randRange(3,7) (function(){var e=Array(0);for(var t=1;t<5;t++)for(var n=1;n<5;n++)t+n===A&&e.push("("+t.toString()+","+n.toString()+")");return e})()

ארבעה מספרים שונים רשומים על ארבע פאות של סביבון. המספרים הם: 1, 2, 3, 4. מסובבים שני סביבונים כאלה בצבע כחול ואדום בעת ובעונה אחת. לאחר נפילתם, בודקים את סכום המספרים הרשומים על שני הסביבונים.

א. אילו מספרים יכולים להתקבל כסכום?

ב. רשמו את כל האפשרויות לקבלת סכום השווה ל- A.

ג. מהו הסיכוי לקבל סכום השווה ל-9? נמקו.

ד. מהו סכום המספרים שהסיכוי לקבלתו הוא הגבוה ביותר?

ה. מהו סיכוי זה?

$("div.instruction input").val()
var e=$("div.instruction input[id$='response1']").val().split(",");for(t=0;t<e.length;t++)e[t]=e[t].trim();var t;for(t=2;t<9;t++)if($.inArray(t.toString(),e)===-1)break;return t===9

רישמו את המספרים מופרדים בפסיקים. לדוגמא 1,2,3.

$("div.instruction input").val()
var e=$("div.instruction input[id$='response2']").val().split("),");for(t=0;t<e.length;t++)e[t]=e[t].trim(),e[t].charAt(e[t].length-1)!==")"&&(e[t]=e[t]+")");var t;for(t=0;t<AS.length;t++)if($.inArray(AS[t],e)===-1)break;return t===AS.length

רישמו את זוגות המספרים מופרדים בפסיקים בתוך סוגרים. את הסוגרים הפרידו עם פסיקים. לדוגמא

(\blue{1},\red{2}),(\blue{2},\red{3})

0

5

.25

.את התשובות לסעיף ג' וה' הזינו בצורה של שבר פשוט

א. מהן התוצאות האפשריות עבור הסביבון הראשון?

1, 2, 3, 4

ומהן התוצאות האפשריות עבור הסביבון השני?

1, 2, 3, 4

נערוך טבלה לחישוב הסכומים האפשריים:

אדום/כחול \blue{1} \blue{2} \blue{3} \blue{4}
\red{1}
\red{2}
\red{3}
\red{4}

נסו למלא את הטבלה כאשר בכל משבצת ריקה מופיע הסכום של המספר שהתקבל בסביבון הכחול והמספר שהתקבל בסביבון האדום (כחול ועוד אדום)

הטבלה המלאה:

אדום/כחול \blue{1} \blue{2} \blue{3} \blue{4}
\red{1} 2 3 4 5
\red{2} 3 4 5 6
\red{3} 4 5 6 7
\red{4} 5 6 7 8

כמה סכומים שונים קיבלנו?

נערוך רשימה של הסכומים השונים

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

וזו התשובה לסעיף א'



ב. נסמן בטבלה את כל המקומות בהם מופיע הסכום A ונראה כיצד ניתן לקבלו

מהן האפשרויות המתאימות לכל המשבצות המסומנות?

אדום/כחול \blue{1} \blue{2} \blue{3} \blue{4}
\red{1} \green{2}2 \green{3}3 \green{4}4 \green{5}5
\red{2} \green{3}3 \green{4}4 \green{5}5 \green{6}6
\red{3} \green{4}4 \green{5}5 \green{6}6 \green{7}7
\red{4} \green{5}5 \green{6}6 \green{7}7 \green{8}8

האפשרויות הן AS

וזו התשובה לסעיף ב'.



ג. נזכיר שבשביל לקבל הסתברות נחשב מהי כמות כל האפשרויות הרצויות ונחלק בכמות האפשרויות סה"כ.

מהן האפשרויות הרצויות?

הזריקות אשר עבורן הסכום הוא 9. כמה כאלה יש?

לפי סעיף א', 9 הוא בכלל לא סכום שיכול להתקבל. אם כך, כמה אפשרויות כאלה יש?

0 אפשרויות. אם כך מהי ההסתברות לקבל סכום 9?

גההסתברות היא 0, כלומר אין סיכוי בכלל לקבל 9, וזוהי התשובה לסעיף ג'.



ד. הסכום שיש את ההסתברות הגבוהה ביותר לקבלו הוא הסכום שמופיע הכי הרבה פעמים בטבלה

נספור כמה פעמים מופיע כל סכום בטבלה

2 - מופיע פעם אחת

3 – מופיע פעמיים

4 – מופיע 3 פעמים

5 – מופיע 4 פעמים

6 – מופיע 3 פעמים

7 – מופיע פעמיים

8 – מופיע פעם אחת

איזה סכום מתקבל הכי הרבה פעמים בטבלה?

5 (4 פעמים)

5 הוא הסכום שיש את ההסתברות הגבוהה ביותר לקבלו וזוהי התשובה לסעיף ד'.



ה. ניזכר שבשביל לחשב הסתברות נספור כמה אפשרויות רצויות יש ונחלק בכמות האפשרויות סה"כ

כמה אפשרויות יש שבהן הסכום המתקבל הוא 5?

4 אפשרויות, כפי שראינו בספירה של סעיף ד'

כמה אפשרויות יש סה"כ?

כמספר הסכומים בטבלה. כמה סכומים (לא שונים) מופיעים בטבלה?

