX2 rX1 rX3

מספר ראשון

מספר שני

מספר שלישי


יש להקליד את המספרים כשבר עשרוני מעוגל לשתי ספרות

נגדיר את המספר הראשון בתור x. . המספר השני יהיה שווה לAx (גדול פי A מx) והמספר השלישי יהיה שווה לB-A+1x כדי שסכום שלושתם יהיה B

x+Ax+(B-A+1x)=A+1x+B-A+1x=B

שלושת המספרים חיוביים – נחשב את תחום ההגדרה:

x > 0

Ax > 0

x > 0

B - A+1x > 0

B > A+1x

PRETTY_X1highRange > x

איחוד תחומים:
תחום ההגדרה הוא 0<x<PRETTY_X1highRange

כעת נבנה את פונקציית המטרה לפי התיאור המילולי של השאלה:

מכפלת שלושת המספרים –

f(x) = x \cdot Ax \cdot (B - A+1x)

f(x) = Ax^2 \cdot (B - A+1x)

כדי למצוא את הערך המקסימלי של המכפלה נגזור את הפונקציה שקיבלנו ונשווה את הנגזרת לאפס.

את הפונקציה נגזור לפי כלל המכפלה:

f(x) = Ax^2 \cdot (B - A+1x)

f'(x) = 2 \cdot Ax \cdot (B - A+1x) + Ax^2 \cdot ( - A+1 )

f'(x) = 2*Ax \cdot (B - A+1x) - A*(A+1)x^2

f'(x) = 2*A*Bx - 2*A*(A+1)x^2 - A*(A+1)x^2

f'(x) = - 3*A*(A+1)x^2 + 2*A*Bx

f'(x) = Ax( 2*B - 3*(A+1)x)

Ax = 0

x = 0

2*B - 3*(A+1)x = 0

2*B = 3*(A+1)x

x = PRETTY_X1

0 לא נמצא בתחום ההגדרה ולא נשארנו רק עם נקודה חשודה אחת.

נסווג את נקודת הקיצון כדי לוודא שהיא אכן מקסימלית.

[סיווג בעזרת נגזרת שנייה]

f'(x) = Ax( 2*B - 3*(A+1)x)

f''(x) = A \cdot ( 2*B - 3*(A+1)x) + Ax \cdot (- 3*(A+1))

f''(x) = 2*B*A - 3*(A+1)*Ax + A*-3*(A+1)x

f''(x) = 2*B*A - 3*A*(A+1)+3*A*(A+1)x

f''(PRETTY_X1) = 2*B*A - 6*A*(A+1) \cdot PRETTY_X1

f''(PRETTY_X1) = 2*B*A - 6*A*(A+1)*X1 = 2*B*A-6*A*(A+1)*X1 < 0

הנגזרת השנייה שלילית בנקודה ולכן זו נקודת מקסימום.

[סיווג בעזרת בדיקת ערכים]

נבדוק את ערכי הנגזרת לפני ואחרי הנקודה:

f'(X1m1) = A \cdot X1m1 \cdot ( 2*B - 3*(A+1) \cdot X1m1) = A*X1m1 \cdot 2*B-3*(A+1)*X1m1 = A*X1m1*(2*B-3*(A+1)*X1m1) > 0

f'(X1p1) = A \cdot X1p1 \cdot ( 2*B - 3*(A+1) \cdot X1p1) = A*X1p1 \cdot 2*B-3*(A+1)*X1p1 = A*X1p1*(2*B-3*(A+1)*X1p1) < 0

הפונקציה עולה לפני הנקודה (נגזרת חיובית) ויורדת אחריה (נגזרת שלילית) ולכן זו נקודת מקסימום.

נחשב את שלושת המספרים בעזרת הx שמצאנו:

מספר ראשון - x = PRETTY_X1 = round(X1*100)/100

מספר שני – A x = A \cdot PRETTY_X1 = round(X2*100)/100

מספר שלישי – B - A+1 \cdot PRETTY_X1 = B - PRETTY_x3 = PRETTY_X3 = round(X3*100)/100

randRange(5,20) randRange(2,20) -A/2 round(x1*100)/100 fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(X1,.001)) round(x1-1) round(x1+1) x1-B round(x2*100)/100 fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(X2,.001))

הפרש בין שני מספרים הוא B.

מה צריכים להיות המספרים, כדי שסכום ריבוע המספר הראשון ומכפלת המספר השני ב-A יהיה מינימלי?

X1 X2
X2 X1

מספר ראשון

מספר שני


יש להקליד את המספרים כשבר עשרוני מעוגל לשתי ספרות

נגדיר את המספר הראשון בתור x. המספר השני יהיה שווה ל(x - B) כך שההפרש ביניהם שווה ל-B

x-(x-B) = x + x + B = B

כעת נבנה את פונקציית המטרה לפי התיאור המילולי של השאלה:

ריבוע המספר הראשון – x^2

מכפלת המספר השני בAA(x - B)

הסכום שלהם - f(x) = x^2 + A(x - B) = x^2 + Ax - A*B

כדי למצוא את הערך המקסימלי של המכפלה נגזור את הפונקציה שקיבלנו ונשווה את הנגזרת לאפס.

את הפונקציה נגזור לפי כלל הסכום:

f(x) = x^2 + Ax - A*B

f'(x) = 2x + A

2x + A = 0

2x = - A

x = X1

x = PRETTY_X1 = X1

נסווג את נקודת הקיצון כדי לוודא שהיא אכן מינימלית.

[סיווג בעזרת נגזרת שנייה]

f'(x) = 2x + A

f''(x) = 2

הנגזרת השנייה חיובית לכל x ולכן זו נקודת מינימום.

[סיווג בעזרת בדיקת ערכים]

נבדוק את ערכי הנגזרת לפני ואחרי הנקודה:

f'(X1m1) = 2 \cdot X1m1 + A = 2*X1m1+A < 0

f'(X1p1) = 2 \cdot X1p1 + A = 2*X1p1+A > 0

הפונקציה יורדת לפני הנקודה (נגזרת שלילית) ועולה אחריה (נגזרת חיובית) ולכן זו נקודת מינימום.

אם x=X1 אז המספר הראשון הוא X1 והמספר השני הוא X1 - B=X2

שני המספרים הם X1,X2

אתם צופים בבעיה. כדי לעבוד על בעיות מסוג זה, התחילו תרגיל זה.
צריכים עזרה? בקשו רמז.