randRange(4,20) randRange(4,20) W/2 (W+2*L)/8 round(XB*100)/100 fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(XB,.001)) round(XB-1) round(XB+1)

(השאלה לקוחה משאלון 803 מועד קיץ תשע"ה)

נתונה גינת נוי שצורתה מלבן.

ממדי המלבן הם L מטרים ו-W מטרים (ראה ציור)

רוצים לשתול דשא בשטחים צבועים שבציור:

שני שטחים הם בצורת ריבועים זהים, ושטח אחד הוא בצורת מלבן, כמתואר בציור.

נסמן ב-X את אורך הצלע של הריבועים.

מה צריך להיות X, כדי שהשטח של הדשא יהיה מינימלי?

init({range:[[-2,11],[-2,11]],scale:30}),path([[0,0],[0,10],[8,10],[8,0],[0,0]],{stroke:BLUE}),path([[0,10],[3,10],[3,7],[0,7],[0,10]],{stroke:BLUE,fill:ORANGE,"fill-opacity":.1}),path([[5,10],[8,10],[8,7],[5,7],[5,10]],{stroke:BLUE,fill:ORANGE,"fill-opacity":.1}),path([[3,7],[5,7],[5,0],[3,0],[3,7]],{stroke:BLUE,fill:ORANGE,"fill-opacity":.1}),label([1.5,10],"X","above"),label([6.5,10],"X","above"),label([8,8.5],"X","right"),path([[5,-1],[8,-1]],{stroke:BLUE,arrows:"->"}),path([[3,-1],[0,-1]],{stroke:BLUE,arrows:"<-"}),path([[9,6],[9,10]],{stroke:BLUE,arrows:"->"}),path([[9,4],[9,0]],{stroke:BLUE,arrows:"<-"}),label([4,-1],W+" m","center"),label([9,5],L+" m","center")

X X ערכו של

יש להקליד את המספר כשבר עשרוני מעוגל לשתי ספרות

לפני שנתחיל בתרגיל, עלינו להגדיר את תחום ההגדרה של X.

רוחב המלבן הכללי הוא W מטר ולכן שני הריבועים יכולים להיות לכל היותר W/2 מטר כל אחד ולכל הפחות 0 מטר.

תחום ההגדרה הוא 0≤x≤W/2

בשלב הבא נביע בעזרת X את כל השטח הצבוע בציור:

אורך צלעות הריבועים שווה לX ולכן שטח כל אחד מהם הוא x^2 וביחד 2x^2

רוחב המלבן שווה ל W-2x ואורך המלבן הוא L-x לפי הסרטוט. מכאן ששטח המלבן הוא (W-2x)(L-x)

סה"כ השטח הצבוע שווה ל-2x^2 + (W-2x)(L-x)

2x^2 + W*L - Wx - 2*Lx + 2x^2

4x^2 - W+2*Lx + W*L

נגדיר את השטח כפונקציה, נגזור אותה ונמצא את נקודת המינימום שלה

f(x) = 4x^2 - W+2*Lx + W*L

f'(x) = 8x - W+2*L

8x - W+2*L = 0

8x = W+2*L

x = X

x = PRETTY_X = X

הערך שמצאנו נמצא בתחום ההגדרה.

נסווג את נקודת הקיצון כדי לוודא שהיא אכן מינימלית.

[סיווג בעזרת נגזרת שנייה]

f'(x) = 8x - W+2*L

f''(x) = 8 > 0

הנגזרת השנייה חיובית לכל X ולכן הנקודה היא מינימלית.

[סיווג בעזרת בדיקת ערכים]

נבדוק את ערכי הנגזרת לפני ואחרי הנקודה:

f'(Xm1) = 8 \cdot Xm1 - W+2*L = 8*Xm1-(W+2*L) < 0

f'(Xp1) = 8 \cdot Xp1 - W+2*L = 8*Xp1-(W+2*L) > 0

הפונקציה יורדת לפני הנקודה (נגזרת שלילית) ועולה אחריה (נגזרת חיובית) ולכן זו נקודת מינימום.