ישנן 4 שורות של תוצאות הסביבון הראשון, ו-4 עמודות של תוצאות הסביבון השני, סה"כ:

4 \times 4 = 16

נחשב הסתברות על ידי חלוקת מספר האפשרויות הרצויות במספר האפשרויות סה"כ

4 \div 16 = 1/4

זוהי ההסתברות לקבל את הסכום 5 וזוהי התשובה לסעיף ה'.

randRange(7,11) randRange(40,150) (function(){var e=0;for(var t=1;t<7;t++)for(var n=1;n<7;n++)t+n===A&&e++;return e})() (function(){var e=Array(0);for(var t=1;t<7;t++)for(var n=1;n<7;n++)t+n===A&&e.push("("+t.toString()+","+n.toString()+")");return e})() getGCD(NA,36)

זורקים שתי קוביות משחק רגילות והוגנות, כחולה ואדומה.

א. מה הסיכוי שסכום המספרים המתקבלים הוא A.

ב. מה הסיכוי ששני המספרים המתקבלים בקוביות זהים זה לזה.

ג. מה הסיכוי שמכפלת המספרים המתקבלים קטנה מ- B.

הזינו את התשובות בצורת שבר פשוט. צמצמו את השבר ככל הניתן

NA/36

1/6

1

א. בעת הטלת שתי קוביות משחק ישנן 36 תוצאות אפשריות. נמלא טבלה עם הסכומים שמתקבלים בשתי ההטלות בכל אפשרות.

אדומה/כחולה \blue{1} \blue{2} \blue{3} \blue{4} \blue{5} \blue{6}
\red{1} 2 3 4 5 6 7
\red{2} 3 4 5 6 7 8
\red{3} 4 5 6 7 8 9
\red{4} 5 6 7 8 9 10
\red{5} 6 7 8 9 10 11
\red{6} 7 8 9 10 11 12

כעת נדגיש בצבע את המקרים שבהם קיבלנו את הסכום A

אדומה/כחולה \blue{1} \blue{2} \blue{3} \blue{4} \blue{5} \blue{6}
\red{1} \green{2}2 \green{3}3 \green{4}4 \green{5}5 \green{6}6 \green{7}7
\red{2} \green{3}3 \green{4}4 \green{5}5 \green{6}6 \green{7}7 \green{8}8
\red{3} \green{4}4 \green{5}5 \green{6}6 \green{7}7 \green{8}8 \green{9}9
\red{4} \green{5}5 \green{6}6 \green{7}7 \green{8}8 \green{9}9 \green{10}10
\red{5} \green{6}6 \green{7}7 \green{8}8 \green{9}9 \green{10}10 \green{11}11
\red{6} \green{7}7 \green{8}8 \green{9}9 \green{10}10 \green{11}11 \green{12}12

NA תוצאות יתנו את הסכום A.

נחשב את ההסתברות לקבל את הסכום A על ידי חלוקת מספר האפשרויות הרצויות במספר האפשרויות סה"כ

NA \div 36 = \frac{NA/AGDC}{36/AGDC}

זוהי ההסתברות לקבל את הסכום A, וזוהי התשובה לסעיף א'.



ב. מהן האפשרויות הרצויות של מאורע ששני המספרים המתקבלים זהים?

(1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) , (5,5) , (6,6)

כמה אפשרויות יש סה"כ?

ראינו בתחילת בסעיף הקודם שיש 36 אפשרויות להטלת שתי קוביות.

אם כך, מהי ההסתברות של המאורע השני?

6 \div 36 = \frac{1}{6}

קיבלנו שההסתברות היא \frac{1}{6}



ג. כיצד נחשב את ההסתברות של מאורע בו מכפלת המספרים קטנה מ-B? תחילה נסתכל מהי המכפלה הגדולה ביותר שיכולה להתקבל מהכפלת שתי תוצאות של הטלת קוביה.

עבור ההטלה (6,6) תתקבל המכפלה הגדולה ביותר, משום שאלו שתי התוצאות הגדולות ביותר. מהי מכפלת התוצאות הללו?

36. האם יתכן שיש זוג תוצאות שמכפלתן לא קטנה מ-B?

לא, משום שהמכפלה הכי גדולה האפשרית קטנה מ-B, אז שאר המכפלות האפשריות אפילו יותר קטנות, ולכן גם קטנות מ-B.

בשביל חישוב ההסתברות נחשב את כמות התוצאות הרצויות לחלק לכמות התוצאות האפשריות. מהי כמות התוצאות הרצויות? כלומר, כמה תוצאות מכפלתן קטנה מ-B?

ראינו שכל האפשרויות מכפלתן קטנה מ-B, כלומר 36 תוצאות רצויות. כמה תוצאות אפשריות יש?

כפי שכבר ראינו – גם 36

נחשב הסתברות:

36 \div 36 = 1

קיבלנו ששהסתברות היא 1

randRange(9,12) randRange(7,9) randRange(1,6) (function(){var e=0;for(var t=1;t<7;t++)for(var n=1;n<7;n++)t+n===A&&e++;return e})() getGCD(NA,36) (function(){var e=0;for(var t=1;t<7;t++)for(var n=1;n<7;n++)t+n>B&&e++;return e})() getGCD(NB,36)

זורקים שתי קוביות משחק רגילות, כחולה ואדומה, בעת ובעונה אחת.

א. מהי ההסתברות שסכום המספרים שיראו שתי הקוביות יהיה A?

ב. מהי ההסתברות ששתי הקוביות יראו אותו מספר?

ג. מהי ההסתברות שסכום המספרים שיראו שתי הקוביות יהיה גדול מ- B?

ד. מהי ההסתברות שבדיוק קובייה אחת תראה 6?

ה. מהי ההסתברות שלכול היותר קובייה אחת תראה C?

הזינו את התשובות בצורת שבר פשוט. צמצמו את השבר ככל הניתן

NA/36

1/6

NB/36

5/18

35/36

א. בעת הטלת שתי קוביות משחק ישנן 36 תוצאות אפשריות. נמלא טבלה עם הסכומים שמתקבלים בשתי ההטלות בכל אפשרות.

אדומה/כחולה \blue{1} \blue{2} \blue{3} \blue{4} \blue{5} \blue{6}
\red{1} 2 3 4 5 6 7
\red{2} 3 4 5 6 7 8
\red{3} 4 5 6 7 8 9
\red{4} 5 6 7 8 9 10
\red{5} 6 7 8 9 10 11
\red{6} 7 8 9 10 11 12

כעת נדגיש בצבע את המקרים שבהם קיבלנו את הסכום A

אדומה/כחולה \blue{1} \blue{2} \blue{3} \blue{4} \blue{5} \blue{6}
\red{1} \green{2}2 \green{3}3 \green{4}4 \green{5}5 \green{6}6 \green{7}7
\red{2} \green{3}3 \green{4}4 \green{5}5 \green{6}6 \green{7}7 \green{8}8
\red{3} \green{4}4 \green{5}5 \green{6}6 \green{7}7 \green{8}8 \green{9}9
\red{4} \green{5}5 \green{6}6 \green{7}7 \green{8}8 \green{9}9 \green{10}10
\red{5} \green{6}6 \green{7}7 \green{8}8 \green{9}9 \green{10}10 \green{11}11
\red{6} \green{7}7 \green{8}8 \green{9}9 \green{10}10 \green{11}11 \green{12}12

NA תוצאות יתנו את הסכום A.

נחשב את ההסתברות לקבל את הסכום A על ידי חלוקת מספר האפשרויות הרצויות במספר האפשרויות סה"כ

NA \div 36 = \frac{NA/AGDC}{36/AGDC}

זוהי ההסתברות לקבל את הסכום A, וזוהי התשובה לסעיף א'.



ב. נמצא את התוצאות שבהן זוג ספרות זהות על ידי סימונן בטבלה

אדומה/כחולה \blue{1} \blue{2} \blue{3} \blue{4} \blue{5} \blue{6}
\red{1} (\blue{1},\red{1}) (\blue{2},\red{1}) (\blue{3},\red{1}) (\blue{4},\red{1}) (\blue{5},\red{1}) (\blue{6},\red{1})
\red{2} (\blue{1},\red{2}) (\blue{2},\red{2}) (\blue{3},\red{2}) (\blue{4},\red{2}) (\blue{5},\red{2}) (\blue{6},\red{2})
\red{3} (\blue{1},\red{3}) (\blue{2},\red{3}) (\blue{3},\red{3}) (\blue{4},\red{3}) (\blue{5},\red{3}) (\blue{6},\red{3})
\red{4} (\blue{1},\red{4}) (\blue{2},\red{4}) (\blue{3},\red{4}) (\blue{4},\red{4}) (\blue{5},\red{4}) (\blue{6},\red{4})
\red{5} (\blue{1},\red{5}) (\blue{2},\red{5}) (\blue{3},\red{5}) (\blue{4},\red{5}) (\blue{5},\red{5}) (\blue{6},\red{5})
\red{6} (\blue{1},\red{6}) (\blue{2},\red{6}) (\blue{3},\red{6}) (\blue{4},\red{6}) (\blue{5},\red{6}) (\blue{6},\red{6})

קיימות 6 תוצאות כאלו.

אם כך ההסתברות לקבל 6 תוצאות רצויות מתוך 36 אפשריות היא: 6 \div 36=\frac{1}{6}.



ג. נמצא את התוצאות שבהן סכום התוצאות גדול מ-B על ידי סימונן בטבלא

אדומה/כחולה \blue{1} \blue{2} \blue{3} \blue{4} \blue{5} \blue{6}
\red{1} \green{2}2 \green{3}3 \green{4}4 \green{5}5 \green{6}6 \green{7}7
\red{2} \green{3}3 \green{4}4 \green{5}5 \green{6}6 \green{7}7 \green{8}8
\red{3} \green{4}4 \green{5}5 \green{6}6 \green{7}7 \green{8}8 \green{9}9
\red{4} \green{5}5 \green{6}6 \green{7}7 \green{8}8 \green{9}9 \green{10}10
\red{5} \green{6}6 \green{7}7 \green{8}8 \green{9}9 \green{10}10 \green{11}11
\red{6} \green{7}7 \green{8}8 \green{9}9 \green{10}10 \green{11}11 \green{12}12

קיימות NB תוצאות כאלו.

לכן ההסתברות לקבל NB תוצאות רצויות מתוך 36 אפשריות היא NB\div 36= \frac{NB/BGDC}{36/BGDC} .



ד. נמצא בטבלה את התוצאות שמכילות את הספרה 6 פעם אחת בדיוק:

אדומה/כחולה \blue{1} \blue{2} \blue{3} \blue{4} \blue{5} \blue{6}
\red{1} (\blue{1},\red{1}) (\blue{2},\red{1}) (\blue{3},\red{1}) (\blue{4},\red{1}) (\blue{5},\red{1}) (\blue{6},\red{1})
\red{2} (\blue{1},\red{2}) (\blue{2},\red{2}) (\blue{3},\red{2}) (\blue{4},\red{2}) (\blue{5},\red{2}) (\blue{6},\red{2})
\red{3} (\blue{1},\red{3}) (\blue{2},\red{3}) (\blue{3},\red{3}) (\blue{4},\red{3}) (\blue{5},\red{3}) (\blue{6},\red{3})
\red{4} (\blue{1},\red{4}) (\blue{2},\red{4}) (\blue{3},\red{4}) (\blue{4},\red{4}) (\blue{5},\red{4}) (\blue{6},\red{4})
\red{5} (\blue{1},\red{5}) (\blue{2},\red{5}) (\blue{3},\red{5}) (\blue{4},\red{5}) (\blue{5},\red{5}) (\blue{6},\red{5})
\red{6} (\blue{1},\red{6}) (\blue{2},\red{6}) (\blue{3},\red{6}) (\blue{4},\red{6}) (\blue{5},\red{6}) (\blue{6},\red{6})

ישנן 10 תוצאות כאלו. שימו לב, התוצאה (6,6) אינה מתאימה משום שהתבקשנו למצוא את ההסתברות שקוביה אחת בדיוק תראה את התוצאה.