X צריך להיות שווה לX מטר כדי שהשטח של הדשא יהיה מינימלי.

randRange(10,50) randRange(2,5) SUM/(2*M) round(x1*100)/100 fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(x1,.001)) round(x1-1) round(x1+1)

(השאלה לקוחה משאלון 803 מועד חורף תשע"ד)

נתונים שני מלבנים ABCD ו-PQRS (ראה ציור).

נתון: SUM ס"מ = AB+BC (סכום אורכי הצלעות AB ו-BC הוא SUM ס"מ).

AB=PQ

QR=x

BC=Mx

מה צריך להיות x כדי שסכום שטחי המלבנים יהיה מקסימלי?

init({range:[[-1,8],[-1,8]],scale:30}),path([[0,0],[0,3],[2,3],[2,0],[0,0]],{stroke:BLUE}),label([0,0],"S","below"),label([0,3],"P","above"),label([2,3],"Q","above"),label([2,0],"R","below"),label([2,1.5],"x","right"),path([[4,0],[4,6],[6,6],[6,0],[4,0]],{stroke:BLUE}),label([4,0],"D","below"),label([4,6],"A","above"),label([6,6],"B","above"),label([6,0],"C","below"),label([6,3],M+"x","right")

X1 X ערכו של

יש להקליד את המספר כשבר עשרוני מעוגל לשתי ספרות

בשלב הראשון נביע את כל צלעות המלבנים באמצעות X כדי לבנות מהם לאחר מכן את הפונקציה שלנו:

BC=Mx

AB+BC=SUM

AB+Mx=SUM

AB=SUM-Mx

AB=PQ

PQ=SUM-Mx

שטח המלבן ABCD הוא AB*BC – (SUM-Mx) \cdot Mx

שטח המלבן PQRS הוא PQ*QR – (SUM-Mx) \cdot x

סכום שטח המלבנים – Mx \cdot (SUM-Mx) + x \cdot (SUM-Mx)

נגזיר את הסכום כפונקציה, נגזור אותה ונשווה את הנגזרת לאפס כדי למצוא נקודות חשודות לקיצון:

f(x) = Mx \cdot (SUM-Mx) + x \cdot (SUM-Mx)

f(x) = M+1x \cdot (SUM-Mx)

f'(x) = M+1 \cdot (SUM-Mx) + M+1x \cdot (-M)

f'(x) = (M+1)*SUM - M*(M+1)x - (M+1)*Mx

f'(x) = (M+1)*SUM - 2*M*(M+1)x

(M+1)*SUM - 2*M*(M+1)x = 0

(M+1)*SUM = 2*M*(M+1)x

x = X1

x = PRETTY_X1 = X1

נסווג את נקודת הקיצון כדי לוודא שהיא אכן מקסימלית.

[סיווג בעזרת נגזרת שנייה]

f'(x) = (M+1)*SUM - 2*M*(M+1)x

f''(x) = - 2*M*(M+1)

הנגזרת השנייה שלילית לכל X ולכן הנקודה היא מקסימלית.

[סיווג בעזרת בדיקת ערכים]

נבדוק את ערכי הנגזרת לפני ואחרי הנקודה:

f'(x1m1) = (M+1)*SUM - 2*M*(M+1) \cdot x1m1 = (M+1)*SUM-x1m1*2*M*(M+1) > 0

f'(x1p1) = (M+1)*SUM - 2*M*(M+1) \cdot x1p1 = (M+1)*SUM-x1p1*2*M*(M+1) < 0

הפונקציה עולה לפני הנקודה (נגזרת חיובית) ויורדת אחריה (נגזרת שלילית) ולכן זו נקודת מקסימום.