לכן ההסתברות היא 10 \div 36=\frac{5}{18}.



ה. הדרישה היתה שקוביה אחת לכל היותר תראה את הספרה C. נשים לב שעל פי ניסוח זה לא חייבת להיות קוביה שתראה את הספרה C.

בניסוח אחר, כל תוצאה תתאים לנו ובלבד שאין בה 2 קוביות המראות את הספרה C. כל התוצאות בטבלה למעט (C,C) הן תוצאות מתאימות.

לכן ההסתברות היא \frac{35}{36} .

["נ","ג","ה","פ"] shuffle(VALUES)

person(1) וperson(2) משחקים בסביבון חנוכה, שעליו מסומנות האותיות נ , ג , ה , פ .

בכל תור מסובב השחקן את הסביבון פעמיים. person(1) genderize(1,"מנצח","מנצחת") : אם באחד הסיבובים הסביבון נופל על PERM[1] ובסיבוב האחר הוא נופל על PERM[2]. person(2) genderize(2,"מנצח","מנצחת") : אם בשני הסיבובים הסביבון נופל על PERM[3].

מה ההסתברות שperson(1) genderize(1,"ינצח","תנצח") ומה ההסתברות שperson(2) genderize(2,"ינצח","תנצח")?

הזינו את התשובות בצורת שבר פשוט. צמצמו את השבר ככל הניתן

1/8 :ההסתברות שperson(1) genderize(1,"ינצח","תנצח")

1/16 :ההסתברות שperson(2) genderize(2,"ינצח","תנצח")

נחשב את ההסתברות שכל אחד מהשחקנים ינצח במשחק.

ישנם שני אירועים במשחק: סיבוב ראשון וסיבוב שני.

תחילה נחשב עבור נצחון של person(2).

לperson(2) יש בדיוק תוצאה רצויה אחת בכל סיבוב מתוך ארבע אפשריות ולכן ההסתברות genderize(2,"שיקבל","שתקבל") תוצאה רצויה בכל סיבוב היא 1/4.

מאחר genderize(2,"שהוא","שהיא") רוצה שהאירוע הראשון וגם השני יתרחשו, נכפול בין ההסתברויות.

\frac{1}{4}\times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}

ההסתברות שperson(1) genderize(1,"יקבל","תקבל") תוצאה רצויה בסיבוב הראשון היא 2/4=1/2.

אירוע 1 אירוע 2
1/2 ?

בהינתן התוצאה בסיבוב הראשון, מה ההסתברות לתוצאה רצויה בסיבוב השני?

אם בסיבוב הראשון התקבלה האות PERM[1], רק PERM[2] היא תוצאה רצויה בסיבוב השני.

אם בסיבוב הראשון התקבלה האות PERM[2], רק PERM[1] היא תוצאה רצויה בסיבוב השני.

בסיבוב השני ישנן ארבע תוצאות אפשריות. כמה מתוכן מתאימות?

מאחר שהסיבוב הראשון כבר התרחש בעבר, בכל מקרה רק תוצאה אחת רצויה.

ההסתברות שperson(1) genderize(1,"יקבל","תקבל") תוצאה רצויה באירוע השני (סיבוב שני) היא \frac{1}{4}

אירוע 1 אירוע 2
1/2 1/4

מאחר שperson(1) רוצה שגם האירוע הראשון יתרחש וגם השני, עלינו לכפול בין ההסתברויות.

\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}

ההסתברות שperson(1) genderize(1,"ינצח","תנצח") גבוהה יותר.

randRange(-4,4) (function(){var e=0;for(var t=1;t<7;t++)for(var n=1;n<7;n++)t-n===A&&e++;return e})() getGCD(NA,36) randRange(-4,4) (function(){var e=Array(0);for(var t=1;t<7;t++)for(var n=1;n<7;n++)t-n===B&&e.push("("+t.toString()+","+n.toString()+")");return e})()

זורקים שתי קוביות משחק רגילות, כחולה ואדומה, בעת ובעונה אחת. בכל הטלה בודקים את ההפרש בין המספר על הקובייה הכחולה למספר על הקובייה האדומה (כחולה פחות אדומה).

א. אילו מספרים יכולים להתקבל כהפרש?

ב. רשמו את כל האפשרויות לקבלת הפרש השווה ל- B.

ג. מהו הסיכוי לקבל הפרש A?

ד. מהו הפרש המספרים שהסיכוי לקבלתו הוא הגבוה ביותר?

ה. מהו סיכוי זה לקבל את ההפרש הגבוה ביותר?

$("div.instruction input").val()
var e=$("div.instruction input[id$='FractionHK1']").val().split(",");for(var t=0;t<e.length;t++)e[t]=e[t].trim();for(var t=-5;t<6;t++)if($.inArray(t.toString(),e)===-1)break;return t===6

רישמו את המספרים מופרדים בפסיקים. לדוגמא 1,2,3.

$("div.instruction input").val()
var e=$("div.instruction input[id$='FractionHK2']").val().split("),");for(t=0;t<e.length;t++)e[t]=e[t].trim(),e[t].charAt(e[t].length-1)!==")"&&(e[t]=e[t]+")");var t;for(t=0;t<BS.length;t++)if($.inArray(BS[t],e)===-1)break;return t===BS.length

רישמו את זוגות המספרים מופרדים בפסיקים בתוך סוגרים. את הסוגרים הפרידו עם פסיקים. לדוגמא

(\blue{1},\red{2}),(\blue{2},\red{3})

NA/36

0

1/6

.את התשובות לסעיף ג' וה' הזינו בצורה של שבר פשוט

א. מהן התוצאות האפשריות בזריקת הקוביה הכחולה?

1, 2, 3, 4, 5, 6

ומהן התוצאות האפשריות בזריקת הקוביה האדומה?

1, 2, 3, 4, 5, 6

נערוך טבלה לחישוב ההפרשים האפשריים:

אדומה/כחולה \blue{1} \blue{2} \blue{3} \blue{4} \blue{5} \blue{6}
\red{1}
\red{2}
\red{3}
\red{4}
\red{5}
\red{6}

נסו למלא את הטבלה כאשר בכל משבצת ריקה מופיע ההפרש של המספר שהתקבל בקוביה הכחולה והמספר שהתקבל בקוביה האדומה (כחולה פחות אדומה)

הטבלה המלאה:

אדומה/כחולה \blue{1} \blue{2} \blue{3} \blue{4} \blue{5} \blue{6}
\red{1} 0 1 2 3 4 5
\red{2} -1 0 1 2 3 4
\red{3} -2 -1 0 1 2 3
\red{4} -3 -2 -1 0 1 2
\red{5} -4 -3 -2 -1 0 1
\red{6} -5 -4 -3 -2 -1 0

כמה הפרשים שונים קיבלנו?

נערוך רשימה של ההפרשים השונים

-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5

וזו התשובה לסעיף א'



ב. נסמן בטבלה את כל המקומות בהם מופיע ההפרש B ונראה כיצד ניתן לקבלו

מהן האפשרויות המתאימות לכל המשבצות המסומנות?

BS

וזו התשובה לסעיף ב'.



ג. נזכיר שבשביל לקבל הסתברות נחשב מהי כמות כל האפשרויות הרצויות ונחלק בכמות האפשרויות סה"כ.

מהן האפשרויות הרצויות?

הזריקות אשר עבורן ההפרש הוא A. כמה כאלה יש?

נסמן בטבלה את כל המקומות שבהן ההפרש הוא A ונספור כמה כאלה יש

המקומות בהם מופיע ההפרש A:

אדומה/כחולה \blue{1} \blue{2} \blue{3} \blue{4} \blue{5} \blue{6}
\red{1} \green{0}0 \green{1}1 \green{2}2 \green{3}3 \green{4}4 \green{5}5
\red{2} \green{-1}-1 \green{0}0 \green{1}1 \green{2}2 \green{3}3 \green{4}4
\red{3} \green{-2}-2 \green{-1}-1 \green{0}0 \green{1}1 \green{2}2 \green{3}3
\red{4} \green{-3}-3 \green{-2}-2 \green{-1}-1 \green{0}0 \green{1}1 \green{2}2
\red{5} \green{-4}-4 \green{-3}-3 \green{-2}-2 \green{-1}-1 \green{0}0 \green{1}1
\red{6} \green{-5}-5 \green{-4}-4 \green{-3}-3 \green{-2}-2 \green{-1}-1 \green{0}0

אנו רואים שההפרש A מופיע NA פעמים בטבלה, ולכן יש לנו NA אפשרויות רצויות.

מהו מספר האפשרויות סה"כ?

כמספר ההפרשים בטבלה. כמה הפרשים (לא שונים) מופיעים סה"כ בטבלה?

ישנן 6 שורות של זריקת הקוביה האדומה, ו-6 עמודות של זריקת הקוביה הכחולה. סה"כ:

6 \times 6 = 36

נחשב את ההסתברות לקבל ההפרש A על ידי חלוקת מספר האפשרויות הרצויות במספר האפשרויות סה"כ

NA \div 36 = \frac{NA/AGDC}{36/AGDC}

זוהי ההסתברות לקבל את ההפרש A, וזוהי התשובה לסעיף ג'.



ד. ההפרש שיש את ההסתברות הגבוהה ביותר לקבלו הוא ההפרש שמופיע הכי הרבה פעמים בטבלה

נספור כמה פעמים מופיע כל הפרש בטבלה

(5-) – מופיע פעם אחת

(4-) – מופיע פעמיים

A – מופיע 3 פעמים

(2-) – מופיע 4 פעמים

(1-) – מופיע 5 פעמים

0 - מופיע 6 פעמים

1 – מופיע 5 פעמיים

2 – מופיע 4 פעמים

3 – מופיע 3 פעמים

4 – מופיע פעמיים

5 – מופיע פעם אחת

איזה הפרש מתקבל הכי הרבה פעמים בטבלה?

0 (6 פעמים)

0 הוא ההפרש שיש את ההסתברות הגבוהה ביותר לקבלו וזוהי התשובה לסעיף ד'.



ה. ניזכר שבשביל לחשב הסתברות נספור כמה אפשרויות רצויות יש ונחלק בכמות האפשרויות סה"כ

כמה אפשרויות יש שבהן ההפרש המתקבל הוא 0?

6 אפשרויות, כפי שראינו בספירה של סעיף ד'

כמה אפשרויות יש סה"כ?

כמספר ההפרשים בטבלה. כמה הפרשים מופיעים בטבלה?