X צריך להיות שווה לX1 ס"מ כדי שסכום שטחי המלבנים יהיה מקסימלי.

randRange(1,30) AE/4 round(x1*100)/100 fractionReduce.apply(KhanUtil,toFraction(x1,.001)) round(x1-1) round(x1+1)

(השאלה לקוחה משאלון 803 מועד קיץ תשע"א)

הקטע BC (המסומן ב-x) הוא צלע משותפת של הריבוע ABCD ושל המלבן BEFC (ראה ציור).

נתון כי אורך הקטע AE הוא AE ס"מ.

מצא את אורך הקטע BC שעבורו הסכום AC^2+CE^2 הוא מינימלי.

init({range:[[-1,8],[-1,4]],scale:30}),path([[0,0],[0,2],[6,2],[6,0],[0,0]],{stroke:BLUE}),path([[0,2],[2,0]],{stroke:BLUE}),path([[2,2],[2,0]],{stroke:BLUE}),path([[6,2],[2,0]],{stroke:BLUE}),label([0,0],"D","below"),label([0,2],"A","above"),label([2,2],"B","above"),label([6,2],"E","above"),label([6,0],"F","below"),label([2,0],"C","below"),label([2,1],"x","right")

X1 BC אורך הקטע

יש להקליד את המספר כשבר עשרוני מעוגל לשתי ספרות

ניסוח השאלה של צלע בריבוע מרמז של שימוש במשפט פיתגורס.

כדי להשתמש במשפט פיתגורס עבור הצלעות הרצויות, עלינו למצוא את הניצבים המתאימים במשולשים ABC ו-BCE

נסיק נתונים על על הניצבים לפי הנתונים של השאלה:

צלע הריבוע שווה לx ולכן גם הצלע AB שווה לx.

label([1,2],"x","above")

אם AE=AE וAB=x אזי אורך הקטע BE הוא AE-x.

label([4,2],AE+"-x","above")

כעת נשתמש בנתונים שמצאנו ובמשפט פיתגורס כדי להביע את אורך הקטעים AC וCE:

AC^2=AB^2+BC^2=x^2+x^2=2x^2

CE^2=BC^2+BE^2=x^2+(AE-x)^2

CE^2= x^2 + pow(AE,2) - 2 \cdot AE x + x^2

CE^2= 2x^2 - 2*AE x + pow(AE,2)

AC^2+CE^2 = 2x^2 + 2x^2 - 2*AE x + pow(AE,2)

נגזיר את סכום ריבועי הצלעות כפונקציה, נגזור אותה ונשווה את הנגזרת לאפס כדי למצוא נקודות חשודות לקיצון:

f(x) = 4x^2 - 2*AE x + pow(AE,2)

f'(x) = 2 \cdot 4x - 2*AE

8x - 2*AE = 0

8x = 2*AE

x = X1

x = PRETTY_X1 = X1

נסווג את נקודת הקיצון כדי לוודא שהיא אכן מינימלית.

[סיווג בעזרת נגזרת שנייה]

f'(x) = 8x - 2*AE

f''(x) = 8 > 0

הנגזרת השנייה חיובית לכל X ולכן הנקודה היא מינימום.

[סיווג בעזרת בדיקת ערכים]

נבדוק את ערכי הנגזרת לפני ואחרי הנקודה:

f'(x1m1) = 8 \cdot x1m1 - 2*AE = 8*x1m1-2*AE < 0

f'(x1p1) = 8 \cdot x1p1 - 2*AE = 8*x1p1-2*AE > 0

הפונקציה יורדת לפני הנקודה (נגזרת שלילית) ועולה אחריה (נגזרת חיובית) ולכן זו נקודת מינימום.

X צריך להיות שווה לX1 ס"מ כדי שסכום ריבועי הצלעות יהיה מינימלי.

אתם צופים בבעיה. כדי לעבוד על בעיות מסוג זה, התחילו תרגיל זה.
צריכים עזרה? בקשו רמז.