ראינו בסעיף ג' שיש 36 הפרשים (לא שונים) בטבלה, וזו כמות האפשרויות סה"כ

נחשב הסתברות על ידי חלוקת מספר האפשרויות הרצויות במספר האפשרויות סה"כ

6 \div 36 =\frac{1}{6}

זוהי ההסתברות לקבל את ההפרש 0 וזוהי התשובה לסעיף ה'.

randRange(1,4)*2 randRange(4,8)*2 randRange(4,7)*5 1+A+B+C getGCD(1+A+B+C,500) getGCD(500-summer,500) getGCD(C,500)

במסיבת פורים במפעל מסוים נמכרו 500 כרטיסי הגרלה. הפרסים שחולקו

בהגרלה היו: 1 מכונית, A מחשבים, B חופשות סוף שבוע, C שעוני קיר.

א. מהי ההסתברות לזכות במכונית?

ב. מהי ההסתברות לזכות בשעון קיר?

ג. מהי ההסתברות לזכות בפרס כלשהו?

ד. מהי ההסתברות לא לזכות כלל בפרס?

הזינו את התשובות בצורת שבר פשוט. צמצמו את השבר ככל הניתן

.002

C/500

summer/500

(500-summer)/500

א. ישנו כרטיס הגרלה אחד המזכה במכונית.

הסתברות להוציא כרטיס מסוים אחד מתוך 500 כרטיסים שנמכרו היא \frac{1}{500}

ב. ישנם C כרטיסי הגרלה המזכים בשעון קיר, כלומר C תוצאות רצויות מתוך 500 תוצאות אפשריות.

לכן ההסתברות לזכות בשעון קיר היא \frac{C}{500}.

לכן ההסתברות לזכות בשעון קיר היא \frac{C}{500} = \frac{C/C1}{500/C1}.

ג. ישנם summer כרטיסי הגרלה המזכים בפרס, כלומר summer תוצאות רצויות מתוך 500 תוצאות אפשריות..

לכן ההסתברות לזכות בפרס היא: \frac{1+A+B+C}{500}.

לכן ההסתברות לזכות בפרס היא: \frac{1+A+B+C}{500} = \frac{(1+A+B+C)/B1}{500/B1}.

ד. חישבנו כבר שישנם summer כרטיסי הגרלה המזכים בפרס. יתר כרטיסי ההגרלה אינם מזכים בפרסים. בסך הכל ישנם 500-summer כרטיסים שאינם מזכים בפרס.

500-summer תוצאות רצויות מתוך 500 תוצאות אפשריות.

ההסתברות לא לזכות בפרס היא אם כך: \frac{500-summer}{500}.

ההסתברות לא לזכות בפרס היא אם כך: \frac{500-summer}{500} = \frac{(500-summer)/B1}{500/B1}.

randRange(1,3) randRange(1,N1-1) 6-N1-N2 getGCD(N2,6) getGCD(N1+N2,6) getGCD(N2,6)

על הפאות של קובייה רשומים שלושה מספרים: המספר אחת רשום על plural_heb(N1,"פאה","פאות","f"), המספר שתיים רשום על plural_heb(N2,"פאה","פאות","f"), והמספר שלוש רשום על plural_heb(N3,"פאה","פאות","f"). מטילים את הקובייה פעם אחת.

א. מה ההסתברות לקבלת מספר זוגי?

ב. מה ההסתברות לקבלת מספר הקטן מ- 3?

ג. מה ההסתברות לקבלת מספר זוגי הקטן מ- 3?

ד. מה ההסתברות לקבלת מספר זוגי שאיננו קטן מ- 3?

הזינו את התשובות בצורת שבר פשוט. צמצמו את השבר ככל הניתן

N2/6

(N1+N2)/6

N2/6

0

א. plural_heb_word(N2,"ישנה","ישנן") plural_heb(N2,"אפשרות","אפשרויות","f") plural_heb_word(N2,"רצויה","רצויות").

המספר שתים מופיע plural_heb(N2,"פעם","פעמים","f")– מתוך שש אפשרויות.

\frac{N2}{6}

\frac{N2}{6} = \frac{N2/A}{6/A}



ב. ישנן N2+N1 אפשרויות רצויות.

המספר שתיים מופיע plural_heb(N2,"פעם","פעמים","f") והמספר אחת מופיע plural_heb(N1,"פעם","פעמים","f")– מתוך שש אפשרויות

\frac{N1+N2}{6}

\frac{N1+N2}{6} = \frac{(N1+N2)/B}{6/B}



ג. המספר הזוגי היחידי על הקוביה הוא שתיים

לכן ההסתברות זהה להסתברות לקבלת שתיים הינה \frac{N2}{6}

לכן ההסתברות זהה להסתברות לקבלת שתיים הינה \frac{N2}{6} = \frac{N2/C}{6/C}



ד. מה ההסתברות לקבל ערך שאינו קיים על הקוביה?

מאחר שאין מספר כזה על הקוביה, ההסתברות היא 0.

גד רשם את שתי אותיות שמו, ג, ד, על שני צדדיו של מטבע, כך שעל כל צד רשומה אות אחת. גד מטיל את המטבע פעמיים.

א. מה ההסתברות שהמטבע ייפול על אותיות שמו של גד בסדר הנכון?

ב. מה ההסתברות שהמטבע ייפול על אותיות שמו של גד בדיוק בסדר ההפוך?

ג. מה ההסתברות שהמטבע ייפול פעמיים על אותה אות?

ד. מה ההסתברות שהמטבע ייפול על שתי אותיות שונות בזו אחר זו?

הזינו את התשובות בצורת שבר פשוט. צמצמו את השבר ככל הניתן

.25

.25

.5

.5

א. בשביל שהמטבע יפול על אותיות השם של גד בסדר הנכון, מה צריך להתקבל בזריקה הראשונה?

ג'

מה ההסתברות שבזריקה הראשונה תצא האות ג'?

\frac{1}{2}

איזו אות צריכה לצאת בזריקה השניה?

ד'

מה ההסתברות לקבל ד' בזריקה השניה?

\frac{1}{2}

מה ההסתברות לקבל ג' בזריקה הראשונה וגם ד' בזריקה השניה?

ניזכר שבשביל לחשב הסתברות של "וגם" נחשב את מכפלת ההסתברויות

\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}

קיבלנו שההסתברות לקבל ג' בזריקה הראשונה וגם ד' בזריקה השניה היא \frac{1}{4} וזוהי התשובה לסעיף א'.



ב. בשביל שהמטבע ייפול על האותיות של גד בדיוק בסדר ההפוך, מה צריך לצאת בזריקת המטבע הראשונה?

ד'

מה ההסתברות לקבל ד' בזריקה הראשונה?

\frac{1}{2}

מה צריך לצאת בזריקת המטבע השניה?

ג'

מה ההסתברות לקבל ג' בזריקה השניה?

\frac{1}{2}

מה ההסתברות לקבל ד' בזריקה הראשונה וגם ג' בזריקה השניה?

ניזכר שוב, שבשביל לחשב הסתברות של "וגם" נחשב את מכפלת ההסתברויות

\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}

קיבלנו שההסתברות לקבל ד' בזריקה הראשונה וגם ג' בזריקה השניה היא \frac{1}{4} וזוהי התשובה לסעיף ב'.



ג. מהן האפשרויות שבהן המטבע נופל פעמיים על אותה אות?

נופל פעמיים על ג' או נופל פעמיים על ד'

ניזכר שבשביל לחשב הסתברות של "או" נחבר את ההסתברויות.

אז צריך לחשב את ההסתברות שהמטבע ייפול פעמיים על ג' ואת ההסתברות שהמטבע ייפול פעמיים על ד'

מהי ההסתברות שהמטבע ייפול פעמיים על ג'?

מהי ההסתברות שמהטבע יפול בפעם הראשונה על ג'?

\frac{1}{2}

מה ההסתברות שהמטבע ייפול בפעם השניה על ג'?

\frac{1}{2}

מה ההסתברות שהמטבע ייפול בפעם הראשונה על ג' וגם בפעם השניה על ג'?

"וגם" – כלומר נכפיל את ההסתברויות:

\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}

ההסתברות שהמטבע ייפול פעמיים על ג' היא \frac{1}{4}

באותו אופן - מהי ההסתברות שהמטבע ייפול פעמיים על ד'?

מהי ההסתברות שמהטבע יפול בפעם הראשונה על ד'?

\frac{1}{2}

מה ההסתברות שהמטבע ייפול בפעם השניה על ד'?

\frac{1}{2}

מה ההסתברות שהמטבע ייפול בפעם הראשונה על ד' וגם בפעם השניה על ד'?

"וגם" – כלומר נכפיל את ההסתברויות:

\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}

ההסתברות שהמטבע ייפול פעמיים על ד' היא \frac{1}{4}

כעת ניתן לחבר את שתי ההסתברויות שקיבלנו, ואז נקבל את ההסתברות שהמטבע ייפול פעמיים על ג' או פעמיים על ד'

\frac{1}{4} + \frac{1}{4}= \frac{1}{2}

ההסתברות שהמבטע ייפול פעמיים על אותה אות היא \frac{1}{2} וזו התשובה לסעיף ג'



ד. מהן האפשרויות שבהן המטבע נופל על שתי אותיות שונות?

נופל על ג' ואז על ד' או נופל על ד' ואז על ג'

ניזכר שבשביל לחשב הסתברות של "או" נחבר את ההסתברויות.

אז צריך לחשב את ההסתברות שהמטבע ייפול קודם על ג' ואז על ד' ואת ההסתברות שהמטבע ייפול קודם על ד' ואז על ג'

מהי ההסתברות שהמטבע ייפול על ג' ואז על ד'?

לפי סעיף א' – \frac{1}{4}

מהי ההסתברות שהמטבע ייפול על ד' ואז על ג'?

לפי סעיף ב' – \frac{1}{4}

כעת נחבר את ההסתברויות

\frac{1}{4} + \frac{1}{4}= \frac{1}{2}

ההסתברות שהמטבע ייפול על שתי אותיות שונות היא \frac{1}{2} וזו התשובה לסעיף ד'.

זורקים שני מטבעות. לכל מטבע צד אחד עם תמונה וצד אחר עם מספר.

א. מהי ההסתברות ששני המטבעות יראו אותו צד?

ב. מהי ההסתברות ששני המטבעות יראו צדדים שונים?

ג. מהי ההסתברות שלפחות אחד מהמטבעות יראה תמונה?

ד. מהי ההסתברות שבדיוק אחד מהמטבעות יראה תמונה?

הזינו את התשובות בצורת שבר פשוט. צמצמו את השבר ככל הניתן

.5

.5

.75

.5

נערוך טבלה של כל האפשרויות:

במטבע 1 יצא תמונה במטבע 1 יצא מספר
במטבע 2 יצא תמונה תמונה, תמונה תמונה, מספר
במטבע 2 יצא מספר מספר, תמונה מספר, מספר

א. ישנן שתי תוצאות רצויות מתוך ארבע אפשריות.

לכן ההסתברות היא 2 \div 4=\frac{1}{2}.

ב. ישנן שתי תוצאות רצויות מתוך ארבע אפשריות.

לכן ההסתברות היא 2 \div 4=\frac{1}{2}.

ג. ישנן שלוש תוצאות רצויות שבהן ייצא באחד המטבעות לפחות תמונה, מתוך ארבע תוצאות אפשריות.

לכן ההסתברות היא \frac{3}{4}.

ד. ישנן שתי אפשרויות רצויות מתוך ארבע אפשריות.

לכן ההסתברות היא \frac{1}{2}.

randRange(2,5) randRange(2,5) randRange(2,5) A+B+C A*A+B*B+C*C getGCD(A*A,S1*S1) getGCD(B*C,S1*S1) getGCD(2*B*C,S1*S1) getGCD(S2,S1*S1) getGCD(2*B*(A+C),S1*S1)

בכד יש A כדורים כתומים, B כדורים אדומים, ו- C כדורים ירוקים. מוציאים באקראי כדור אחד, מחזירים אותו לכד ושוב מוציאים באקראי כדור אחד.

א. מהי ההסתברות שבשתי הפעמים הוצא כדור כתום?

ב. מהי ההסתברות שבשתי הפעמים הוצאו כדורים באותו צבע?

ג. מהי ההסתברות שתחילה הוצא כדור ירוק ואחריו כדור אדום?

ד. מהי ההסתברות שאחד משני הכדורים שהוצאו הוא ירוק ואחד הוא אדום?

ה. מהי ההסתברות שבדיוק אחד משני הכדורים שהוצאו הוא אדום?

הזינו את התשובות בצורת שבר פשוט. צמצמו את השבר ככל הניתן

A*A/(S1*S1)

S2/(S1*S1)

C*B/(S1*S1)

2*C*B/(S1*S1)

2*B*(A+C)/(S1*S1)



א. נחשב הסתברות לכל אירוע (הוצאת כדור) בנפרד. לאחר החישוב נכפול בין ההסתברויות לקבל ההסתברות שיתרחשו שני האירועים ("זה וגם זה"). ישנם A כדורים כתומים, כלומר A תוצאות רצויות. ישנם S1 כדורים, כלומר S1 תוצאות אפשריות. ההסתברות להוצאת כדור כתום היא A/S1. נכפול את ההסתברויות:

\frac{A}{S1}\times \frac{A}{S1}= \frac{A*A}{S1*S1}

ההסתברות היא \frac{A*A/GA2}{S1*S1/GA2}.



ב. ראינו שההסתברות להוציא כדור בצבע מסוים היא "מספר הכדורים בצבע זה" חלקי "מספר הכדורים הכולל" - S1. מאחר שמחזירים את הכדורים ההסתברות להוציא שוב כדור באותו צבע תהיה שוב אותה הסתברות. נחשב בנפרד עבור כל צבע את ההסתברות להוציא כדור בצבע זה בשתי הפעמים ונחבר בין ההסתברויות ("זה או זה").

כתום: \frac{A}{S1}\times \frac{A}{S1}=\frac{A*A}{S1*S1}

אדום: \frac{C}{S1}\times \frac{C}{S1}=\frac{C*C}{S1*S1}

ירוק: \frac{B}{S1}\times \frac{B}{S1}=\frac{B*B}{S1*S1}

נחבר:

\frac{A*A}{S1*S1}+\frac{C*C}{S1*S1}+\frac{B*B}{S1*S1}= \frac{S2}{S1*S1}

ההסתברות היא \frac{S2/G2}{S1*S1/G2}.



ג. נחשב הסתברות לכל אירוע (הוצאת כדור) בנפרד. לאחר החישוב נכפול בין ההסתברויות לקבל ההסתברות שיתרחשו שני האירועים ("זה וגם זה"). ישנם B כדורים ירוקים, כלומר B תוצאות רצויות. ישנם S1 כדורים, כלומר S1 תוצאות אפשריות. ההסתברות להוצאת כדור ירוק היא \frac{B}{S1}. ישנם C כדורים אדומים, כלומר C תוצאות רצויות. ישנם S1 כדורים, כלומר S1 תוצאות אפשריות. ההסתברות להוצאת כדור אדום היא \frac{C}{S1}. נכפול את ההסתברויות:

\frac{B}{S1}\times \frac{C}{S1}=\frac{B*C}{S1*S1}

ההסתברות היא \frac{B*C/GBC}{S1*S1/GBC}.



ד. חישבנו בסעיף הקודם את ההסתברות לאירוע "ירוק ואחריו אדום". ניתן לערוך חישוב דומה לאירוע "אדום ואחריו ירוק"

\frac{C}{S1}\times \frac{B}{S1}=\frac{B*C}{S1*S1}

ההסתברות שיתרחשו "זה או זה" היא חיבור ההסתברויות:

\frac{B*C}{S1*S1}+\frac{B*C}{S1*S1}=\frac{2*B*C}{S1*S1}

ההסתברות היא \frac{2*B*C/G2BC}{S1*S1/G2BC}.



ה. נחשב תחילה את האירוע "אדום ואז לא אדום":

הוצאת כדור אדום - הסתברות \frac{B}{S1} כפי כבר חישבנו.

הוצאת כדור ירוק או כתום - הסתברות שיקרה "זה או זה" היא חיבור ההסתברויות שאחד מהם יקרה: \frac{A}{S1}+\frac{C}{S1}=\frac{A+C}{S1}.

נכפול את ההסתברויות שחישבנו על מנת לחשב את ההסתברות שיתרחשו שני האירועים:

\frac{B}{S1}\times\frac{A+C}{S1}=\frac{B*(A+C)}{S1*S1}

לאירוע "לא אדום ואז אדום" יש בדיוק את אותה ההסתברות \frac{B*(A+C)}{S1*S1}. נחבר בין ההסתברויות על מנת לחשב את ההסתברות שיתרחש "זה או זה"

\frac{B*(A+C)}{S1*S1}+\frac{B*(A+C)}{S1*S1} =\frac{2*B*(A+C)}{S1*S1}

ההסתברות היא \frac{2*B*(A+C)/G3}{S1*S1/G3}.

אתם צופים בבעיה. כדי לעבוד על בעיות מסוג זה, התחילו תרגיל זה.
צריכים עזרה? בקשו רמז.